2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题28 整体与完形含答案.doc

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1、2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题28 整体与完形阅读与思考许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：1. 将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2. 将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；3. 将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形： 例题与求解【例1】 如图，已知CDAF，CDEBAF，ABBC，E，C，则AFE_度. 解

2、题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形. 【例2】 设分别是ABC的三边长， 且满足，则它的内角A、B的关系是（ ）. A.B2A B.B2A C.B2A D.不确定解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.【例3】 如图1，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.若（1）BD，CE分别是ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为ABC的内角平分线；（3）CE为ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其

3、中的一种情况给予证明.解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.【例4】 如图，四边形ABCD中，ABC，BCD，AB，BC，CD，求AD的长. 解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边. 例4题图 例5题图 【例5】 如图，凸八边形中，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值. 解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形. 【例6】 如图，在ABC中，ABC，点D在边BC上，ADC，且.

4、将ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到，连结. (1) 证明：;(2) 求C的大小.解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题. 能力训练1. 如图，在四边形ABCD中，AC，ABAD，若这个四边形的面积为12，则BCCD_. 2. 如图，凸五边形ABCDE中，AB，EAABBC，CDDE，则这个五边形的面积为_.3. 如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为_. 4. 如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的

5、中点，线段AM与BN相交于P，则_. 5. 如图，长为的三条线段交于O点，并且，则三个三角形的面积和_（填“”，“”，或“”）.6. 如图，在四边形ABCD中，A，BD，BC，CD，则AB ( ). A. B. C. D. 7. 如图，在ABC中，M为BC中点，AN平分A，ANBN于N，且AB，AC，则MN等于（ ）. A. B. C. D. 8. 如图，在四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA，BEAD于E，则BE的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，B，C，则D等于（ ） A. B. C. D.条件不够，无法求出10. 如图，在ABC中，

6、E是AC中点，D是BC边上一点，若BC，ABC，BAC，CED，求的值. 11. 如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.12. 如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等. 13. 如图，设P为ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：. 14. 一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积.专题28 整体与完形补形法例1 134 例2 B 提示：由已知得例3 （1），分别延长AG、AF交BC于H，K，则AF=KF，AB=KB,AG=HG,AC=HC.（2）例4 提示：作DGBC交BC延长线于Q，AM

7、CB交CB延长线于M，DNMA于N，则MNDQ为矩形，.例5 延长A8A1，A3A2相交于M，延长A2A3，A5A4相交于N，延长A4A5、A7A6相交于P，延长A6A7、A1A8相交于Q.A1=A5, A2=A6，MA1A2=PA5A6, MA2A1=PA6A5,M=P，同理可证：N=Q。MNPQ为平行四边形，即A1A8A4A5，A2A3A7A6。同理可证：A1A2A6A5,A3A4A8A7凸八连形内任意一点到边A2A3和A6A7的距离的和为平行线A2A3和A6A7间的距离，是一个定值.同样,这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距

8、离的和为平行线和间的距离，都是定值.所以，凸八边形内任意一点到8条边的距离的和是一个定值.例6 (1)证明略.(2)如图,过点A分别作的垂线,垂足分别为.由及已证结论,知四边形是正方形, 由,及是沿作对称变换得到,知点均在的平分线上，.于是，,.故.则在中，.能力训练1. 提示：延长至，使. 2. 3. 42 4. 提示:延长及分别交于及,则,.5. 如图,将沿方向平移到位置, 再将沿方向平移到位置,则为等边三角形,且边长为2，因=6. D 7. D 8. C 9. B10. 提示：把补成一个边长为1的正三角形,延长至,使,连接，在上取点，使,连接，则,.11. 提示：以为直角边向三角形外作等腰,再作的延长线于E，则为直角梯形，.12. 证明：设八边形的边长分别为且都是整数，因为内角都等于，所以延长对边与这对边的延长线依次交出四点，则为矩形。 即. 是整数, 是整数, 是无理数,上式成立,须,即.类似可以证明:,即这个八边形的对边相等.13. 提示:过A作BC的平行线，分别交BN，CM的延长线于G,H,则BHGC为平行四边形，.14.在同圆中，因为等弦对等弧，所以，把八边形沿半径剪成四个底边为1和四个底边为2的等腰三角形， 如图，重新拼成八边形,使,.易知，八边形的八个内角相等，且的延长线组成正方形,.故原八边形面积=八边形的面积=