2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题07 分式的化简与求值含答案.doc

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1、2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题07 分式的化简与求值阅读与思考给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略 解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标又要抓住条件，既要根据目标变换条件又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1恰当引入参数；2取倒数或利用倒数关系；3拆项变形或拆分变形；4整体代入；5利用比例性质等例题与求解【例l】 已知，则代数式的值为 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：目前不能求出的值，

2、但可以求出，需要对所求代数式变形含“”【例2】 已知一列数且，则为（ ）A648 B832 C1168 D1944 （五城市联赛试题） 解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路【例3】 求 （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程【例4】 已知求的值 （上海市竞赛试题） 解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式【例5】 不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数 解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明 （北京市竞赛

3、试题）【例6】 已知为正整数，满足如下两个条件： 求证：以为三边长可以构成一个直角三角形 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答（全国初中数学联赛试题）能力训练1若，则的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2已知，则 （广东竞赛试题）3 若且，则 的值为 （“缙云杯”竞赛试题）4已知，则 5如果，那么（ ） A1 B2 C D（“新世纪杯”竞赛试题）6 设有理数都不为0，且，则的 值为（ ） A正数 B负数 C零 D不能确定7已知，则的值为（ ） A0 B1 C2 D不能确定8已知，则的值为（ ）A1 B C D9设，求的值10已知其中互不相等，求证（天津市竞赛试题）11设满足，求证（为自然数）（

4、波兰竞赛试题）12三角形三边长分别为（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；（2）若，判断这个三角形的形状并证明13已知，求的值 （“华杯赛”试题）14解下列方程（组）：（1）； （江苏省竞赛试题）（2）；（“五羊杯”竞赛试题）（3） （北京市竞赛试题）B级1设满足，若，则 2若，且，则 3设均为非零数，且，则 4已知满足，则的值为 5设是三个互不相同的正数，已知，那么有（ ）A B C D6如果，那么的值为（ ）A3 B8 C16 D207已知，则代数式的值为（ ） A1996 B1997 C1998 D199998若，则的值为（ ） A B C5 D6（全国初中数学联赛试题）9已知非零实数

5、满足（1）求证：；（2）求的值 （北京市竞赛试题）10已知，且求的值（北京市竞赛试题）11 完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍， 求证：（天津市竞赛试题）12设，当时，求证：（天津市竞赛试题）13某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部（1）扶梯露在外面的部分有多

6、少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？ （江苏省竞赛试题）专题07 分式的化简求值例1 提示：例2 A 提示：=，得k=，又例3 油x+y+z=3a，得（x-a）+（y-a）+（z-a）=0.设x-a=m，y-a=n，z-a=p，则m+n+p=0，即p=-（m+n）.原式=-例4 x= 提示：由已知条件知xy0，yz0，取倒数，得： 即+，得例5 提示：由已知条件，得=例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c，或b=

7、a+c，或c=b+a，联立，只需证a=16或或b16或c16，即（a16）（b16）（c16）0. 展开只需证明0abc16（abbcac）162（abc）163abc16（abbcac）163 将平方、移项，有a2b2c23222（abbcca），又将移项、通分，有0（）（）把代入等式中，0当a160时，由有a16bc，由勾股定理逆定理知，以，为三边长组成一个以为斜边的直角三角形.同理，当b16或c16时，分别有bac或cba，均能以，为三边长组成一个直角三角形.A级1. 0或22. 1，x4.又5，3. 4.3 5. A6. C 提示：b 2c 2a22bc7. B8. C 提示：取倒数，

8、得x1m，原式的倒数x3m39. 1 提示：2a2bc2a2b（ab）a2aba2b2（ab）（aab）（ab）（ac）10. 提示：由xy，得xy，得zy11. 提示：参见例5得（ab）（bc）（ac）012. （1），（bc）（abaca2bc）0.（bc）（ab）（ca）0.bc0，ab或ca.这个三角形为等腰三角形.（2），（abc）ac，（ab）（bc）0, ab或bc，这个三角形为等腰三角形.13. 3 x，y，c，1，原式3.14. （1）x（2）x（3）（x，y，z）（，）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. 1或8 提示：设k，则k1或2 3.

