2024年初中升学考试九年级数学专题复习三角形综合题.docx

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1、三角形综合题38（2023常德）如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EBEC（1）求证：BAECAE；（2）在如图1中，若AEAD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DFAB于F，设H是EC的中点，过点H作HGAB交FD于G，交DE于M求证：AFMHAMAE；GFGD【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EBEC，利用SSS公理证明BAECAE；（2）连接AH，证明AFDMAH，根据相似三角形的性质证明；证明AMHDAC，再根据三角形中位线定理证明即可【解答】证明：（1）ABAC，D是BC的中点，AD是BC的垂

2、直平分线，又E在AD上，EBEC，在BAE和CAE中，AB=ACEB=ECAE=AE，BAECAE（SSS）；（2）连接AH，A，H分别是ED和EC的中点，AH为EDC的中位线，AHDC，EAHEDC90，又DFAB，AFD90，又HGAB，FADAMH，AFDMAH，AFAM=ADMH，AFMHAMAD，AEAD，AFMHAMAE；ABAC，ABCACB，ABDADFAHM，AHMACB，AMHDAC，A、H分别为ED和EC中点，AH为EDC的中位线，AMAD=AHDC=12，AM=12AD，即M为AD中点，AFGH，G为FD中点，GFGD【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角

3、形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键三角形综合题33（2023广西）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足ADBECF（1）求证：ADFBED；（2）设AD的长为x，DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述DEF的面积随AD的增大如何变化【答案】（1）见详解（2）y=334x233x+43 （3）当2x4时，DEF的面积随AD的增大而增大，当0x2时，DEF的面积随AD的增大而减小【分析】（1）由题意易得AFBD，AB60，然后根据SAS可进行求证；（2）分别过点C，F作CHAB，FGAB，垂足分别

4、为点H、G，根据题意可得SABC43，AF4x，然后可得FG=32（4x），由（1）易得ADFBEDCFE，则有SADFSBEDSCFE=34x（4x），进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解【解答】（1）证明：ABC是等边三角形，AB60，ABAC，ADCF，AFBD，在ADF和BED中，AD=BEA=BAF=BD，ADFBED（SAS）；（2）解：分别过点C、F作CHAB，FGAB，垂足分别为点H、G，在等边ABC中，ABACB60，ABBCAC4，CHACsin6023，SABC=12ABCH43AD的长为x，则ADBECFx，AF4x，FGAFsin60=32（4x）

5、，SADF=12ADFG=34x（4x），由（1）可知ADFBED，同理可证，BEDCFE，SADFSBDESCFE=34x（4x），DEF的面积为y，ySABC3SADF43334x（4x）=334x233x+43；（3）由（2）可知：y=334x233x+43，a=3340，对称轴为直线x=332334=2，当x2时，y随x的增大而增大，当x2时，y随x的增大而减小，即当2x4时，DEF的面积随AD的增大而增大，当0x2时，DEF的面积随AD的增大而减小【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用分割

6、法求三角形面积，学会利用二次函数的性质解决问题三角形综合题27（2023成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究在RtABC中，C90，ACBC，D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F【初步感知】（1）如图1，当n1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程【深入探究】（2）如图2，当n2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】（3

7、）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）【考点】三角形综合题【分析】（1）由“ASA”可证CDEBDF，可得CEBF，即可求解；（2）先证ADN和BDH是等腰直角三角形，可得ANDN，DHBH，AD=2AN，BD=2BH，可求AD=2x，BD22x，通过证明EDNFDH，可求FH2NE，即可求解；分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）由题意可得点M在线段CD的垂直平分线上运动，由相似三角形的性质可求MR1，由勾股定理和相似三角形的性质可求RMn，由勾股定理可求解【解答】（1）证明：连接CD，C90，ACB

8、C，ADDB，AB=2AC，ABACD45，ADCDBD，CDAB，EDFD，EDFCDB90，CDEBDF，CDEBDF（ASA），CEBF，AE+BFAE+CEAC=22AB；（2）AE+12BF=23AB，理由如下：过点D作DNAC于N，DHBC于H，C90，ACBC，AB45，DNAC，DHBC，ADN和BDH是等腰直角三角形，ANDN，DHBH，AD=2AN，BD=2BH，AB45ADNBDH，ADNBDH，ADDB=ANDH=12，设ANDNx，BHDH2x，AD=2x，BD22x，AB32x，DNAC，DHBC，ACB90，四边形DHCN是矩形，NDH90EDF，EDNFDH，又

