课时规范练29 利用导数研究函数的零点.docx
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1、课时规范练29利用导数研究函数的零点1.(2024山东济南模拟)已知函数f(x)=x3+3ax-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)只有一个零点,求实数a的取值范围.2.(2024广东江门模拟)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,其中a1.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)讨论函数f(x)的零点个数.3.(2024福建宁德模拟)已知函数f(x)=ex-4sin x,其中e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;(2)证明:f(x)在0,+)内有两个零点.4.(2024陕西渭南模拟)已知函数f(x)=xe2x-ax3(aR).(1)求
2、曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当a16时,证明:函数f(x)在(0,+)内有两个不同的零点.5.(2024辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-aln x.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)函数f(x)在区间(1,e上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.6.(2024北京海淀模拟)已知函数f(x)=aln x+x2-(2a+1)x,其中a0.(1)当a=1时,求函数f(x)的极小值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)证明:当a(0,12)时,函数f(x)有且仅有一个零点.课时规范练29利用导数研究函数的零点1.解 (1)f(x)=x3+3ax-2,f(x
3、)=3x2+3a=3(x2+a).当a0时,f(x)0,f(x)在R上单调递增,当a0,在(-a,-a)内,f(x)0,f(x)在(-,-a),(-a,+)内单调递增,在(-a,-a)内单调递减.综上,当a0时,f(x)在R上单调递增;当a0时,f(x)在(-,-a),(-a,+)内单调递增,在(-a,-a)内单调递减.(2)由(1)知,当a0时,f(x)在R上单调递增.又f(0)=-20,由零点存在定理知,f(x)存在唯一零点,符合题意;当a0时,f(x)在(-,-a),(-a,+)内单调递增,在(-a,-a)内单调递减.f(x)极大值=f(-a)=-2a-a-2,f(x)极小值=f(-a)
4、=2a-a-20,若f(x)只有一个零点,则f(-a)=-2a-a-20,解得-1a0.综上,a的取值范围是(-1,+).2.解 (1)函数定义域为R,当a=1时,f(x)=e2x-ex-x,所以f(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1).当x0时,f(x)0时,f(x)0,则函数f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增,即函数f(x)的单调递减区间是(-,0),单调递增区间是(0,+).(2)当a=1时,由(1)知,f(x)min=f(0)=0,因此函数f(x)只有1个零点.当a1时,f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),由f(x
5、)=0,得x=-ln a,当x-ln a时,f(x)-ln a时,f(x)0,因此函数f(x)在(-,-ln a)内单调递减,在(-ln a,+)内单调递增,当x=-ln a时,f(x)min=f(-ln a)=a(1a)2+(a-2)1a+ln a=1-1a+ln a0,于是函数f(x)无零点.故当a=1时,函数f(x)有1个零点,当a1时,函数f(x)无零点.3.(1)解 因为f(x)=ex-4sin x,所以f(x)=ex-4cos x,则f(0)=1,f(0)=-3,故所求切线方程为y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.(2)证明 设g(x)=f(x)=ex-4cos x,则g(
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