四川省成都市蓉城名校联盟2024届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司2024 届高三第三次模拟考试理科数学考试时间 120 分钟，满分 150 分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集1,2,3,4,5U，若集合M满足1,4UM，则AM1BM4C3MD2M2若复数z满足(1i)2iz，则z A1i22B1i22C13i22D13i22332，132，3sin2，21log3四个数中最大的数是A32B132C3sin2D21log34地球生命来自外星吗？一篇发布在生物学快讯上的文章基因库的增长是生命起源和演化的时钟可能给出了一种答案该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的

3、，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代如图是该论文作者根据生物化石（原核生物、真核生物、蠕虫、鱼类、哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数lg y与时间x（单位：十亿年）的散点图及 回 归 拟 合 情 况（其 中 回 归 方 程 为：lg0.898.64yx，相关指数20.97R）根据题干与图中的信息，下列说法错误的是四川省成都市蓉城名校联盟2024届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题学科网（北京）股份有限公司A根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y取常用对数的做法，我们也可采用函数模型10axybk来拟合B根据回归方程可以得到，每过 10 亿

4、年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76倍C虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有 5 个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程D根据物理界主流观点：地球的形成始于 45 亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球5若正实数a，b满足22abm，则ab的最大值为A2mB2mC2 mD2m6若a，b是平面上两个非零的向量，则“|abab”是“|abab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7在平面直角坐标系xOy中，角，的始边均为Ox，终边相互垂直，若3

5、cos5，则cos2A925B925C725D7258已知公比不为 1 的等比数列na的前n项和为nS，若数列nnSa是首项为 1 的等差数列，则3a A12B23C18D589某电子竞技队伍由 1 名队长、1 名副队长与 3 名队员构成，按需要担任第 1 至 5 号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任 1 号位，副队长是队伍输出核心，必须担任 1 号位或 2 号位，则不同的位置安排方式有A36种B42种C48种D52种10已知正方体以某直线为旋转轴旋转角后与自身重合，则不可能为A2B23C34D11若函数2()exf xkx大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为A4B2 e

6、Ce2D2e412已知点P，Q分别是抛物线2:4C yx和圆:E2210210 xyx上的动点，若抛物线C的焦点为F，则2|PQQF的最小值为学科网（北京）股份有限公司A6B22 5C4 3D42 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若双曲线C的渐近线方程为20 xy，则双曲线C的标准方程可以是_（写出一个你认为正确的答案即可）14若圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的高为_15 已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，()(1ln)f xxx，则当0 x 时，()f x的单调递增区间为_16若 实 数1x，2x是 方 程43sin2c

7、os23xx 在 区 间(0,)上 不 同 的 两 根，则21cos()xx_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）在ABC中，5BC，6AC，1cos8B（1）求AB的长；（2）求AC边上的高18（12 分）已知在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，满足ADBC，ADDC，若2PAADDC，3BC，点M为PD的中点，点N为PC的三等分点（靠近点P）（1）求证：PC 平面AMN；（2）若线段PB上的

8、点Q在平面AMN内，求PQPB的值19（12 分）RAID 10 是一种常见的独立冗余磁盘阵列，因为先做镜像存储再做条带存储，使得RAID 10 同时具有 RAID 0 的快速与 RAID 1 的可靠的优点，同时阵列中若有几块磁盘损坏可以通过阵列冗余备份进行数据恢复某视频剪辑公司购进 100 块拆机磁盘组建一台存储服务器，考虑到稳定性，拟采取 RAID 10 组建磁盘阵列，组建之前需要对磁盘进行坏道扫描，每块需要 2 小时，若扫描出磁盘有坏道，则更换为没有坏道的正常磁盘现工作小组为了提升效率，打算先扫描其中的 10 块，再根据扫描情况，决定要不要继续扫描剩下的所有磁盘，设每块磁盘有坏道的概率为

