专题33四边形压轴综合问题-备战2024年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）含解析.docx

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1、备战2024年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题33四边形压轴综合问题一、解答题1（2022甘肃兰州中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AEEP，EP与正方形的外角DCG的平分线交于P点试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题请在图1中补全图形，解答老师提出的问题(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP=90，

2、连接CP，可以求出DCP的大小，请你思考并解答这个问题(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP=90，连接DP知道正方形的边长时，可以求出ADP周长的最小值当AB=4时，请你求出ADP周长的最小值2（2022广东广州中考真题）如图，在菱形ABCD中，BAD = 120，AB = 6，连接BD (1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最

3、小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由3（2022上海中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE(1)若AE=CE，证明ABCD为菱形；若AB=5，AE=3，求BD的长(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE若F在直线CE上，求ABBC的值4（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的

4、乐趣如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH将BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化当BEF绕点B顺时针旋转90时，请解决下列问题：(1)图中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图中，AB=2，BC=3，则GHCE= ；(3)当AB=m , BC=n时 GHCE= (4)在（2）的条件下，连接图中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得ABC（如图)点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将CMN沿 MN翻折，使点C的对

5、应点P落在AB的延长线上，若PM平分APN，则CM长为 5（2022吉林长春中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图，矩形ABCD为它的示意图他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图中AD=2AB他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想ADGAFG【问题解决】(1)小亮对上面ADGAFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，BAD=B=C=D=90由折

6、叠可知，BAF=12BAD=45，BFA=EFAEFA=BFA=45AF=2AB=AD请你补全余下的证明过程【结论应用】(2)DAG的度数为_度，FGAF的值为_；(3)在图的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_（用含a的代数式表示）6（2022吉林长春中考真题）如图，在ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD-DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM作点A关于直线PM的对称点A，连结AP、AM设点P的运动时间为t秒(1)点D到边AB的距离为_；(2)

7、用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段AD最短时，求DPA的面积；(4)当M、A、C三点共线时，直接写出t的值7（2022山东临沂中考真题）已知ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点（端点除外），连接PD将线段PD绕点逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处请探究：当点在线段AC上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？说明理由(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明8（2022内蒙古通辽中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形

8、ABCD有公共点A (1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2DG的值为多少；(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转(090)，如图2，求：CEDG的值为多少；(3)AB=82，AG=22AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转(0360)，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度9（2022广西中考真题）已知MON=，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6(1)如图，若=90，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A,B,D，连接OD,OD判断OD与OD有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图，若=60，以AB为斜边在其右侧作等腰直角

9、三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图，若=45，当点A，B运动到什么位置时，AOB的面积最大?请说明理由，并求出AOB面积的最大值10（2022辽宁中考真题）如图，在ABC中，AB=AC=25,BC=4，D，E，F分别为AC,AB,BC的中点，连接DE,DF (1)如图1，求证：DF=52DE；(2)如图2，将EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DPAB时，求DN的长11（2022贵州贵阳中考真题）小红根据学习轴对称的经验，

10、对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在ABCD中，AN为BC边上的高，ADAN=m，点M在AD边上，且BA=BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将ABE沿BE翻折得FBE(1)问题解决：如图，当BAD=60，将ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN=_；(2)问题探究：如图，当BAD=45，将ABE沿BE翻折后，使EFBM，求ABE的度数，并求出此时m的最小值；(3)拓展延伸：当BAD=30，将ABE沿BE翻折后，若EFAD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值12（2022辽宁营口中考真题）如图1，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN

11、CD且DM=MN，连接DN,BM,CN，点P，Q分别为BM,CN的中点，连接PQ(1)证明：CM=2PQ；(2)将图1中的DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转01，点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG矩形ABCD，EG交直线CD于点H(1)【尝试初探】在点E的运动过程中，ABE与DEH始终保持相似关系，请说明理由(2)【深入探究】若n=2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tanABE的值(3)【拓展延伸】连接BH，FH，当BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tanABE的值（用含

