2024年新结构模拟适应性特训卷（五）（解析版）.docx

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1、2024年新结构模拟适应性特训卷（五）高三数学（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）ABCD【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.2若复数满足，则（）ABCD【答案】B【分析】利用复数的模公式及复数

2、除法法则即可得解.【详解】因为，所以由，得.故选：B.3函数的图象大致是（）ABCD【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除CD，根据以及时的函数值的正负，即可排除B.【详解】因为，定义域为，又，可知为偶函数，排除CD；当时，当时，则，当时，则，B不符题意，故选：A.4本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（）0627 4313 2432 5327 0

3、941 2512 6317 6323 2616 8045 60111410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 36070140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191A51B25C32D12【答案】A【分析】根据随机数表按照规则读数即可得解.【详解】根据随机数表读取，分别抽到的编号为31，32，43，25，12，51，26，04，01，11，所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51，故选：A5已知曲线与曲线的公共点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）ABCD

4、【答案】B【分析】联立方程后构造函数，求导判断单调性，结合可得,即可求导结合点斜式求解切线方程，进而可得求解切线与坐标轴的交点，即可求解面积.【详解】由得，设，则,故为增函数，因为，所以方程的解为，所以点的横坐标为.设，则，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.令，得；令，得.所以所求三角形的面积为.故选：B6已知,是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若，则则存在唯一的实数0，使得 故 ，而 ，存在 使得成立， 所以“”是“

5、存在，使得 ”的充分条件，若且 ，则与方向相同,故此时， 所以“”是“存在， 使得 的必要条件，故”是“存在，使得| 的充分必要条件，故选: C7数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用若数列是数列，当且仅当时，设的前项和为，则满足的的最大值为（）A600B601C604D605【答案】C【分析】根据题意结合数列周期性分析求解.【详解】由题意可知：，且，即，当时，可知，且，所以满足的的最大值为604.故选：C.8已知: ，则（）ABCD【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可.【详解】由，则.故选：D【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的

6、商数关系得出，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知，下列命题为真命题的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BD【分析】利用举反例和不等式得性质进行判断.【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的.因为根据不等式性质可得正确.因为，所以所以即所以故C错误.因为，所以，所以正确.故选：BD10已知长轴长、短轴长和焦距分别为、和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，点在椭圆上，若，则（）A，成

7、等差数列B，成等比数列C椭圆的离心率D的面积不小于的面积【答案】BD【分析】AB选项，根据垂直关系得到，求出，得到A错误，B正确；C选项，根据得到，进而求出离心率；D选项，计算出和的面积，作差法结合基本不等式求出答案.【详解】AB选项，椭圆方程为，不妨设，故，因为，且直线的斜率存在，所以，即，故，成等比数列，A错误，B正确；C选项，因为，所以，方程两边同除以得，解得，负值舍去，故离心率为，C错误；D选项，由椭圆定义得，因为，所以，两边平方得，故，又，且，由基本不等式得，所以即的面积不小于的面积，D正确.故选：BD11已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（）A该正方体外接

8、球的表面积为B直线与所成角的余弦值为C平面截正方体所得截面为等腰梯形D点到平面的距离为【答案】ABD【分析】根据正方体的外接球的直径是正方体的体对角线可求外接球的表面积，可判断A的真假；利用平行把异面直线所成的角转化为平面角，再利用三角形的边角关系可求异面直线所成角的三角函数，判断B的真假；做出截面，判断截面形状，可判断C的真假；构造三棱锥，利用体积法求点到面的距离，可判断D的真假.【详解】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为：，所以所求正方体的外接球表面积为：，故A正确；对B：如图连接，所以即为异面直线与所成的角，设为.在中，所以，所以，故B正确；对C：如图：取中点，连接，过点作，交于点，则