9、x（(0,1)x），且每块磁盘是否有坏道相互独立（1）将扫描的 10 块中恰有 2 块有坏道的概率p表示成关于x的函数，并求该函数的最大值点0 x；（2）现扫描的 10 块中恰有 2 块有坏道，考虑到安全性，工作小组决定用（1）中的0 x作为x值来预测已知有坏道磁盘直接投入使用会造成该盘上的数据丢失或损坏，每块投学科网（北京）股份有限公司入使用的有坏道磁盘需要 10.5 小时进行更换和数据恢复，请根据现有扫描情况，以整个组建过程所花费的时间的期望为决策依据，判断是否需要扫描剩下的所有磁盘20（12 分）已知椭圆E:22221(0)xyabab上的点(2,1)M到焦点1F，2F的距离之和为4 2

10、（1）求椭圆E的方程；（2）过点(4,0)N的直线交E于A，B两点，直线AM，BM分别交直线4x 于P，Q两点，求证：|PNQN21（12 分）已知函数()lnf xx，若数列na的各项由以下算法得到：任取iaa（其中0a），并令正整数1i；求函数()f x图象在(,()iiaf a处的切线在y轴上的截距1ia；判断10ia是否成立，若成立，执行第步；若不成立，跳至第步；令1ii，返回第步；结束算法，确定数列na的项依次为1a，2a，1ia根据以上信息回答下列问题：（1）求证：1ln1iiaa；（2）是否存在实数(,1)()ak kkN使得na为等差数列，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理

11、由参考数据：211ee3.11（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为3xtyt，（t为参数），曲线2C的参数方程为cossinxay，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求1C与2C的极坐标方程；（2）若1C与2C的两不同交点A，B满足2OAOB ，求a的值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数()f xxm，()2g xx学科网（北京）股份有限公司（1）当1m 时，解不等式|()|()|5f xg x；（

12、2）若(1,)x ，|()|(2)()|()|0f xg xf xg x成立，求m的取值范围学科网（北京）股份有限公司2024 届高三第三次模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112ADBBAACCBCDC二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132212yx（或其它合理答案）14315)0,1(1632三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）解：（1）设角A，B，C所对的边分别

13、为a，b，c，由余弦定理，将5a，6b 代入2222cosbacacB，2 分得213625258cc，化简得245440cc，解得4c 或114c （舍）；6 分（2）因为23 7sin1cos8BB，8 分由正弦定理得：sin5 3 75 7sin8616aBAb，10 分设AC边上的高为h，5 75 7sin4164hcA12 分18（12 分）学科网（北京）股份有限公司解：（1）由题易知PA CD，又AD CD，又因为PAADA，PA，AD 平面PAD，所以CD 平面PAD，2 分又因为AM 平面PAD，所以AMCD，又因为APAD，点M为PD中点，所以AMPD，又因为CDPDD，CD

14、，PD 平面PCD，所以AM 平面PCD，所以AMPC，4 分在PCD中，点M为PD中点，点N为PC三等分点（靠近点P），所以36PMPNPCPD，所以PCDPMN，所以2PNMPDC，即MNPC，又因为AMMNM，AM，MN 平面AMN，所以PC 平面AMN；6 分（2）在平面ABCD上过点A作AD的垂线交BC于点E，以 A 为原点，分别以直线AE，AD，AP为x轴，y轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知PC 平面AMN，所以PC 是平面AMN的法向量，又(2,2,2)PC ，9 分设PQPB ，又因为(2,1,2)PB ，(2,22)AQAPPQAPPB ，若线段PB上的点Q

15、在平面AMN内，则PCAQ，即42440，解得23，则PQPB的值为2312 分19（12 分）解：（1）由题意知，设 10 块磁盘中恰有两块有坏道的概率为()p x，则22810()(1)p xC xx，(0,1)x，2 分因为()p x的导函数282710()2(1)8(1)p xCxxxx27102(1)(15)C xxx又因为(0,1)x，所以7(1)0 x，令()0p x，得0.2x，学科网（北京）股份有限公司4 分且当(0,0.2)x时，()0p x，函数()p x为增函数，当(0.2,1)x时，()0p x，函数()p x为减函数，所以()p x的最大值为(0.2)p，所以函数(

