课时规范练68　椭圆的定义、方程与性质.docx

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1、课时规范练68椭圆的定义、方程与性质一、基础巩固练1.(2024九省适应性测试,2)椭圆x2a2+y2=1(a1)的离心率为12,则a=()A.233B.2C.3D.22.(2024福建泉州模拟)已知P为椭圆x24+y22=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点.若|PF2|=3|PF1|,则|PF1|=()A.12B.22C.1D.33.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍,则E的离心率为()A.12B.22C.24D.324.(2024河南洛阳模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y212=1(a23)的两个焦点,且C的离心率为12,P为椭圆C上一点,则

2、PF1F2的周长为()A.6B.9C.12D.155.(2024安徽阜阳模拟)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点.若ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为()A.22B.24C.5-12D.5+146.(2024辽宁朝阳模拟)一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面,如图,他先将一根细绳(无弹性)的两端固定在钉子上,然后用笔撑直绳子,转圈画出的图形就是一个椭圆.如果图中的两个钉子之间的距离为0.9 m,细绳长为1.5 m,将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计,则过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为()A.0.6 mB.1.2 mC.0.8 mD.1.6 m7.(2024山东烟台

3、模拟)若椭圆C的中心为坐标原点、焦点在y轴上,顺次连接C的两个焦点、一个短轴顶点构成等边三角形,顺次连接C的四个顶点构成的四边形的面积为43,则C的方程为()A.y24+x23=1B.y26+x22=1C.y28+x24=1D.y28+x26=18.(多选题)已知M是椭圆C:x28+y24=1上一点,F1,F2分别是其左、右焦点,则下列选项正确的有()A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率e=22C.椭圆的短轴长为4D.MF1F2的面积的最大值是49.已知椭圆C:x2a+y28=1的焦距为8,则C的离心率e=.10.(2024江西宜春模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为12,请写出一

4、个符合上述条件的椭圆的标准方程:.11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的上、下顶点分别为B1,B2,右焦点为F2,右顶点为A2.若直线A2B1与直线B2F2交于点P,且A2PB2为钝角,则此椭圆的离心率e的取值范围为.二、综合提升练12.(2021全国乙,文11)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为()A.52B.6C.5D.213.(多选题)(2024黑龙江哈师大附中模拟)已知曲线C:mx2+(1-m)y2=1为焦点在y轴上的椭圆,则()A.12m23,所以e2=a2-12a2=14,解得a=4,则c=a2-12=2,所以PF1F2的周长为2a+

5、2c=12.5.C解析 如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=a2+b2,由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=ca0,得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=5-12.6.B解析 根据题意,结合椭圆定义得,椭圆的长轴长为2a=1.5 m,焦距为2c=0.9 m,所以椭圆的短半轴长为b=a2-c2=342-9202=144400=35=0.6 m.因为过椭圆中心的弦中,最短的弦为椭圆的短轴,长为2b=1.2 m,所以过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为1.2 m.7.A解析 设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0),由题可知a=2c,122a2b

6、=43,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,故椭圆的标准方程为y24+x23=1.8.BCD解析 因为椭圆的方程为x28+y24=1,所以a=22,b=2,c=2,所以椭圆的焦距为2c=4,离心率e=ca=22,短轴长为2b=4,故A错误,B,C正确;对于D,当M为椭圆短轴的一个顶点时,MF1F2以F1F2为底时的高最大,为2,此时MF1F2的面积为122cb=12222=4,故D正确.故选BCD.9.63解析 因为椭圆C:x2a+y28=1的焦距为8,则半焦距c=4.因为8b0),离心率为12,e=ca=12,即a=2c.a2=b2+c2,b=3c.当c=1时,a=2,b=3,此时,椭圆C

7、:y24+x23=1.11.-1+52,1解析 由题意可知A2PB2=,且B1A2=(a,-b),F2B2=(-c,-b).当A2PB2为钝角时,B1A2F2B20,此时a(-c)+b20,即a2-c2-ac0.又e(0,1),得-1+52e1m0,即12m1,故A正确;C的离心率为e=11-m-1m11-m=2m-1m,故B错误;C的短轴长2b=21m,当12m1时,22b6,故D错误.故选AC.14.8解析 由题意得a=4,b=2,c=23,则|PQ|=|F1F2|=43.|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,QF1QF2,即四边形PF1QF2为矩形.|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,|QF1|QF2|=12(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)=8,即四边形PF1QF2的面积为8.4