12、n的代数式表示）20（2022内蒙古赤峰中考真题）同学们还记得吗？图、图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为_；(2)【问题二】受图启发，兴趣小组画出了图：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且mn，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；(3)【问题三】受图启发，兴

13、趣小组画出了图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2在直线BE上是否存在点P，使APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由21（2022内蒙古包头中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N若AE=32，求AG的长；在满足的条件下，若EN=NC，求证：AMBC；(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH若E

14、HG=EFG+CEF，且HF=2GH，求EF的长22（2022海南中考真题）如图1，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E(1)当点P是BC的中点时，求证：ABPECP；(2)将APB沿直线AP折叠得到APB，点B落在矩形ABCD的内部，延长PB交直线AD于点F证明FA=FP，并求出在（1）条件下AF的值；连接BC，求PCB周长的最小值；如图2，BB交AE于点H，点G是AE的中点，当EAB=2AEB时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由23（2022黑龙江绥化中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点

15、到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题(1)如图一，在等腰ABC中，AB=AC，BC边上有一点D，过点D作DEAB于E，DFAC于F，过点C作CGAB于G.利用面积证明：DE+DF=CG(2)如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B处，点G为折痕EF上一点，过点G作GMFC于M，GNBC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的长(3)如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EAAB，EDCD，连接BD，且ABCD=AEDE，BC=51，CD=3，BD=6，求ED+EA的长24（2022河南中考真题）综合与实践综合与实践课上，老

16、师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动 (1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30的角：_(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ如图2，当点M在EF上时，MBQ_，CBQ_；改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断MBQ与CBQ的数量关系，并说明理由(3)拓展应用在（2）的探究中，已知

17、正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ1cm时，直接写出AP的长备战2024年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题33四边形压轴综合问题一、解答题1（2022甘肃兰州中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AEEP，EP与正方形的外角DCG的平分线交于P点试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题请在图1中补全图形，解答老师提出的问题(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边

18、上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP=90，连接CP，可以求出DCP的大小，请你思考并解答这个问题(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP=90，连接DP知道正方形的边长时，可以求出ADP周长的最小值当AB=4时，请你求出ADP周长的最小值【答案】(1)答案见解析(2)45，理由见解析(3)4+45，理由见解析【解析】【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明PECBAE，再根据ASA证明AFEECP，得AEEP；（2

19、）在AB上取AFEC，连接EF，由（1）同理可得CEPFAE，则FAECEP（SAS），再说明BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DGCP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案(1)解：AEEP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，F、E分别为AB、BC的中点，AFBFBECE，BFE45，AFE135，CP平分DCG，DCP45，ECP135，AFEECP，AEPE，AEP90，AEB+PEC90，AEB+BAE90，PECBAE，AFEECP（ASA），AEE

20、P；(2)解：在AB上取AFEC，连接EF，由（1）同理可得CEPFAE，AFEC，AEEP，FAECEP（SAS），ECPAFE，AFEC，ABBC，BFBE，BEFBFE45，AFE135，ECP135，DCP45；(3)解：作DGCP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，DCP45，CDG45，DCG是等腰直角三角形，点D与G关于CP对称，AP+DP的最小值为AG的长，AB4，BG8，由勾股定理得AG45，ADP周长的最小值为AD+AG4+45【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识

21、，作辅助线构造全等三角形是解题的关键2（2022广东广州中考真题）如图，在菱形ABCD中，BAD = 120，AB = 6，连接BD (1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由【答案】(1)BD=63；(2)四边形ABEF的面积为73；最小值为12【解析】【分析】（1）证明ABC是等边三角形，可得BO= 33，即可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱

22、形的面积可求出MN=33，设BE=x，则EN=12x，从而得到EM=MN-EN=33-12x，再由BE=3DF，可得DF=33x，从而得到四边形ABEF的面积s= SABD - SDEF =312x-332+2734，当CEAB时，可得点E是ABC重心，从而得到BE=CE=23BO=2333=23，即可求解；作CHAD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由s=312x-332+2734，可得当x=33，即BE=33时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解(1)解连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，四边形AB