9、ENDFHD，EDNFDH，ENFH=DNDH=12，FH2NE，AE+12BFx+NE+12（2xFH）2x=23AB；如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DNAC于N，DHBC于H，C90，ACBC，AB45，DNAC，DHBC，ADN和BDH是等腰直角三角形，ANDN，DHBH，AD=2AN，BD=2BH，AB45ADNBDH，ADNBDH，ADDB=ANDH=1n，设ANDNx，BHDHnx，AD=2x，BD=2nx，AB=2（n+1）x，DNAC，DHBC，ACB90，四边形DHCN是矩形，NDH90EDF，EDNFDH，又ENDFHD，EDNFDH，ENFH=DNDH=1n，FH

10、nNE，AE+1nBFx+NE+1n（nxFH）2x=2n+1AB；当点F在CB的延长线上时，如图5，C90，ACBC，AB45，DNAC，DHBC，ADN和BDH是等腰直角三角形，ANDN，DHBH，AD=2AN，BD=2BH，AB45ADNBDH，ADNBDH，ADDB=ANDH=1n，设ANDNx，BHDHnx，AD=2x，BD=2nx，AB=2（n+1）x，DNAC，DHBC，ACB90，四边形DHCN是矩形，NDH90EDF，EDNFDH，又ENDFHD，EDNFDH，ENFH=DNDH=1n，FHnNE，AE1nBFx+NE1n（FHnx）2x=2n+1AB；综上所述：当点F在射线

11、BC上时，AE+1nBF=2n+1AB，当点F在CB延长线上时，AE1nBF=2n+1AB；（3）如图，连接CD，CM，DM，EF的中点为M，ACBEDF90，CMDM=12EF，点M在线段CD的垂直平分线上运动，如图，当点E与点A重合时，点F在BC的延长线上，当点E与点C重合时，点F在CB的延长线上，过点M作MHFC于R，MRAC，MRAC=MFAF=12=FRFC，MR1，FRCR，设ANDNx，BHDHnx，AD=2x，BD=2nx，AB=2（n+1）x22，x=21+n，FDBD=2nx，FB2nx，CF2nx2，CRnx1=2n1+n1=n11+n，由（2）可得：CD=DN2+NE2

12、=x1+n2，DFnDEnx1+n2，CF（1+n2）x，CM=(1+n2)x2=(1+n2)21+n2=1+n21+n，RMn，MM=1+n2，点M运动的路径长为1+n2【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键28（2023重庆）如图，ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线ABC方向运动，F沿折线ACB方向运动，当两点相遇时停止运动设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；（2）

13、在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值【考点】三角形综合题【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y3时的t值即可解决问题【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，AEF为边长等于t的等边三角形，点E，F的距离等于AE、AF的长，当0t4时，y关于t的函数表达式为yt，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的

14、距离等于42（t4），当4t6时，y关于t的函数表达式为y42（t4）122t，y关于t的函数表达式为y=t(0t4)y=2t+12(4t6)；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t0时，y0；当t4时，y4；当t6时，y0，分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0t4时，y随t的增大而增大（答案不唯一，正确即可）（3）把y3分别代入yt和y122t中，得：3t，3122t，解得：t3或t4.5，点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5【点评】本题是一道三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，

15、以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键29（2023重庆）如图，ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线ABC方向运动，点F沿折线ACB方向运动，当两者相遇时停止运动设运动时间为t秒，点E，F的距离为y（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值【考点】三角形综合题【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据

16、画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y3时的t值即可解决问题【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，AEF为边长等于t的等边三角形，点E，F的距离等于AE、AF的长，当0t4时，y关于t的函数表达式为yt，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于42（t4），当4t6时，y关于t的函数表达式为y42（t4）122t，y关于t的函数表达式为y=t(0t4)y=2t+12(4t6)；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t0时，y0；当t4时，y4；当t6时，y0，分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质：当0t4时，y随t的增大而增大（答案不唯一，正确即可）（3）把y3分别代入yt和y122t中，得：3t，3122t，解得：t3或t4.5，点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5【点评】本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键