四川省遂宁市2024届高三第三次诊断考试数学理科试题含答案.docx

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1、遂宁市高中2024届三诊考试数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第卷（选择题，满分60分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则A B

2、C D2已知复数，则A B C D3下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是A B C D4设双曲线（）的渐近线方程为，则实数的值为A6 B4 C3 D25某公司研发新产品投入（单位：百万）与该产品的收益（单位：百万）的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额与收益满足回归方程，则下列结论不正确的是5689121620252836A与有正相关关系 B回归直线经过点C D时，残差为0.26设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A若，则B若，则C若，为异面直线，则D若，则与所成的角和与所成的角互余7已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数都有.当时，.则的值为A0 B1 C

3、D8已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则A是偶函数 B的图象关于直线对称C在上单调递增 D不等式的解集为9若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是A或 B C D10在中，分别是角的对边，若，则的值为A2023 B2024 C2025 D202611已知正四面体的棱长为4，动点满足,且，则点的轨迹长为A B C D12过抛物线的焦点作直线，与交于两点（点在轴上方），与轴正半轴交于点，为中点，且，又点，曲线上任意一点满足，过定点的直线与抛物线和曲线的四个交点从上到下依次为，则的最小值为A8 B12 C13 D14第卷（非选择题，满分90分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷

4、答题卡上作答，不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，请在第卷答题卡上作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13已知平面向量，若向量与共线，则 14已知实数满足约束条件，则的最大值为 15已知圆上一点，现将点绕圆心顺时针旋转到点，则点的横坐标为 16已知函数,若的最大值为，则实数的取值构成的集合为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.17（12分）某工厂为了检查一条流水线产品的某项指标值K，随机抽取流水线上的20件产品作为样本测出该项指标值K，指标

5、值K的分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图（如下图）（1）估计该产品指标值K的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在上述抽取的20件产品中任取2件，设为指标值超过65的产品数量，求的分布列与数学期望.18（12分）如图，在四棱锥中，面面, ，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.19（12分）已知点集，其中，点为与轴的公共点，等差数列的公差为1（1）求数列的通项公式；（2）令数列，记数列的前项和为，是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.20（12分）已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若方程在上有两个不等实数根

6、，求实数的取值范围.21（12分）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，且椭圆上的点到焦点的最远距离是.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若中点坐标为，求直线的方程;（3）设直线不过坐标原点且不垂直于坐标轴，直线与交于两点，点为弦的中点过点作直线的垂线交椭圆于两点，为弦的中点直线与直线交于，若，求的最大值选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.

7、以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及直线的直角坐标方程；（2）直线与曲线交于两点，且，求的值.23 （10分）已知关于的不等式有解.（1）求实数的取值范围；（2）若均为正数，为的最大值，且. 求证：.遂宁市高中2024届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（125=60分）123456789101112BDBACCDBACDD13 143 15 16三、解答题（共70分）17.解：（1）该产品指标值K的平均值：.5分（2）指标值K超过65的频率为.6分20件产品中指标值超过65的件数为：件.7分,所以，分布列为X012

8、P .10分.12分18.解：（1）证明： 所以.2分 所以， 因为，, 所以，.4分 因为，面PAD面ABCD，面ABCD，面PAD面ABCD=AD 所以，面PAD，所以，.5分OMEEOABCDOE（2）由（1）知，因为，又所以，面ABCD.7分法一：连接AC,取AC中点O,则,所以面ABCD作 ,垂足为E,连接ME,则为二面角的平面角.9分因为， 所以，,所以，所以又,所以,所以.12分xZ法二：在面ABCD内作,以AB、Ay、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系易知面ABCD的法向量为.8分因为，所以，,设面MAD的法向量为，所以，.10分.12分19【详解】（1）由，得，直线

9、.1分，即.3分由等差数列的公差为1，得.4分.5分（2）设.6分则.7分.8分，.9分恒成立，且.11分存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为3.12分20（1）.2分所以，又，切点所以，切线方程为：.4分（2）方程有2个不等实数根函数有2个零点，因为，所以，.6分令，得当时，单调递增 ，单调递减 ，单调递增 所以，在处取到极大值，在处取到极小值，要使有2个零点，须所以，.8分当时，单调递增，所以至多一个零点，不合题意.9分当时，单调递增 ，单调递减 ，单调递增 求得，在处取到极小值，在处取到极大值，要使有2个零点，须所以，.（舍去）.11分综上，的取值范围为，.12分21解：（1）由

10、题意.2分故，所以椭圆C的标准方程为.3分（2）由题意得，直线的斜率存在,设，则，两式相减得.4分所以，因为中点坐标为在椭圆内部，所以.5分故直线的方程为.6分（3）因为直线不过坐标原点且不垂直于坐标轴，所以设点，所以,由题意得，相减得.7分所以，所以，所以.8分所以，同理得，又，相乘得，因为，所以，则的方程为，直线DE的方程为,直线ON的方程为.9分联立得，故.10分又.11分当且仅当即时取等号，又，即当且仅当时取等号，所以，故的最大值为.12分22（1）由题意得，曲线，即，曲线C的极坐标方程为.2分直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为.4分（2）设直线的参数方程为（t为参数），代入中，化简得.6分设M，N两点对应的参数分别为，则，.7分则.10分23【详解】（1）由题意可得，令.1分当时，当时，当，所以的最大值为3.4分关于的不等式有解等价于，综上所述，实数的取值范围为.6分（2）由（1）可知，的取值范围为，且为的最大值，所以，则，即，由柯西不等式可得.8分当且仅当时，即时，等号成立.9分又，所以，即.10分学科网（北京）股份有限公司