23、CD是菱形，ACBD ， OA=OC，ABCD，AC平分DAB，BAD = 120，CAB=60，ABC是等边三角形，BO=ABsin60=632=33，BD=2BO=63；(2)解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ABC是等边三角形，AC=AB=6，由（1）得：BD=63；菱形ABCD中，对角线BD平分ABC，ABCD，BC=AB=6，MNBC，BAD=120，ABC=60，EBN=30；EN=12BES菱形ABCD=12ACBD=MNBC，MN=33，设BE=x，则EN=12x，EM=MN-EN=33-12x， S菱形ABCD= ADMN=633=183，SABD=

24、 12S菱形ABCD=93，BE=3DF，DF=BE3=33x，SDEF=12DF EM=1233x33-12x =-312x2+32x，记四边形ABEF的面积为s，s= SABD - SDEF =93-（-312x2+32x）=312x-332+2734，点E在BD上，且不在端点，0BEBD，即0x63；当CEAB时，OBAC，点E是ABC重心，BE=CE=23BO=2333=23，此时s=31223-332+2734 =73，当CEAB时，四边形ABEF的面积为73；作CHAD于H，如图，COBD，CHAD，而点E和F分别在BD和AD上，当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达

25、到最小值；在菱形ABCD中，ABCD，AD=CD，BAD=120，ADC=60，ACD是等边三角形，AH=DH=3，CH=33，s=312x-332+2734，当x=33，即BE=33时， s达到最小值，BE=3DF，DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，CE+3CF的值达到最小，其最小值为CO+3CH=3+333=12【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三

26、角形等知识是解题的关键3（2022上海中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE(1)若AE=CE，证明ABCD为菱形；若AB=5，AE=3，求BD的长(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE若F在直线CE上，求ABBC的值【答案】(1)见解析；62(2)105【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，证AOECOE(SSS)，得AOE=COE，从而得COE=90，则ACBD，即可由菱形的判定定理得出结论；先证点E是ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在RtAOE中，由勾股定理，

27、得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=2,即可得OB=3x=32，再由平行四边形性质即可得出BD长；（2）由A与B相交于E、F，得ABEF，点E是ABC的重心，又F在直线CE上，则CG是ABC的中线，则AG=BG=12AB，根据重心性质得GE=12CE22AE，CG=CE+GE=322AE，在RtAGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,则AG=22AE,所以AB=2AG=2AE，在RtBGC中，由勾股定理，得BC2=

28、BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，则BC=5AE，代入即可求得ABBC的值(1)证明：如图，连接AC交BD于O，平行四边形ABCD，OA=OC，AE=CE，OE=OE，AOECOE(SSS)，AOE=COE，AOE+COE=180，COE=90，ACBD，平行四边形ABCD，四边形ABCD是菱形；OA=OC，OB是ABC的中线，P为BC中点，AP是ABC的中线，点E是ABC的重心，BE=2OE，设OE=x，则BE=2x，在RtAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-

29、9x2,9-x2=25-9x2，解得：x=2,OB=3x=32，平行四边形ABCD，BD=2OB=62；(2)解：如图，A与B相交于E、F，ABEF，由（1）知点E是ABC的重心，又F在直线CE上，CG是ABC的中线，AG=BG=12AB，GE=12CE，CE=2AE，GE=22AE，CG=CE+GE=322AE，在RtAGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,AG=22AE,AB=2AG=2AE，在RtBGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，BC=5AE，ABBC=2AE5AE=105【点睛】本题考查平

30、行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目4（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH将BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化当BEF绕点B顺时针旋转90时，请解决下列问题：(1)图中

