二重积分的计算方法课件.pptx

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1、二重二重积积分的分的计计算方法算方法课课件件二重积分的基本概念二重积分的计算方法二重积分的计算技巧二重积分的实际应用习题与解答01二重积分的基本概念定义二重积分是定积分在二维平面上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。符号表示D f(x,y)dxdy，其中D是平面区域，f(x,y)是定义在该区域上的函数。计算步骤先对x积分，再对y积分，或者先对y积分，再对x积分。二重积分的定义030201二重积分可以用来计算平面区域的面积，特别是当区域D由曲线和直线围成时。二重积分可以表示函数在平面区域上的累积效应，例如质量分布、电荷分布等。二重积分的几何意义累加效应表示平面区域的面积二重积分的性质可加性二

2、重积分具有可加性，即对于任意两个不相交的区域D1和D2，有(D1D2)f(x,y)dxdy=D1 f(x,y)dxdy+D2 f(x,y)dxdy。线性性质二重积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，有D(af(x,y)+bf(x,y)dxdy=aD f(x,y)dxdy+bD f(x,y)dxdy。02二重积分的计算方法直角坐标系下的计算方法0102031.将二重积分转化为累次积分。2.分别对两个积分变量进行积分。直角坐标系下二重积分的计算步骤3.计算积分并得到结果。1.确定积分区域。直角坐标系下二重积分的计算注意事项直角坐标系下的计算方法2.正确选择被积函数和积分变量。3.注意积分的上下限

3、。直角坐标系下的计算方法极坐标系下的计算方法01极坐标系下二重积分的计算步骤021.将极坐标转化为直角坐标。2.将二重积分转化为累次积分。030102033.分别对两个积分变量进行积分。4.计算积分并得到结果。极坐标系下二重积分的计算注意事项极坐标系下的计算方法极坐标系下的计算方法1.确定积分区域在极坐标下的形状。2.正确选择被积函数和积分变量。3.注意积分的上下限。参数方程下二重积分的计算步骤1.将参数方程转化为直角坐标方程。2.将二重积分转化为累次积分。010203参数方程下的计算方法参数方程下的计算方法013.分别对两个积分变量进行积分。024.计算积分并得到结果。03参数方程下二重积分

4、的计算注意事项参数方程下的计算方法1.确定参数方程与直角坐标方程的对应关系。022.正确选择被积函数和积分变量。033.注意积分的上下限。0103二重积分的计算技巧总结词利用积分区域或被积函数的对称性，可以简化二重积分的计算。详细描述如果积分区域或被积函数具有对称性，例如关于x轴、y轴或原点对称，那么在计算二重积分时，可以将积分区域或被积函数进行简化，从而减少计算量。举例如果积分区域D关于x轴对称，且f(x,y)是关于y的奇函数，那么D f(x,y)dxdy=0。010203利用对称性简化计算详细描述如果被积函数f(x,y)是关于x或y的奇函数或偶函数，那么在计算二重积分时，可以将被积函数进行

5、简化，从而减少计算量。举例如果f(x,y)是关于x的奇函数，且积分区域D关于y轴对称，那么D f(x,y)dxdy=0。总结词利用被积函数的奇偶性，可以简化二重积分的计算。利用奇偶性简化计算总结词01将积分区域分成若干个小块，分别在每个小块上进行积分，可以简化二重积分的计算。详细描述02对于复杂的二重积分，可以将积分区域分成若干个小块，然后在每个小块上进行积分。这种方法可以降低计算的复杂度，提高计算的准确性。举例03如果积分区域D比较复杂，可以将D分成若干个小块D1,D2,.,Dn，然后分别计算D1 f(x,y)dxdy,D2 f(x,y)dxdy,.,Dn f(x,y)dxdy。利用分块积分

6、法简化计算04二重积分的实际应用总结词计算平面薄片的质量详细描述二重积分可以用于计算平面薄片的质量，通过将薄片的面积分区域，对每个区域的密度进行积分，再对所有区域的积分求和，即可得到整个薄片的质量。平面薄片的质量平面薄片的转动惯量计算平面薄片的转动惯量总结词转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，二重积分可以用于计算平面薄片的转动惯量。通过将薄片的面积分区域，对每个区域的转动惯量进行积分，再对所有区域的积分求和，即可得到整个薄片的转动惯量。详细描述VS计算曲面的面积详细描述二重积分可以用于计算曲面的面积。通过将曲面的面积分区域，对每个区域的面积进行积分，再对所有区域的积分求和，即可得到整个曲面

7、的面积。总结词曲面的面积05习题与解答习题部分计算二重积分D dxdy，其中D是由x2+y21和x0，y0所围成的区域。计算二重积分D dxdy，其中D是由x2+y29和x0，y0所围成的区域。计算二重积分D dxdy，其中D是由x=0，x=1，y=0和y=1所围成的区域。计算二重积分D dxdy，其中D是由x2+y24和x0，y0所围成的区域。解答对于第四个题目，我们可以将积分区域D分成两部分：D1：0 x3，0y3；D2：x2+y29，x0，y0。然后分别在D1和D2上积分得到结果为27/4。解答对于第一个题目，我们可以将积分区域D分成两部分：D1：0 x1，0y1；D2：0 x1，y1或0y1，x1。然后分别在D1和D2上积分得到结果为4/3。解答对于第二个题目，我们可以将积分区域D分成两部分：D1：0 x1，0y1；D2：x2+y21，x0，y0。然后分别在D1和D2上积分得到结果为/4。解答对于第三个题目，我们可以将积分区域D分成两部分：D1：0 x2，0y2；D2：x2+y24，x0，y0。然后分别在D1和D2上积分得到结果为8/3。解答部分THANK YOU