9、，所以平面截正方体所得截面为梯形.由，所以.所以，所以，所以梯形不是等腰梯形，故C错误；对D：如图：设点到平面的距离为，则，而，所以：，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12年月湖南省部分高三学生参加高三第一次模拟大联考,假如联考的数学成绩服从正态分布,其总体密度函数为:,且.若参加此次联考的学生共有人,则数学成绩超过分的人数大约为 .【答案】【分析】根据总体密度函数可知,结合对称性求解即可.【详解】总体密度函数为:,由,得,超过分的人数大约为.故答案为:.13如图，在矩形中，点为线段的中点.沿直线将翻折，点运动到点的位置.当平面与平面所成角为时，三棱锥的体积

10、为 .【答案】【分析】根据二面角的几何法可得为平面与平面所成角的平面角，故,进而可得点到平面的距离，即可由锥体的体积公式求解.【详解】如图，取的中点，连接，与交于点.由翻折前后的不变性可知，.由已知，四边形为正方形，则所以（或其补角）为平面与平面所成角的平面角，故或；由于平面,所以平面，平面，故平面平面，即在平面上的射影在直线上（点在线段或上均可）.由题意可知，在Rt中，则，又，则.故答案为：14已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .【答案】2【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两

11、点间距离求出最小值即得.【详解】设，当时，则，化简得：，即；当时，则，化简得，即，对于曲线上的任意一点，当且仅当是线段与曲线的交点时取等号，而，当且仅当，即点时取等号，因此，当且仅当点重合于时取等号，所以的最小值为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在

12、中，角的对边分别为，且.(1)求角：(2)若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意结合正弦定理、三角恒等变换分析求解；（2）由角平分线性质可得，利用余弦定理解得，结合面积公式运算求解.【详解】（1）因为，整理得，由正弦定理可得：，且，则，可得，即，且，可得.（2）因为为角的角平分线，则，即，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），则，所以的面积.16已知数列的前项和(1)求数列的通项公式；(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可

13、求出其通项公式；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，当时，解得，当时，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2）因为，所以，所以，则，所以.17近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲乙丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲乙丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一

14、个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且，求的最大值.参考数据：.【答案】(1)；(2)；(3)30.【分析】（1）利用独立事件

15、的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；（2）设出事件，利用全概率公式进行求解；（3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用导函数得到其单调性，结合特殊值，求出答案.【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率.（2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心，则，由全概率公式得.故丁周日选择健身中心健身的概率为.（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则，设抽取次数为，则的分布列为123故，又，两式相减得，所以，令，则，因为，故令得，即，令时，故在且时单调递增，结合，可知当时，；当时，；当时

16、，.若抽取次数的期望值不超过3，则的最大值为30.18已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且(1)求的方程；(2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标【答案】(1)的方程为的方程为(2)【分析】（1）由题意可得，解方程即可求出，即可求出的方程；（2）设直线的斜率分别为，由题意可得，设直线的方程为：，联立可得，同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.【详解】（1）依题意可得，得，由，得，解得，故的方程为的方程为（2）易知，设，直线的斜率分别为，则，在，即有，可得为定值设直线的方程为

17、：，联立可得恒成立，设，则有，可求得，设直线的方程为：，同理可得，则由可得：，点在第一象限内，故，当且仅当，即时取等号，而，故等号可以取到即当取最小值时，联立，可解得，故的方程为：的方程为：，联立可解得，即有【点睛】关键点点睛：本题（2）问的关键点在于设直线的斜率分别为，由题意可得，联立直线与椭圆的方程求得，联立直线与椭圆的方程同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.19英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：当时

18、，试比较与的大小，并给出证明；(3)设，证明：【答案】(1)；(2)，证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）根据麦克劳林公式求得，赋值即可求得近似值；（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.【详解】（1）令，则，故，由麦克劳林公式可得，故.（2）结论：，证明如下：令，令，故在上单调递增，故在上单调递增，即证得，即（3）由（2）可得当时，且由得，当且仅当时取等号，故当时，而，即有故而，即证得.【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.学科网（北京）股份有限公司