31、，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图中，AB=2，BC=3，则GHCE= ；(3)当AB=m , BC=n时 GHCE= (4)在（2）的条件下，连接图中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得ABC（如图)点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分APN，则CM长为 【答案】(1)GH=12CE，证明见解析(2)GHCE=13(3)GHCE=m2n(4)3135【解析】【分析】（1）先证明ABFCBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=

32、12AF，等量代换即可；（2）连接AF，先证明ABFCBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=12AF，等量代换即可；（3）连接AF，先证明ABFCBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=12AF，等量代换即可；（4）过M作MHAB于H，根据折叠性质得C=MPN，根据角平分线证明出C=PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用AHMABC，得到HMBC=AMAC，代入解方程即可(1)解：GH=12CE，理由如下：AB=BC，四边形ABCD为矩形，四边形ABCD为正方形，ABC=CBE=90，E、F为BC，AB中点

33、，BE=BF，ABFCBE，AF=CE，H为DF中点，G为AD中点，GH=12AF，GH=12CE(2)解：GHCE=13，连接AF，如图所示，由题意知，BF=12AB=1，BE=12BC=32，ABBC=BFBE=23，由矩形ABCD性质及旋转知，ABC=CBE=90，ABFCBE，AF：CE=2:3，G为AD中点，H为DF中点，GH=12AF，GHCE=13故答案为：13(3)解：GHCE=m2n，连接AF，如图所示，由题意知，BF=12AB=m2，BE=12BC=n2，ABBC=BFBE=mn，由矩形ABCD性质及旋转知，ABC=CBE=90，ABFCBE，AF：CE=m：n，G为AD中

34、点，H为DF中点，GH=12AF，GHCE=m2n故答案为：m2n(4)解：过M作MHAB于H，如图所示，由折叠知，CM=PM，C=MPN，PM平分APN，APM=MPN，C=APM，AB=2，BC=3，AC=22+32=13，设CM=PM=x，HM=y，由sinC=sinAPM知，ABAC=HMPM，即213=yx，y=2x13，HMBC，AHMABC，HMBC=AMAC，即y3=13-x13，y=13-x133，13-x133=2x13，解得：x=3135，故答案为：3135【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义

35、等知识点，找到相似三角形是解题关键5（2022吉林长春中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图，矩形ABCD为它的示意图他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图中AD=2AB他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想ADGAFG【问题解决】(1)小亮对上面ADGAFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，BAD=B=C=D=90由折叠可知，BAF=12B

36、AD=45，BFA=EFAEFA=BFA=45AF=2AB=AD请你补全余下的证明过程【结论应用】(2)DAG的度数为_度，FGAF的值为_；(3)在图的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_（用含a的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)22.5，2-1.(3)52a【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，AFG=D=90，由HL可证明结论；（2）根据折叠的性质可得DAG=12DAF=22.5; 证明GCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连

37、接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PRAD，求出PR=AR=24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论(1)证明：四边形ABCD是矩形，BAD=B=C=D=90由折叠可知，BAF=12BAD=45，BFA=EFAEFA=BFA=45AF=2AB=AD由折叠得，CFG=GFH=45，AFG=AFE+GFE=45+45=90 AFG=D=90又AD=AF，AG=AGADGAFG(2)由折叠得，BAF=EAF,又BAF+EAF=90EAF=12BAE=1290=45,由ADGAFG得，DAG=FAG=12FAD=1245=22.5,AFG=ADG=90,又AFB=45GFC=45,FGC=45,GC=FC.设AB=x,则BF=x,AF=2x=AD=BC,FC=BC-BF=2x-x=(2-1)xGF=2FC=(2-2)xGFAF=(2-2)x2x=2-1.(3)如图，连接FD,DG=FGAG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PRAD交AD于点R，DAF=BAF=45APR=45.AR=PR又AR2+PR2=AP2=(a2)2=a24AR=PR=24a,DR=AD-AR=2a-24a=342a在RtDPR中，DP2=AR2+PR2DP=AR2+PR2=(24a)2+(324a)2 =52aPQ+