2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题25 配方法含答案.doc

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1、2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题 25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、 2、 3、 4、 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如

2、 能联想起配方法.(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.例题与求解【例1】 已知实数，满足 ，那么_(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x， y的值.【例2】 若实数， c满足 ，则代数式 的最大值是 ( ) A、27 B、18 C、15 D、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1) 非负数的最小值为零；(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】 已知， 求a + b + c的值.解题思

3、路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，的每一项都是一个完全平方数.解题思路： ，由此可猜想 ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.几个有趣的结论：(1) (2) 这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分

4、不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）(全国初中数学联赛试题)解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.【例6】 已知自然数n使得 为

5、完全平方数，求n的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.能力训练1、计算 =_.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知 ，则. 3、，y为实数，且 ，则+ y的值为_.4、当2时，化简代数式 ，得_.5、已知 ，当=_，y=_时，的值最小.(全国通讯赛试题)6、若 ，则MN的值 ( )A、负数 B、正数 C、非负数 D、可正可负7、计算 的值为 ( )A、1 B、 C、 D、 (全国初中数学联赛试题)8、设，, 为实数， ，则x，y，z中至少有一个值 ( )A、大于零 B、等于零 C、不大于零 D、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列

6、代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是( )A、 B、 C、D、 E、10、 已知实数， c满足 ，则a + b + c的值等于 ( )A、2 B、3 C、4 D、5(河北省竞赛试题) 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x1，x2，x3, xn为实数.(1) 若 则x1，x2，x3, xn中至少有(或存在)一个为零；(2) 若，则x1，x2，x3， xn中至少有(或存在)一个大于零；(3) 若，则x1，x2，x3， xn中至少有(或存在)一个小于零.11、 解方程组 (苏州市竞赛试题)12、能使 是完全平方数的正整

7、数n的值为多少？(全国初中数学联赛试题)13、已知，且 ，为自然数，求，的值.(天津市竞赛试题)13、设a为质数，b为正整数，且 ，求，的值.(全国初中数学联赛试题)14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y与x之间的函数关系式(0160)； (2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？间数（个）yx050100540990单价（元）专题25 配方法例1 10 提示：x=5-y代入，然后配方.例2 A 提示：原式=例3 a+b+c=20 提示：将等式整理，得即

8、=0例4 原式=+1=+1=4+8+1=4 例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S层的人乘电梯，而住t层的人直接上楼，St，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.设电梯停在第x层，在第一层有y人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： = = = =又当x=27，y=6时，.故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.例6 若为完全平方数，则也是完全平方数.设（m为自然数）配方得，（m+2n-19）（m-2n+19）=3于是 解得：故当n=9或10时是完全平方数. 能力训练1

9、. 2. 0 3. 6 4. 5. -3，-2, 5 6. B 7. C 8. A 提示：大于0 .9. B 提示：取n=2和3可否定A、C、D、E，而，故不是完全平方数. 10. B11. （x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数.12. 提示：当n8时，若它是完全平方数，则为一奇数的平方，设（k为自然数），则，由于k和k+1一奇一偶，k=1，于是，故n=11.13. 提示：设a=kb（k为正整数），则，解得14. 由，得到2a+b=509k，b=509k-2a，代入原式得，因为a为质数，故有以下情况：当k=1时，为质数，b=509k-2a=7.当k=2时，a=511-1

10、8=493=1729，不为质数，舍去.当k2且k为奇数时，为质数且k2，则，此方程无整数解，舍去.当k2且k为偶数时，为质数，且，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.综上所述，a=251，b=7.15. 提示： y=-9x+1440 （0xAB+CD. 例5 作B关于AC的对称点，连，则N关于AC的对称点在上的，这时 ，B到M的最小值等于 的最小值,等于B到的距离，即BM+MN的最小值为BH。连接B与AB和DC的交点P，则cm2 设AP=x，则PC=x，DP=20-x，由 ，得x=12.5，故cm，即BM+MN的最小值为16cm。能力训练1300 243提示：分别作点P关于OB，OA的对

11、称点P1，P2，连P1P2分别交OB，OA于R，Q，则PQR周长=PR+RQ+PQ= P1R+RQ+ P2QP1P2，连OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=10，所以 ，即PQR的周长的最小值为 410582 提示：设，则， 5B6C7C8B 提示：作点A关于BC的对称点D，在取BD的中点， 9 ， 1013 提示：作线段AB=12，CAAB于A，DBAB于B，AC=2，DB=3，在AB上去AP=x，则BP=12-x，即在AB上求点P，使PC+PD值最小，运用对称分析法可求。11提示：观察计算：（1）（a+2） （2） 探究归纳：（1）（2） 当，即时，；当，即时，；当，即时，；综上可知：