16、)p x的最大值点0 x为0.2；6 分（2）由（1）知0.2x，设剩余 90 块磁盘中有块有坏道，且不扫描剩下磁盘的情况下整个组建过程所花费时间为小时，由题意知10.520，7 分由题意得(90,0.2)B，随机变量的期望()900.218E块，所以随机变量的期望()10.5()20209EE小时，10 分若对剩下的所有磁盘都进行扫描，整个组建过程所花费时间为200小时，所以应该对剩下的所有磁盘进行扫描12 分20（12 分）解：（1）由椭圆的定义知24 2a，所以28a，将(2,1)M代入椭圆E的方程得24118b，所以22b，所以椭圆E的方程为22182xy；4 分（2）当直线AB与x轴

17、重合时，可设(2 2,0)A，(2 2,0)B，由相似三角形的性质得42 2|22 22PN，42 2|22 22QN，所以|PNQN；6 分当直线AB不与x轴重合时，设AB的方程为4xty，同时设点A，B的坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，由题意，直线AB不过点(2,1)M和(2,1)，所以6t，联立22484xyxty得22(4)880tyty，由题意知0，所以24t，且12284tyyt，12284y yt，8 分学科网（北京）股份有限公司由题意知，直线AM，BM的斜率存在，则)2(211:11xxyylAM，当4x 时，2)2(2)2(222212)1(2111111111t

18、yytxytxxyxyyP，同理可得22(2)2Qtyyty，10 分所以1212(2)(2)22PQtytyyytyty2121212(24)(24)()(2)(2)tt y ytyytyty，又因为1212yyty y，所以2121212(24)(24)0(2)(2)PQtt y ytty yyytyty，所以|PNQN，综上所述，|PNQN12 分21（12 分）解：（1）由题得1()fxx，曲线()yf x在点(,()iiaf a处的切线方程为1()()iiiyf axaa，即ln1iixyaa，2 分令0 x 得ln1iya，此切线交y轴于点(0,ln1)ia，所以1ln1iiaa；

19、4 分（2）若na为等差数列，设其公差为d，则1ln1iiiidaaaa，1in，令()ln1g xxx，则11()1xg xxx，当(0,1)x时，()0g x，()g x单调递增，当(1,)x时，()0g x，()g x单调递减，所以max()(1)2g xg，因此()dg x最多有两不同的根，即最多 3 项成等差数列，7 分若1a，2a，3a成等差数列，即1322aaa，由（1）知21ln1aa，所以211eaa，又32ln1aa，学科网（北京）股份有限公司记函数1()eln12xh xxx，则11()e2xh xx，所以当(0,)x时，()0h x，所以()h x在(0,)上单调递增，

20、又222111111eee222122()e21e3e3.20eeeh，又4333221()eln22(2)ln222ln202h，所以存在唯一021 1(,)e2x，使得0()0h x，即0100eln120 xxx，所以存在221 1(,)e2a，使得1a，2a，3a为等差数列，10 分此时211=eaaa，易知2131e2(e,e)a，又因为42333332224(2)e(5)5，所以集合2131e2(e,e)(3,5)，即(3,5)a，11 分同时2100e21lnaaxx，令()21lnp xxx，21 1(,)e2x，()p x的导数121()20 xp xxx，所以()p x在区

21、间21 1(,)e2上为减函数，22()(2ln2,3)ep x，又因为集合22(2ln2,3)(2,4)e，(2,4)a，综上所述(3,4)a，所以存在实数(3,4)a使得na为等差数列，此时3k 12 分22（10 分）解：（1）将cosx，siny代入1C的参数方程得sin3 cos，即1C的极坐标方程为23，R，2 分将cosx，siny代入2C的参数方程得coscossinsina，化简得曲线2C的极坐标方程为222cos10aa；5 分（2）设12(,)3A，22(,)3B，联立直线1C与曲线2C的极坐标方程，学科网（北京）股份有限公司得222cos1023aa，化简为2210aa

