安徽智学大联考·皖中名校联盟2024年高一下学期期中检测数学试卷含答案.pdf

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1、高一数学第 1 页共 4 页智学大联考智学大联考皖中名校联盟皖中名校联盟合肥八中合肥八中 2023-20242023-2024 学年第学年第二二学期高学期高一一年级期年级期中中检测检测数学数学试题卷试题卷注意事项:1.你拿到的试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。第第卷（选择题卷（选择题共共 58 分）分）一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案涂在答题卡上）1.在复平面内，复数31 4ii对应的点位于

2、（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.设D为ABC所在平面内一点，且DBBC ，则（）A.2ADABAC B.2ADABAC C.2ADABAC D.2ADABAC 3.已知非零向量a，b满足|4,|1ab，2abb，则a与b的夹角为（）A6B3C23D564.ABC内角CBA,的对边分别为cba,，已知,2,24Cbc，则A（）A712B512C3D65.在ABC中，内角CBA,所对的边分别是,cba，若228()abc，3A，则ABC的面积是（）A.4B.2C.4 3D.2 36.已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则

3、这个圆台的体积为（）A263B383C26D387.平行四边形ABCD中，|8AB ，|2 3AD，若点,M N满足2BMMC ，3DNNC，则AN NM （）A.8B.8C.12D.16#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#高一数学第 2 页共 4 页8.在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，向量(3,sin),(1,cos)mB nB，且/mn，点M为边BC的中点，且AMAC，则sinBAC=（）A33B63C217D2 77二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选

4、项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，两个选项部分选对得 3 分;三个选项选对一个得 2 分，选对两个得 4 分，选错得 0分。请把正确答案涂在答题卡上）9.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（）A棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点B四棱锥SABCD中，四边形ABCD的对角线交点为O，若SO 平面ABCD，则该四棱锥是正四棱锥C任意一个棱柱的侧面都是矩形D正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球O的表面上，则球O的表面积为2410.设1z，2z为复数，则下列命题正确的是（）A若21z R，则1z RB若12|zz，则2112zzzzC若12z z R，则12zz

5、D若12|0zz，则12zz11.已知12,e e 是夹角为23的单位向量，122aee，12bee，则（）A1212e e B|3b C,3a b Db在a上的投影向量为12a第第卷（非选择题共卷（非选择题共 92 分）分）三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分。把答案填在答题卡的相应位置。）12.已知复数z的实部为5，虚部为1，则1zi13.如图，已知正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为2，侧棱长为2，切割这个正四棱柱，得到四棱锥111ABB D D，则这个四棱锥的表面积为#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFAB

6、AA=#高一数学第 3 页共 4 页14.在ABC中，角,A B C所对应的边分别为,a b c，已知32CA CBAB AC ，1tan2C，则角B 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）15.（本题满分（本题满分 13 分）分）（1）已知向量(2,1)a，点(2,1)A，若向量ABa，且|5AB ，求点 B 的坐标；（2）已知向量(2,1)a，(4,3)b，若2ab与ab夹角为钝角，求的取值范围。16.（本题满分（本题满分 15 分分）“大湖名城，创新高地”的“湖”指的就是巢湖，为治理巢湖环境，拟在巢湖两岸建立 A，B，C，D 四个水质检测站.

7、已知 C，D 两个检测站建在巢湖的南岸，距离为20 3km，检测站 A，B在湖的北岸，工作人员测得ACB75，ACD120，ADC30，ADB45。（1）求 B，D 两个检测站之间的距离；（2）求 A，B 两个检测站之间的距离。17.（本题满分（本题满分 15 分）分）如图，在,AOBAOOB中，OBA60，3OB，D 是 AB 的中点，现将RtAOB以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点 C 为圆锥底面圆周上的一点，且90BOC。（1）求圆锥的表面积；（2）若一个棱长为a的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求a的最大值。#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBC

8、CAIoORFAMIAIBCAFABAA=#高一数学第 4 页共 4 页18（本题满分（本题满分 17 分）分）由扇形 OAC 和OBC 组成的平面图形如图所示，已知，3OBC，BC2，点 E 在AC（含端点）上运动。（1）连接 EO，求EOB正弦值的取值范围；（2）设EOB，四边形 AOBE 面积为S，求S的最大值。19（本题满分本题满分 17 分分）已知锐角ABC，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若Abcbcacos12222。（1）求证：A=2B；（2）求bc的取值范围。3=OBBOAO#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBC

