2024年初中升学考试九年级数学专题复习旋转的性质.docx

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1、旋转的性质52（2023天津）如图，把ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（）ACAEBEDBABAECACEADEDCEBD【答案】A【分析】由旋转的性质可得ABCADE，BADCAE，由三角形内角和定理可得BEDBADCAE【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，把ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，ABCADE，BADCAE，又AOBDOE，BEDBADCAE，故选：A【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键旋转的性质41（2023邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上

2、的一点，过点D作BC的平形线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）将ABP绕点A逆时针方向旋转60，得到ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F（1）证明：在点P的运动过程中，总有PEQ120（2）当APDP为何值时，AQF是直角三角形？【答案】（1）见解析过程；（2）3【分析】（1）由旋转的性质可得PAQA，PAQ60，通过证明点A，点P，点E，点Q四点共圆，可得PAQ+PEQ180，即可得结论；（2）由旋转的性质可得PAQ60，APAQ，由角的数量关系可求DAP30，APD90，即可求解【解答】（1）证明：将ABP绕点A逆时针方向旋转60，PAQA，PAQ60，APQ

3、是等边三角形，AQP60，DEBC，AEDACB60，AQPAED，点A，点P，点E，点Q四点共圆，PAQ+PEQ180，PEQ120；（2）解：如图，根据题意：只有当AFQ90时，成立，ABP绕点A逆时针方向旋转60，得到ACQ，PAQ60，APAQ，APQ是等边三角形，PAQ60，AFQ90，PAFQAF30，ABC是等边三角形，ABCBCACAB60，DEBC，ADPABC60，DAP30，APD90，tanADPtan60=APPD=3【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键旋转的性质29（2023张家界）如图，AO

4、为BAC的平分线，且BAC50，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形ABOC，且OAC100，则四边形ABOC旋转的角度是 75【答案】75【分析】依据AO为BAC的平分线可知，BAOCAO=12BAC25，依据旋转的性质可知CAO=12=25，旋转角为OAO，OAOOACCAO代入数据即可得解【解答】解：AO为BAC的平分线，BAC50，BAOCAO=12BAC25，依据旋转的性质可知CAO=12=25，旋转角为OAO，OAOOACCAO1002575故答案为：75【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键旋转的性质

5、28（2023绥化）已知等腰ABC，A120，AB2现将ABC以点B为旋转中心旋转45，得到ABC，延长CA交直线BC于点D则AD的长度为 4+23或423【答案】4+23或423【分析】分两种情况：当ABC绕点B逆时针旋转45得到ABC，过点B作BEAD于D，作BD的垂直平分线HF交DB于H，交AD于F，连接BF，先求出D15，再求出AE1，BE=3，进而得DF=BF=23，EF3，据此可求得AD的长；当ABC绕点B顺时针旋转45得到ABC，过点D作DMAD于M，作AD的垂直平分线PQ交AB于Q，先求出ABD15，设AMx，则AD2x，DM=3x，进而可求得DQ=BQ=23x，QM3x，据此

6、可求出x，进而可求得AD的长【解答】解：将ABC绕点B旋转45得到ABC，有以下两种情况：当ABC绕点B逆时针旋转45得到ABC，过点B作BEAD于E，作BD的垂直平分线HF交DB于H，交AD于F，连接BF，ABC为等腰三角形，A120，AB2，BACA120，ABAB2，ABC30，DAB60，由旋转的性质得：ABA45，ABCABA+ABC75，又ABCDAB+D，即7560+D15，在RtABE中，DAB60，AB2，ABE30，AE=12AB=1，由勾股定理得：BE=AB2AE2=3，HF为BD的垂直平分线，DFBF，DFBD15，EFBD+FBD30，BF=2BE=23，故：DF=B

7、F=23，由勾股定理得：EF=BF2BE2=3，AD=AE+EF+DF=4+23；当ABC绕点B顺时针旋转45得到ABC，过点D作DMAD于M，作AD的垂直平分线PQ交AB于Q，由旋转的性质得：ABA45，BACA120，ABAB2，ABDABAABC15，BAD60，DMAD，ADM30，在RtADM中，ADM30，设AMx，则AD2AM2x，由勾股定理得：DM=AD2AM2=3x，PQ为BD的垂直平分线，BQDQ，ABDQDB15，DQMABD+QDB30，DQ=BQ=2DM=23x，由勾股定理得：QM=QD2DM2=3x，AM+QM+BQAB，x+3x+23x=2，x=23，即AD=2x

8、=423综上所述：AD的长度为4+23或423故答案为：4+23或423【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握图形的旋转变换，理解在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错点之一29（2023绥化）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60得到CF连接AF，EF，DF，则CDF周长的最小值是 3+33【答案】3+33【分析】分析已知，可证明BCEACF，得CAFCBE30，可知点F在ABC外，使CAF3

9、0的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果【解答】解：ABC是等边三角形，ACBC6，ABCBCA60，ECF60，BCE60ECAACF，CECF，BCEACF（SAS），CAFCBE，ABC是等边三角形，BD是高，CBE=12ABC30，CD=12AC3，过C点作CGAF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GHCG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则ACG60，CGGH=12AC3，CHAC6，ACH为等边三角形，DHCDtan60=33，AG垂直平分CH，CIHI，CFFH，CI+DIHI+DIDH33，CF+DFHF+DFDH，当F