9、4. 0 提示：由1，得：x 5. A 6. C7. D 提示：原式x25x88. A 提示：由已知条件得x3y9. （1）由abc0，得abc a3b3c33ab（ab）3abc（2）（）1， 同理：（）1，（）1，左边33910. a24a10，a214a，a0. 3.把代入上式中，3，消元得3，解得m19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天，则即解得x.12. 由ABC3得（1）即分解因式，得(bca)(abc)(abc)0bca， abc，abc中至少有一个为0，不妨设bca0，代入式中，A2002B2002C2002(1)20021200212002313

10、（1）设女孩速度x级/分，电梯速度y级/分，男孩速度2x级/分，楼梯S级，则得S54（2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编，走过楼梯n编，则女孩走过扶梯(m1)编，走过楼梯(n1)编，男孩上扶梯4x级/分，女孩上扶梯3x级/分，即，得6nm16，m，n中必有一个是正整数，且0mn1，m分别取值，则有m12345n2m166n，分别取值，则有m12n104显然，只有m3，n满足条件，故男孩所走的数32754198级男孩第一次追上女孩时走了198级台阶专题08 分式方程阅读与思考 分母含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等

11、 在解分式方程中，有可能产生增根尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件例题与求解【例1】 若关于的方程1的解为正数，则的取值范围是_ （黄冈市竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约【例2】 已知，其中A，B，C为常数求ABC的值 （“五羊杯”竞赛试题） 解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式【例3】解下列方程：（1）； （“五羊杯”竞赛试题）（2）； （河南省竞赛试题）（3）3 （加拿大数学奥林匹克竞赛试题） 解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解【例4】（1）方程的解是_ （江苏省竞

12、赛试题） （2）方程的解是_ （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口【例5】若关于的方程只有一个解，试求的值与方程的解（江苏省竞赛试题） 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题【例6】求方程的正整数解 （“希望杯”竞赛试题） 解题思路：易知都大于1，不妨设1，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计逐步缩小其取值范围，求出结果 能力训练A级1若关于x的方程有增根，则的值为_ （重庆市中考试题）2用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于的整式方程，

13、那么这个整式方程是_ （上海市中考试题）3方程的解为_ （天津市中考试题）4两个关于的方程与有一个解相同，则_ （呼和浩特市中考试题） 5已知方程的两根分别为，则方程的根是（ ） A， B， C， D， （辽宁省中考试题）6关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A1 B1且0 C1 Dl且2 （孝感市中考试题） 7关于的方程的两个解是1，2，则关于的方程的两个解是（ ） A， B1， C， D， 8解下列方程： （1）； （苏州市中考试题） （2） （盐城市中考试题）9 已知求105的值10若关于的方程只有一个解（相等的两根算作一个），求的值 （黄冈市竞赛试题）4 已知关于的方程22，其

14、中为实数.当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根. （聊城市中考试题）12若关于的方程无解，求的值 （“希望杯”邀请赛试题）B级7 方程的解是_（“祖冲之杯”邀请赛试题）2方程的解为_3分式方程有增根，则的值为_4若关于的分式方程1的解是正数，则的取值范围是_ （黑龙江省竞赛试题）5（1）若关于x的方程无解，则_ （沈阳市中考试题） （2）解分式方程会产生增根，则_ （“希望杯”邀请赛试题）6方程的解的个数为（ ） A4个 B6个 C2个 D3个7关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） Al B1且0 C1 D1且0 （山西省竞赛试题）8某工程，甲队独做所需天数是乙、丙

15、两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（ ） A1 B2 C3 D4 （江苏省竞赛试题）9已知关于的方程（21）有实数根 （1）求的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为1，2，且，求的值. （TI杯全国初中数学竞赛试颞）12 求方程20060的正整数解. （江苏省竞赛试题）11某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元今年销售额只有8万元 （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元? （2）为了增

16、加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案? （3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ （齐齐哈尔市中考试题）专题08 分式方程例1 a2且a4例2 原式右边 得ABC13例3 （1）x提示：（2），x31，x44 提示：令（3）提示例4 （1）原方程化为，即，进一步可化为(x2) (x3)(x8) (x9)，解得

17、x（2）原方程化为，即，解得x2例5 原方程化为kx23kx2x10，当k0时，原方程有唯一解x；当k0，5k24(k1)20由题意知，方程必有一根是原方程的曾根，即x0或x1，显然0不是的根，故x1是方程的根，代入的k当k0或时，原方程只有一个解例6 ，即，因此得x2或3当x2时，即，由此可得y4或5或6；同理，当x3时，y3或4，由此可得当1xyz时，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(1

18、2，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)A 级11 2y22y10 31 48 5D 6D 7D8(1) (2), 915250 提示：由x得则，得于是，得进一步得故原式1525010k0或k 提示：原方程化为kx23kx2x10，分类讨论11设x2xy，则原方程可化为y22mym210，解得y1m1，y2m1x22xm10，x22xm10，从而14m8，24m中应有一个等于零，一个大于零经讨论，当20即m0时，10，原方程有三个实数根将m0代入原方程，解得12 原方程“无解