22、，因为判别式2224(1)430aaa，即234a，8 分又因为2OAOB ，所以21210a ，解得21a，同时122，所以1223a，解得123a，32a，所以2212219aa，结合2413a，解得3 77a 10 分23（10 分）解：（1）1m 时，即解不等式|1|2|5xx，1 分当2x时，不等式为125xx ，解得3x，2 分当21x 时，不等式为125xx ，不等式恒成立，3 分当1x时，不等式为125xx，解得2x，4 分综上所述：不等式|()|()|5f xg x的解集为|32xx；5 分（2）|()|(2)()|()|0f xg xf xg x即为|()|2|0 x xm

23、xmx，当1m时，不等式为()()(2)0 x xmxm x，即()(1)0 xm x，不等式恒成立，7 分当1m 时，对1xm 时，不等式为2()0 xm，此时不等式对(1,)x 不恒成立，9 分综上所述：m的取值范围为1m10 分学科网（北京）股份有限公司解析：解析：1【命题意图】涉及集合的表示方法，集合间的基本关系与基本运算，考查学生的逻辑推理能力。【解析】因为1,4UM，所以5,3,2M，选 A2【命题意图】涉及复数的表示、四则运算，考查学生的符号意识与运算能力。【解析】2i(2i)(1i)1i(1i)(1i)z223ii213i22，选 D3【命题意图】考查学生对数的直观感知能力，以

24、及对基本初等函数的性质的理解。【解析】21log03，321，3sin12，1321，选 B4【命题意图】考查学生阅读能力，快速获取信息能力，要求学生有直观感知图象、数学抽象的核心素养。【解析】y与x是相关关系，B 选项中的“一定”用词不当，选 B5【命题意图】本题考查不等关系与不等式，探究两个正实数的平方和与和之间的关系，因为含有参数，需要学生对均值不等式有一定的理解。【解析】22222ababm，当且仅当“2mab”时，取“=”，选 A6【命题意图】考查学生对向量的四则运算、模、数量积的理解，培养学生知识迁移能力，同时提高学生数学思考水平。【解析】设|abab，两边平方得|aba b，又|

25、cos,|aba ba ba b，即cos,1 a b，,a b；|cos,|aba ba ba b，即cos,1 a b，故,0a b或，故前者是后者的充分不必要条件，选 A7【命题意图】涉及三角函数的定义，垂直的两角的三角函数值的数量关系，二倍角公式；培养学生良好的数感、量感。【解析】因为2()2kkZ，所以222sinsin(2)cos2k，所以2cos212sin 2712cos25，选 C8【命题意图】对数列必备知识有一定要求，对等差、等比数列性质的综合性应用较高，考查学生数学运算的核心素养。【解析】因为数列nnSa是等差数列，所以221122nnnnnnSaSaSa，化简得2123

26、nnnaaa，由等比数列的性质得2123qq，解得12q（舍去 1），又111Sa，所以112a，所以111()2nnnaa q，所以318a，选 C9【命题意图】查计数原理，需要分情况讨论，考查学生的数据分析能力，数学运算能力。学科网（北京）股份有限公司【解析】当副队长担任 1 号位时，不同的安排方式有4424A 种，当副队长担任 2 号位时，将队长安排至第 3 至 5 号位，剩下队员安排至剩下位置有133318C A 种，共有42 种，选 B10【命题意图】涉及空间几何体的结构特点，点、线、面之间的关系，需要学生有一定空间观念，空间想象能力，考查学生直观想象，数学建模，数学运算的核心素养。