10、与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DFDH33，CDF的周长的最小值为3+33故答案为：3+33【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹30（2023黑龙江）如图，在RtACB中，BAC30，CB2，点E是斜边AB的中点，把RtABC绕点A顺时针旋转，得RtAFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，CEF面积的最大值是 4+3【答案】4+3【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案【解答

11、】解：线段CE为定值，点F到CE的距离最大时，CEF的面积有最大值在RtACB中，BAC30，E是AB的中点，AB2BC4，CEAE=12AB2，ACABcos3023，ECABAC30，过点A作AGCE交CE的延长线于点G，AG=12AC=3，点F的在以A为圆心，AB长为半径的圆上，AFAB4，点F到CE的距离最大值为4+3，SCEF=12CE(4+3)=4+3，故答案为：4+3【点评】本题主要考查了旋转的性质，特殊直角三角形的性质，点的运动轨迹等知识，采取动静互换，画出CEF的面积最大时的图形是解题的关键旋转的性质48（2023聊城）如图，已知等腰直角ABC，ACB90，AB=2，点C是矩

12、形ECGF与ABC的公共顶点，且CE1，CG3；点D是CB延长线上一点，且CD2连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为（）A2B3C10D13【答案】D【分析】当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，由勾股定理可求此时GF的长，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，由勾股定理可求此时GF的长，即可求解【解答】解：在等腰直角ABC，ACB90，AB=2，ACBC1，在BCG中，CGBCBGCG+BC，即2BG4，如图，当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，DGDC+CG5，GF1，

13、DF=DG2+GF2=25+1=26=m，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，DGCGDC1，FG1，DF=FG2+DG2=1+1=2=n，mn=13，故选：D【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识，确定BG最长和最短时的位置是解题的关键旋转的性质47（2023菏泽）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将ABE绕点B按顺时针方向旋转90，得到CBF若ABE55，则EGC80度【答案】80【分析】先根据正方形的性质可得ABC90，从而可得EBC35，然后根据旋转的性质可得：BEBF，EBF90，从而可得BEFBFE45，最后利用三角形的外角性质进行计算，即可解

14、答【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABC90，ABE55，EBCABCABE35，由旋转得：BEBF，EBF90，BEFBFE45，EGC是BEG的一个外角，EGCBEF+EBC80，故答案为：80【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，以及正方形的性质是解题的关键旋转的性质51（2023宜宾）如图，ABC和ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点若AB=3，AD1以下结论：BDCE；BDCE；当点E在BA的延长线上时，MC=332；在旋转过程中，当线段MB最短时，MBC的面积为12其中正确结论有（）A1个B

15、2个C3个D4个【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【分析】证明BADCAE可判断，由三角形的外角的性质可判断，证明DCMECA，有 MC3=312，即可判断；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在A的下方与A相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在RtMBC中，MC=BC2MB2=2+1，然后根据三角形的面积公式可判断【解答】解：ABC和ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，BACA，DAEA，BACDAE90，BADCAE，BADCAE（SAS），BDCE，ABDACE，故正确；设ABDACEx，DBC45x，EMBDBC+BCMDBC+BC

16、A+ACE45x+45+x90，BDCE，故正确；当点E在BA的延长线上时，如图：同理可得DMC90，DMCEAC，DCMECA，DCMECAMCAC=CDEC，AB=3=AC，AD1AE，CD=ACAD=31，CE=AE2+AC2=2，MC3=312，MC=332，故正确；以A为圆心，AD为半径画圆，如图：BMC90，当CE在A的下方与A相切时，MB的值最小，ADMDMEAEM90，AEAD，四边形AEMD是正方形，MDAE1，BD=AB2AD2=(3)212=2，CEBD=2，BMBDMD=21，MCCE+ME=2+1，BC=2AB=6，MB=BC2MC2=(6)2(21)2=2+1，MB

17、C的面积为12（2+1）（21）=12，故正确，故选：D【点评】本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径等知识，解题的关键是掌握旋转的性质52（2023宜宾）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90得到线段BQ，连接MQ若AB4，MP1，则MQ的最小值为 2101【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】连接BM，将BCM绕B逆时针旋转90得BEF，连接MF，QF，证明BPMBBQF（SAS），得MPQF1，故Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，

18、求出BM=BC2+CM2=25，可得MF=2BM210，由MQMFQF，知MQ2101，从而可得MQ的最小值为2101【解答】解：连接BM，将BCM绕B逆时针旋转90得BEF，连接MF，QF，如图：CBE90，ABC90，ABC+CBE180，A，B，E共线，PBMPBQMBQ90MBQFBQ，由旋转性质得PBQB，MBFB，BPMBBQF（SAS），MPQF1，Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，BCAB4，CM=12CD2，BM=BC2+CM2=25，MBF90，BMBF，MF=2BM210，MQMFQF，MQ2101，MQ的最小值为2101故答案为：2101【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助线构造全等三角形解决问题