9、AFABAA=#智智学学大大联联考考皖皖中中名名校校联联盟盟合合肥肥八八中中 2 20 02 23 3-2 20 02 24 4 学学年年第第二二学学期期高高一一年年级级期期中中检检测测一一、单单项项选选择择题题（本本大大题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分.在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有 数学参考答案数学参考答案一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.请请把把正正确确答答案案涂涂在在答答题题卡卡上上）1.【答案】D【解析】31 43 1247 11iiiii，所以复数31 4ii对应的点的坐标为7,11，该点在复平面内位于第四象限。2

10、.【答案】A【解析】2ADABBDABCBABABACABAC 3.【答案】C【解析】2220abba bb，则222a bb ，所以21cos4 12a ba bab ，所以a与b的夹角为23。4.【答案】A【解析】由正弦定理sinsinbcBC，得1sin2B，又bc，则BC，所以6B，从而712ABC。5.【答案】D【解析】22228abcbc，222281cos222bcabcAbcbc，则8bc，所以ABC的面积是113sin82 3222bcA 。6.【答案】B【解析】设截面圆的半径为r，则6236r，即2r，所以14S，29S，从而圆台的体积为21212238()(4936)33

11、3hVSSS S。（也可以用大圆锥的体积减去小圆锥的体积求解）。7.【答案】B#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#【解析】34ANABAD，1143NMABAD ，则22311313164128443163163AN NMABADABADABAD 8.【答案】C【解析】/mn，则3cossinBB，即tan3B，所以3B，2aBMMC，AMACb，在ABM中，2222cos423aabcc ，即22242aacbc，在ABC中，2222cos3baca c ，即222bacac，由解得32ca，72ba，在ABC中，sin

12、sinabAB，则3sin212sin772aaBAba。二二、多项多项选择题选择题（本本大大题共题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分分部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分.请把正确答案涂在答请把正确答案涂在答题卡上）题卡上）9.【答案】AD【解析】用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体就是棱台，所以棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点，故 A 正确；由四边形ABCD的对角线交点为O，SO 平面ABCD，无法

13、确定四边形ABCD是正方形，所以四棱锥SABCD不一定是正四棱锥，故 B 错误；任意一个棱柱的侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是矩形，故 C 错误；球O的直径22222242 6r，所以半径6r，则球O的表面积为2424r，故 D 正确。10.【答案】BD【解析】设1zi，则211z R，而1z R，故 A 错误；因为2111zzz，2222zzz，又12|zz，则2112zzzz，故 B 正确；#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#设1zi，22zi，则122z z R，而12zz，故 C 错误；设111zabi，222

14、zab i，121221()()zaabb iz，则22121212|()()0zaabbz，从而1212,aa bb，即12zz，从而12zz，故 D 正确；11.【答案】ABD【解析】21211 1 cos32ee ，故 A 正确；22212112223beeee ee ，故 B 正确；22121211223222a beeeeee ee r ru ruru ruru ru r urur，2221211222443aeeee ee ，则312cos,233a ba bab ，所以2,3a b，故 C 错误；b在a上的投影向量为1cos,2aba baa ，故 D 正确。三、填空题：本大题共

15、三、填空题：本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.12.【答案】13【解析】5zi，则515462311112iiziiiiiii，所以222(3)131zi 13.【答案】64 2【解析】矩形11BB D D的面积为112 224SBD BB，111AB D的面积为21111112 2222SABAD，11AB B的面积为31111122222SAB BB，11AD D的面积为432SS，1ABD中，116,2 2ABADBD，则BD边上的高为2，其面积为512 222 22S，所以四棱锥111ABB D D的表面积为

16、1234564 2SSSSS。#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#14.【答案】34【解析】32CA CBAB AC ，即3cos2cosabCbcA，即3 cos2 cosaCcA由正弦定理，3sincos2sincosACCAsinsin32,3tan2tancoscosACACAC即因为1tan2C，所以1tan3A，所以11tantan32tan()1111tantan132ACACAC因为0AC，所以4AC，从而344B.三三 解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答