19、”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)=3 , 原方程无解,a+2=0或x1=0,x+2=0,得 B级1. 3或 72. x=8 , x=1 , x=8 , x=1 提示: 令x8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a2 且 a45. 2 4 或 106. A7.8. 设甲单独做需要x天完成,乙单独做需要y天完成,丙单独做需要z天完成则 . 解 . 当a1时,则0,原方程有实数解.由=-2a+7-4a-10,解得(3) 设总获利为W元,则W=(4000-35000)x+(38

20、00-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利 专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1说明了与、2一样都是非负数2（0）解二次根式问题的基本途径通过平方，去掉根号有理化 3 揭示了与绝对值的内在一致性 4 （0，0） 5 （0，0）给出了二次根式乘除法运算的法则 6若0，则0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；8 要学会性

21、质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边例题与求解 【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是_ （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题【例2】 当12，经化简，_解题思路：从化简被开方数入手，注意中0的隐含制约【例3】若0，0，且，求的值 （天津市竞赛试题） 解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系【例4】若实数，满足关系式： ，试确定的值 （北京市竞赛试题） 解题思路：观察发现（199）与（199）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口 【例5】已知，求

22、的值 （山东省竞赛试题） 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积 （1）请你将ABC的面积直接填写在横线上：_ （2）我们把上述求ABC面积的方法叫作构图法若ABC三边的长分别为，2，（0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的ABC，并

23、求出它的面积 （3）若ABC三边的长分别为，2 （0，0，且）试运用构图法求出这个三角形的面积（咸宁市中考试题） 解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得图1 图2能力训练A级1要使代数式有意义则的取值范围是_ （“希望杯”邀请赛试题）2阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答已知为实数，化简 解：原式3已知正数，有下列命题：（1）若1，1，则1；（2）若，则；（3）若2，3，则；（4）若1，5，则3根据以上命题所提供的信息，请猜想：若6，7，则_ （黄冈市竞赛试题）4已知实数，满足，则（）的值

24、为_5代数式的最小值是（ ） A0 B1 C1 D不存在6下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ） A和2 B3和3 C和 D和（“希望杯”邀请赛试题）7化简的结果是（ ） A66 B66 C4 D4 （江苏省竞赛试题）8设是一个无理数，且，满足l0，则是一个（ ） A小于0的有理数 B大于0的有理数 C小于0的无理数 D大于0的无理数 （武汉市竞赛试题）9已知，其中0，求的值 （山东省中考试颗）10已知与的小数部分分别是，求的值 （浙江省竞赛试题）11设，为两两不等的有理数求证：为有理数（北京市竞赛试题）12设，都是正整数，且使，求的最大值 （上海市竞赛试题）B级1已知，为实数，y，则56

25、_2已知实数满足，则19992_3正数，满足42443，那么的值为_ （北京市竞赛试题）4若，满足37，则=的取值范围是_ （全国初中数学联赛试题）5已知整数，满足250，那么整数对（，）的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 （江苏省竞赛试题）6已知1，那么代数式的值为（ ） A B C D （重庆市中考试题）7设等式在实数范围内成立，其中，是两两不同的实数则代数式的值为（ ） A3 B C2 D8已知，则的值为（ ） A3 B4 C5 D65 设，是实数，若24614，求 的值（北京市竞赛试题）10已知33cz3，1，求证：11已知在等式中，都是有理数，是无理数求：（1）当，满足什么条件时

26、，是有理数，（2）当，满足什么条件时，是无理数（“希望杯”邀请赛试题）12设，求不超过的最大整数s13如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作ABBD，EDBD，连结AC，EC，已知AB5，DE1，BD8，设CD（1）用含的代数式表示ACCE的长；（2）请问点C满足什么条件是ACCE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值（恩施自治州中考试题）专题09 二次根式的概念与性质(3)构造ABC如图b所示，.A级1.2. 不正确，正确的答案是3. 4. 5.B 6.D 7.D 8.B 9. 10.11. 提示:设法证明12.都为整数，必为整数.设得即=216=454=2

27、108.当时，的值最大，最大值为108.B 级1.-16 2.2000 提示：由得 3. 4. 提示： 5.D6.D 提示：由得 7.B 8.C 9.6610.提示：令,则11.(1)当时，是有理数;当时，,其中是有理数，是无理数,是有理数;要使s为有理数，只有，即.综上知，当且时，s是有理数.(2)当时，且是无理数;当时，,其中是有理数，是无理数，是有理数，所以，当，即为无理数.综上知，当或是无理数. 12. .13.(1)AC+CE=.(2)当A,C,E三点共线时，AC十CE的值最小.(3)如图，作BD=12，过点B作ABBD，过点D作DEBD，且使AB=2,DE=3，连结AE交BD于点C，设BC=x，则CD =12-x,AE的长即为的最小值，过点A作AF/BD交ED的延长线于点F，则DF=AB=2，EF=ED+DF=5，AF=BD = 8 , AE= = =13，即原式的最小值为13.