人大微积分课件8-8多元函数的极值与最值.pptx

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1、人大微积分课件8-8多元函数的极值与最值多元函数的极值多元函数的最值多元函数极值与最值的实际应用习题与解答多元函数的极值01定义设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点$(x,y)$都有$f(x,y)leqf(x_0,y_0)$（或$f(x,y)geqf(x_0,y_0)$），则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处取得极大值（或极小值），点$(x_0,y_0)$称为极大值点（或极小值点）。性质极值是局部性的概念，即一个函数在某点的极值只与该点的附近区域有关，而与该点距离较远的区域无关。定义与性质判定条件如果函数$f(x,y)$在点$

2、(x_0,y_0)$处取得极值，则该点的偏导数$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$必须存在，并且满足$f_x(x_0,y_0)=0$和$f_y(x_0,y_0)=0$。必要条件如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$存在，并且满足$f_x(x_0,y_0)=0$和$f_y(x_0,y_0)=0$，那么在该点处可能有极值，也可能没有极值。因此，还需要进一步判断。充分条件极值的第一充分条件内容：如果函数$f(x,y)$在点$(x0,y0)$处的偏导数$fx(x0,y0)$和$fy(x0,y0)$存在

3、，并且满足$fx(x0,y0)=0$和$fy(x0,y0)=0$，那么在该点处可能有极值，也可能没有极值。如果存在一个或多个方向上函数值减小，则该点为极小值点；如果存在一个或多个方向上函数值增大，则该点为极大值点。多元函数的最值02多元函数在某点的函数值小于或等于它在该点的某个邻域内所有点的函数值，则称该点为多元函数的局部最小值点；反之，则为局部最大值点。定义局部最小值和局部最大值统称为多元函数的极值，而它们的函数值则分别为极小值和极大值。此外，极值具有局部性，即在一个点附近的函数值，只受该点附近区域的影响，而与远离该点的区域无关。性质定义与性质求解方法无限制条件通过求多元函数的偏导数，并令其

4、为零，解得驻点。然后，检查驻点处的二阶偏导数，根据其符号判断是否为极值点。有限制条件通过拉格朗日乘数法，将多元函数的极值问题转化为求无限制条件的极值问题。在多元函数的图像上，最小值对应的点为局部凹陷的最低点。最小值在多元函数的图像上，最大值对应的点为局部凸起的最高点。最大值最值的几何意义多元函数极值与最值的实际应用03多元函数极值理论可以用于确定最佳投资组合，使得在给定风险水平下最大化预期收益，或在给定预期收益下最小化风险。投资组合优化在经济学中，多元函数极值可以用于解决供需平衡问题，例如通过调整价格和产量来达到市场均衡。供需平衡通过多元函数极值理论，可以优化资源分配，使得在满足一定约束条件下

5、最大化总体效益。资源分配在经济中的应用弹性力学在弹性力学中，多元函数极值可以用于描述物体的形变和应力分布，通过最小化势能来求解物体的平衡状态。流体力学在流体力学中，多元函数极值可以用于描述流体运动，例如通过最小化动能和势能之和来求解流体动力学问题。电磁学在电磁学中，多元函数极值可以用于描述电磁场的分布，例如通过最小化能量泛函来求解静电场和静磁场问题。在物理中的应用在其他领域的应用在化学工程中，多元函数极值可以用于优化化学反应过程，例如通过最小化反应势能来控制化学反应的方向和速率。生物医学工程在生物医学工程中，多元函数极值可以用于描述生物体的结构和功能，例如通过最小化生物体的能量消耗来分析生物系

6、统的稳定性和适应性。环境科学在环境科学中，多元函数极值可以用于描述生态系统的平衡和稳定性，例如通过最小化生态系统总能量消耗来分析生态系统的可持续性。化学工程习题与解答04习题计算函数f(x,y)=x2+y2在点(1,2)处的极值。判断函数f(x,y)=xy在点(1,-1)处的极性。求函数f(x,y)=x2+y2在闭区间-1,1-1,1上的最大值和最小值。求函数f(x,y)=x2+y2在点(0,0)处的方向导数。解答与解析01对于第一个问题，我们首先求出函数f(x,y)的偏导数，然后根据极值的必要条件判断出在点(1,2)处是否存在极值，最后通过验证充分条件判断出极值的类型。02对于第二个问题，我们首先求出函数f(x,y)在给定区间上的极值，然后比较这些极值与区间端点的函数值，从而得到最大值和最小值。03对于第三个问题，我们首先求出函数f(x,y)的偏导数，然后根据极值的必要条件判断出在点(1,-1)处的极性。04对于第四个问题，我们首先求出函数f(x,y)的方向导数，然后根据方向导数的定义判断出在点(0,0)处的方向导数的取值范围。