17、应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（本题满分（本题满分 13 分）分）【解析】（1）设,B m n，则2,1ABmn 因为向量AB a，所以 2210mn（2 分）又5AB ，所以22215mn（4 分）解得3131mmnn 或，所以 B 坐标为3,31,1或（6 分）(2)因为2,1,4,3ab,所以3,42,7,62baba（9 分）所以 02baba，即037426-，解得9（12 分）又 a,b 不反向共线,所以42736，21,综上219且.（13 分）16.（本题满分（本题满分 15 分）分）【解析】(1)在BDC 中，BCD=45,CBD60，#QQAB

18、LQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#由正弦定理，得sinsinBDCDBCDCBD，（2 分）则20 32sin20 2sin232CDBDBCDCBD所以 B,D 两个检测站之间的距离为20 2km.（6 分）(2)在ACD 中，ADC30，ACD120，所以CAD30，所以ADCCAD，所以 ACCD20 3.（8 分）由余弦定理得 AD2AC2DC22ACDC cos CAB（10 分）(20 3)2(20 3)2220 320 3cos 1203600所以 AD=60（11 分）在ADB 中，由余弦定理得AB2AD2BD22

19、ADBD cos ADB602(20 2)226020 2cos 452000（14 分）所以 AB20 5，即 A，B 两个检测站之间的距离为 20 5 km.（15 分）17（本题满分本题满分 15 分）分）【解析】（1）3,60,中OBOBAOBAOAOB，（2 分）圆锥的底面圆面积为2133S（4 分）圆锥的侧面面积为232 36S（6 分）圆锥的表面积为129SSS（7 分）（2）正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时a最大，（9 分）球心G在AO上，作GHAB于H，设球半径为R，OA=3，则AGH中，RR321，解得1R，（13 分）#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGA

20、CkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#23Ra，解得332a，即a的最大值为332.（15 分）18.18.（本题满分（本题满分 1 17 7 分）分）【解析】(1)在BOC 中，BOC，由余弦定理知，OC2OB2CB22OBCBcos CBO，所以7=OC（3 分）由正弦定理知，OCsin CBOBCsin BOC，所以 sin=sin BOCBCsin CBOOC217.（6 分）又2EOB，sinyx在,2上单调递增，故sinsinsin2EOB所以EOB正弦值的范围是 1,721（8 分）(2)记四边形 AOBE 的面积为 S，BOC，EOB，,2，则AOE90，因

21、为 OAOEOC 7，（10 分）所以 SAOE12OAOEsin AOE12 7 7sin(90)27cos，SEOB12OEOBsin EOB12 73sin 237sin，（13 分）所以 SSAOESEOB27cos 237sin 27(7cos 3sin)2 7sin()2 7，其中 sin 74，cos 34，（15 分）故当90，即 sin cos 34sin 时取等号，此时，四边形 AOBE 的面积 S 取得最大值 2 7.（17 分）19.19.（本题满分本题满分 1 17 7 分）分）【解析】（1）AabacbcaAbcbcacos12cos12222222#QQABLQa

22、UogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#AbBaAabBcos1coscos1cos（3 分）根据正弦定理asin Absin B，由 a cos Bb(1cos A)sin A cos Bsin B(1cos A)sin Acos Bsin Bcos Asin B，即 sin(AB)sin B.（7 分）ABC 是锐角三角形，A，B0,2，AB,2 2，因此有 ABBA2B（8 分）（2）ABC 是锐角三角形，A，B，C0,2，而 CAB3B，0B2，02B2，03B26B4.（10 分）由正弦定理bsin Bcsin C，得bcsinBsin CsinBsin 3B，（12 分）则 sin 3Bsin(2BB)sin 2B cos Bcos 2B sin B2sin B cos2B(12sin2B)sinB，而 1sin2Bcos2B，sin3B3sin B4sin3B.（14 分）所以 ybc134sin2B，B,6 4，sinB12,22，ybc1,12，因此bc的取值范围为1,12（17 分）#QQABLQaUogiIAIIAABgCAQGACkMQkBCCAIoORFAMIAIBCAFABAA=#