上海海事大学高数课件2数列的极限.pptx

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1、上海海事大学高数课件2-数列的极限目录数列极限的定义极限的性质与运算单调有界定理与柯西收敛准则极限的应用数列的级数数列极限的定义0101极限的定义02极限的性质对于数列$a_n$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_n$趋于某个常数$a$，则称数列$a_n$收敛于$a$。极限具有唯一性、传递性、局部有界性、局部保号性等性质。定义及性质根据极限的定义，可以通过观察数列的变化趋势来判断数列是否收敛。如果数列趋于一个常数，则数列收敛；否则，数列发散。收敛的判断例如，数列$(-1)n$是发散的，因为当$n$趋于无穷大时，数列的值在-1和1之间交替，没有趋于一个常数。发散的例子收敛与发散几何解释在数轴上，如

2、果一个数列的点随着项数的增加逐渐接近一个点，那么这个数列就是收敛的。相反，如果数列的点分散开来，没有趋于一个点，那么这个数列就是发散的。几何意义的应用通过几何解释，可以直观地理解收敛和发散的概念，并且可以用于判断一些复杂的数列是否收敛。收敛的几何解释极限的性质与运算02010203极限的加法、减法、乘法和除法等基本运算法则，用于计算复合函数的极限。极限的四则运算法则如果一个数列的子数列收敛，那么这个数列也收敛，反之亦然。极限存在定理一个数列只能有一个极限，即极限具有唯一性。极限的唯一性极限的运算法则 无穷小量与无穷大量无穷小量在自变量趋于某点或无穷远时，函数值趋于零的量。无穷大量在自变量趋于某

3、点或无穷远时，函数值趋于无穷大的量。无穷小与无穷大的关系在一定条件下，无穷小和无穷大可以相互转化。夹逼准则单调有界准则柯西准则极限存在准则如果数列中的项被两个收敛序列所夹逼，那么这个数列也收敛，且极限值等于这两个收敛序列的极限值。如果一个单调递增（或递减）的有界数列存在上（或下）确界，那么这个数列收敛，且极限值等于上（或下）确界。如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得对于任意大于$N$的正整数$n$，都有$|a_n-L|N时，对于所有的正整数p，都有|an+p-an|N时，对于所有的正整数p，都有|an+p-an|，则数列an收敛。这个准则的重要性在于它给出了判

4、断数列收敛的充要条件，即只要满足柯西收敛准则的条件，数列就一定收敛。总结词柯西收敛准则闭区间上连续函数的性质是数学分析中重要的基本概念之一，它包括函数的最大值、最小值、介值定理等。闭区间上连续函数的性质包括函数的最大值和最小值定理，即在一个闭区间a,b上的连续函数一定存在最大值和最小值。此外，介值定理也属于连续函数的性质之一，它指出在闭区间a,b上的连续函数f(x)，如果对任意x1,x2a,b，只要x1x2就有f(x1)f(x2)，那么对于任何介于f(a)和f(b)之间的值c，至少存在一个点a,b，使得f()=c。这些性质在数学分析和实数理论中有着广泛的应用。总结词详细描述闭区间上连续函数的性

5、质极限的应用04总结词通过求函数的极限，可以得到函数在某些点处的近似值或精确值。详细描述在某些情况下，函数在某点的值可能无法直接计算，但可以通过求极限的方式得到该点的近似值或精确值。例如，计算圆周率的近似值时，可以利用圆的周长与直径之比来求极限。利用极限求函数值总结词通过求参数的极限，可以确定参数的取值范围或求解某些方程。要点一要点二详细描述在求解某些数学问题时，可能需要确定参数的取值范围或求解方程。通过求参数的极限，可以找到参数的取值范围或求解方程。例如，求解函数的最值问题时，可以利用求导数后得到的极值条件来求参数的极限。利用极限求参数的值利用极限证明不等式通过求极限来证明不等式，可以证明不

6、等式的正确性或推导不等式的性质。总结词在证明不等式时，可以利用求极限的方法来证明不等式的正确性或推导不等式的性质。例如，利用极限的性质可以证明一些重要的不等式，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。详细描述数列的级数0501正项级数定义正项级数是一种特殊的无穷级数，其各项均为正数。02正项级数的性质正项级数具有一些特殊的性质，如当级数收敛时，其和一定大于或等于任何给定的正数。03常见的正项级数常见的正项级数包括几何级数、调和级数等。正项级数交错级数定义交错级数是正负交替出现的无穷级数。交错级数的性质交错级数的各项绝对值单调递减且趋于0，则该级数收敛。绝对收敛如果一个交错级数的各项绝对值之和收敛，则该级数称为绝对收敛。交错级数与绝对收敛幂级数是形如$a_0+a_1x+a_2x2+ldots$的无穷级数，其中$a_0,a_1,a_2,ldots$是常数。幂级数定义泰勒级数是幂级数的特例，它具有特定的形式，常用于近似计算函数的值。泰勒级数幂级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如求解微分方程、近似计算等。幂级数的应用幂级数与泰勒级数THANKS