12、当时，选方案二；当时，选方案一或方案二；当时，选方案一。12（1）作B（4，-1）关于x轴的对称点B（4，1），连AB，交x轴于点P，PAB的周长最短，P（3.5，0），即x=3.5。（2）将点B（4，-1）向左平移3个单位到，再作B1关于x轴的对称点，连AB，交x轴于点C，再将点C向右平移3个单位得到点D，得C（1.25，0），即a=1.25。（3）作点A（2，-3）关于y轴的对称点A（-2，-3），作点B（4，-1）关于x轴的对称点B（4，1），连AB交x轴于点M，交y轴于点N，则四边形ABMN的周长最短，M（2.5，0），N（0，），即m=2.5，。13（1）正方形 （2） 14（1）5

13、； （2）4：5 专题27 面积法阅读与思考 平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角 所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快 用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果 下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题例题与求解 【例1】 如图，

14、从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为_ 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手 等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？ 【例2】 如图，AOB中，O，OAOB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是AOB的面积的，则OC：OD等于( ) A3：1 B2：1 C3：2 D5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决 【例3】 如图，在ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BED

15、F，BE与DF交于G，求证：BGCDGC. 解题思路：要证BGCDGC，即证CG为BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口 【例4】 如图，设P为ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F. 求证：（1）；（2） . 解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】 如图，在ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值. 【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积 解题思路：连对角

16、线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧转化的基本知识有： (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比； (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比； (3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方能力训练 1如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BMEC，垂足为M，则BM_.2如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP 2BP，CEDP于E，AD，AB，则CE_. 第1题图 第2题图 第3题图 3如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR13，则该八边形的面积为_.4.

17、 在ABC中，三边长为，表示边上的高的长，的意义类似，则()的值为_. 5如图，ABC的边AB2，AC3，分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是_. 6如图，过等边ABC内一点P向三边作垂线，PQ6，PR8，PS10，则ABC的面积是 ( ) A. B. C. D. 第5题图 第6题图 第7题图 7如图，点D是ABC的边BC上一点，若CADDAB，AC3，AB6，则AD的长是( ) A2 B. C.3 D. 8如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，那么恒成立的关系式是( ) A

18、. += B.+=C. += D+= 9已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，ABC的高为若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：.请直接用上述信息解决下列问题： 当点P在ABC内（如图2）、点P在ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立请给予证明；若不成立，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明 10.如图，已知D，E，F分别是锐角ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，APBPCP6，设PD，PE，PF，若，求的值 11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知ABCE，BCAD，BECD，DEAC，求证：

19、AEBD. 12.如图，在锐角ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是ADF，BDE，CEF的三条中线的交点.(1) 求DEF与ABC的面积比；(2) 求PDF与ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与ABC的面积比. 13如图，依次延长四边形ABCD的边AB ，BC，CD ，DA至E，F，G，H，使，若，求的值 14. 如图，一直线截ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证： （梅涅劳斯定理） 15如图，在ABC中，已知，求的值.专题27 面积法例1 提示： 例2 B 提示：作FGOA 于点G，则CFGDCO。于是CG=DO，O

20、C=GF=AG，设OC=m，OD=n，OA=OB=a，CD=x。则（勾股定理），由题设知 即 ，化简得，即，即m：n=2：1，故选B例3 提示：连接EC，FC，则，过C点分别作BE，DF的垂线，Q，P分别为垂足，推得CQ=CP。例4 （1）分别过P，A作BC的垂线，垂足为P1，A1。则，同理，故。（2）， 例5 设，则由上例得，将上式去分母，化简整理得，即。例6 连接AC，AG，由，得， 又 同理，故=连接BD，同理，故=能力训练1. 2.3. 提示：PRQ，PRT为直角三角形，4.5. 9 提示：延长AC到点F，使CF=CD，连接BF。易证DCEFCB，所以它们的面积相等，又CF=CA，所以

21、，即，同理可知，其他两个三角形的面积也与ABC的面积相等，而只有当BAC=90时，的最大值为，三个阴影部分的面积和最大为9.6.A 7.A8.B 提示：设A，M，B到DC的距离分别为，易知，则，故选B.9.当点P在ABC内时，结论仍成立；当点P在ABC外时，结论不成立，它们的关系是10. 提示：由例4的结论，得，将此式去分母，并化简整理得：.11.证明ABEDEA即可.12.（1）连接BF，则，两式相乘得，同理可得：，而，得，即.（2）延长DO交AC于点M，点P是ADF三条中线的交点，,，两式相乘得（3）同理，,故，故.13.连GA，HB，EC,FD及对角线AC,BD,则，同理，得，同理，由题意得，.14.连AD,BE,则 ，得 ，得.15.连BG，设，则，解得同理可得,又，得，这样，即.yx050100单价（元）yx050100单价（元）