人大微积分课件8-1多元函数的极限及连续性.pptx

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1、人大微积分课件8-1多元函数的极限及连续性CATALOGUE目录多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的导数与微分多元函数的极值与最值多元函数的积分多元函数的极限CATALOGUE01函数极限的描述性定义当自变量趋近某一值时，函数值趋于某一常数。函数极限的精确定义如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$0|x-x_0|delta$时，有$|f(x)-A|varepsilon$，则称$f(x)$在$x_0$处有极限$A$。函数极限的定义唯一性如果函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的。局部保号性在函数符号相同的区间内，其极限值保持原有的符号。局部有界

2、性在函数有界的区间内，其极限值也是有界的。函数极限的性质利用代数运算求函数的极限。代数法利用恒等式简化函数的表达式，从而求得极限。恒等式法利用夹逼定理，通过比较函数在不同区间内的取值范围来求得极限。夹逼法函数极限的计算方法多元函数的连续性CATALOGUE02如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$eta$，使得当$|x-x_0|eta$时，有$|f(x)-f(x_0)|varepsilon$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。函数在某一点连续意味着当自变量趋近于这一点的值时，函数的值也趋近于这一点的函数值。连续性的定义解释定义若函数$f(x)$在点$x_0$处连

3、续，则函数$f(x)$在点$x_0$处有定义。性质1性质2性质3若函数$f(x)$在点$x_0$处连续，且$f(x_0)=0$，则存在一个正数$delta$，使得当$|x-x_0|0$。若函数$f(x)$在区间$a,b$上连续，则函数$f(x)$在区间$a,b$上有界。连续性的性质方法1直接代入法。如果函数在某点的定义域内，可以直接将该点的值代入函数表达式进行计算。方法2左右极限法。如果函数在某点的定义域外，可以通过求该点的左右极限来计算函数的值。方法3导数法。如果函数在某点可导，可以通过求该点的导数值来计算函数的值。连续性的计算方法多元函数的导数与微分CATALOGUE03导数的定义与性质导

4、数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，是函数值的增量与自变量增量的比值在增量趋于0时的极限。导数的性质导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则、链式法则等，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的切线等问题中有着重要的应用。对于一个可导函数，其高阶导数是指函数的一阶导数的导数，二阶导数的导数等。高阶导数的定义微分是函数增量的线性近似，即当函数的自变量在某点附近取得很小的增量时，函数增量可以近似地表示为函数在该点的微分。微分的概念高阶导数与微分导数的几何意义在二维空间中，导数表示曲线在某一点处的切线斜率；在三维空间中，导数表示曲面在某一点处的切平面法线斜率。导数的物理意义在

5、物理问题中，导数常常用来描述物理量随时间或空间的变化率，如速度、加速度、电流强度等。导数的几何意义与物理意义多元函数的极值与最值CATALOGUE04极值的定义如果函数在某点的附近取得的值都小于或大于该点的函数值，则称该点为函数的极小值点或极大值点。极值的性质极值是局部最优解，即在极值点附近函数值都小于或大于该点的函数值；此外，极值也可能是全局最优解。极值的定义与性质VS通过求一阶导数来判断，一阶导数为零的点可能是极值点；此外，还需判断二阶导数的符号，以确定是极大值还是极小值。计算极值在确定了极值点后，将该点的x值代入原函数中即可得到极值。判断极值点极值的计算方法函数在某个区间或定义域内的最大

6、值和最小值。最值是全局最优解，即在定义域内的所有点都小于或大于该点的函数值；最值的计算需要考虑函数的定义域和边界情况。最值的定义最值的性质最值的定义与性质多元函数的积分CATALOGUE05定积分的定义定积分是积分和的极限，即对区间a,b上的任意分割T和任意选取的点x_i，f(x_i)的矩形面积总和的极限。定积分的性质定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值定理等性质。定积分的定义与性质换元法换元法是计算定积分的一种常用方法，通过改变积分变量或积分区间，简化积分的计算。分部积分法分部积分法是计算定积分的另一种方法，通过将函数进行分部，将定积分转化为不定积分的计算。微积分基本定理微积分基本定理是计算定积分的基本方法，它将定积分转化为不定积分的计算。定积分的计算方法反常积分与含参变量的积分反常积分是对无穷区间上的积分的推广，包括无穷区间上的定积分和无穷限的反常积分。反常积分具有收敛和发散的性质。反常积分的定义与性质含参变量的积分是定积分的另一种形式，其中被积函数或积分区间与某个参数有关。含参变量的积分在求解过程中需要对参数进行分类讨论。含参变量的积分THANKS感谢观看