27、【解析】当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转2k()kZ时，与自身重合；当直线经过正方体的体对角线时，正方体绕直线旋转2 3k()kZ时，与自身重合；当直线穿过正方体对棱中点时，正方体绕直线旋转k()kZ时，与自身重合；其他情况，正方体绕直线旋转2 k()kZ时，与自身重合，选 C11【命题意图】考查学生对指数函数性质的直观体验，函数的零点，导数的几何应用，考查数形结合的数学思想。【解析】函数2()exf xkx大于0的零点有且只有一个，即函数exy 与函数2ykx在区间(0,)上有且只有一个交点，当0k 时，显然没有交点，不符合题意；当0k 时，由指数函数的性质知，只有两曲线相切时符

28、合题意，可设切点为00(,)xy，则容易得到00e2xkx且020exkx，解得2e4k，选 D12【命题意图】本题涉及抛物线的几何性质，借用阿氏圆的定义将系数转化为两线段的和，再利用三角形的基本知识求得结果，有一定的创新性和综合性，考查数学建模，数学运算，直观想象的核心素养。【解析】设点Q的坐标为00(,)xy，(,0)T t是x轴上一点，由抛物线的性质知点F的坐标为(1,0)，则0220|(1)QFxy，0220|()QTxty，令|2|QFQT，则有0220(1)xy02202()xty，将0022010210yxx 代入化简解得4t，即点T满足|2|QFQT，所以2|2|2|2(|)P

29、QQFPQQTPQQT，设点P坐标为121(,)4yy，11222|(4)4yPTy1421162 316yy，所以2|PQQF2(|)PQQT2|4 3PT选 C13【命题意图】开放性题目，考查学生对双曲线性质的理解，培养学生的创新能力。【解析】设双曲线的方程为2222xyab，因为222ba，所以有22(0)2yx，可填2212yx 14【命题意图】涉及圆锥的几何性质，需要学生知道旋转体的侧面展开图，考查学生的空间想象力。【解析】圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥底面周长为2，底面半径为1，又圆锥的母线为2，所以圆锥的高为22213，故填3学科网（北京）股份有限公司15【命题意图】涉

30、及函数与导数的关系，同时和奇偶性结合起来，考查学生对函数基本性质的理解，同时又需要学生对函数的研究方法有深刻认识。【解析】当0 x 时，()f x的导函数()1ln1lnfxxx ，令()0fx，解得01x，又因为()f x为奇函数，在对称区间的单调性相同，所以0 x 时，()f x单调递增区间为(1,0)，填(1,0)16【命题意图】本题涉及三角函数的图象与性质，辅助角公式，诱导公式的综合应用，对学生能力要求较高，兼顾数学知识的综合性与应用性。【解析】方程43sin2cos23xx 可化为2sin(2)63x ，因为12xx，所以实数1x，2x满足1222366xx，化简得1253xx，不妨

31、设120 xx，又因为1742663x，即143232x，又211523xxx，21(,)6 3xx，所以21cos()xx15cos(2)3x13cos(2)26x12sin(2)63x，故填3217【命题意图】此题背景比较简单，需要学生有一定的分析能力，对正余弦定理有一定的理解，考查学生数学抽象，数学运算等能力。18【命题意图】此题以四棱锥为载体，先是考查直线与平面的位置关系，再考查四点共面的向量表达，或者空间几何体的截面问题，考查学生的空间想象，数学运算等能力。19【命题意图】此题以二项分布入题，利用导数的思想解决统计概率的问题，第二问是利用期望做决策，培养学生应用意识，创新意识，考查学生的数学抽象，数学建模，运算能力。20【命题意图】利用点到焦点1F，2F的距离之积的关系，考查学生对数据的处理能力。21【命题意图】此题是充分利用导数的几何意义，求取数列的项，是一个融合导数，数列的综合题目，学生要有一定的应用意识，创新意识，考查学生数学抽象，数学建模，数学计算等素养。22【命题意图】此题考查直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查学生关键能力。23【命题意图】涉及含绝对值的谈论问题，考查学生的分析问题能力。