《复变函数积分》课件.pptx

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1、复变函数积分PPT课件目录contents引言复数与复变函数复变函数的积分解析函数积分公式与全纯函数留数定理与全纯函数的积分表示习题与解答01引言复变函数积分是复变函数理论中的基本概念之一，是研究复变函数的重要工具。本课程旨在帮助学生掌握复变函数积分的基本概念、性质和计算方法，为后续学习打下基础。复变函数是数学的一个重要分支，在物理、工程等领域有广泛应用。课程背景课程目标01掌握复变函数积分的基本概念、性质和计算方法。02理解复变函数积分的物理意义和工程应用。能够运用复变函数积分解决实际问题，培养分析和解决问题的能力。0302复数与复变函数复数的定义复数是形如$z=a+bi$（其中$a$和$b

2、$是实数，$i$是虚数单位，满足$i2=-1$）的数。复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。复数的性质复数具有加法、减法、乘法和除法等运算性质，满足交换律、结合律和分配律。复数及其性质复变函数的概念定义如果对于每个复数$z$（记作$z=x+yi$，其中$x,y$是实数，$i$是虚数单位）按照某一对应法则对应一个确定的复数$f(z)$，则称$f(z)$为复变函数。举例指数函数$f(z)=ez$，三角函数$f(z)=sin z$和$f(z)=cos z$等都是复变函数。连续性的定义如果函数$f(z)$在某一点处的极限等于该点的函数值，则称函数$f(z)$在该

3、点连续。举例指数函数$f(z)=ez$在全复平面内是连续的，但$sin z$和$cos z$在某些点处是不连续的。极限的定义如果当$z$趋于某一点时，函数$f(z)$的值趋于一个确定的数，则称该数为函数$f(z)$在该点的极限。复变函数的极限与连续性03复变函数的积分复数由实部和虚部构成的数，记作$z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位。复平面以实轴和虚轴为坐标轴的平面，点$z=a+bi$对应平面上点$(a,b)$。复数域所有复数构成的集合。复积分对复数域内某函数的积分。复积分的基本概念如果函数$f(z)$在简单闭曲线$gamma$内解析，则$oint_gammaf(z)d

4、z=0$。定理内容判断函数在某区域内解析的依据，常用于解决复变函数问题。应用场景基于柯西-黎曼方程和级数展开的性质。定理证明柯西积分定理03公式证明基于柯西定理和柯西-黎曼方程。01公式内容如果函数$f(z)$在区域D内解析，且边界曲线由$a,b$构成，则$frac12pi ioint_af(z)frac1z-z_0dz=f(z_0)$。02应用场景求解复变函数在某点的值，常用于解决解析函数的性质和积分问题。柯西积分公式04解析函数解析函数的定义如果一个复变函数f(z)在某区域内的每一点都可微，则称f(z)是该区域内的解析函数。解析函数的性质解析函数在其定义域内具有连续的导数，这意味着它可以被

5、微分。解析函数在复平面上处处可微的函数。解析函数的概念导数的几何意义解析函数的导数描述了函数值随自变量变化的速率和方向，即切线的斜率。积分定理如果一个函数在某个区域内解析，则该函数在该区域内的积分等于其原函数在该区域内的一条边界线上的值的代数和。唯一性定理在复平面上，如果两个函数在某区域内解析，且在该区域内的每一点上取值都相等，则这两个函数在该区域内必定相等。解析函数的性质幂级数展开式对于某个点z0属于某个复平面上的区域，如果存在一个幂级数f(z)=a0+a1*(z-z0)+a2*(z-z0)2+.+an*(z-z0)n+.，使得对于该区域内的所有z，f(z)都等于该级数的和，则称f(z)在该

6、区域内能展开成幂级数。幂级数展开式的应用幂级数展开式是研究复变函数的重要工具，它可以用于求解函数的积分、求函数的极限、研究函数的性质等。幂级数展开式05积分公式与全纯函数123对于复平面上的任意点z，若函数f(z)在包含z的一个闭曲线C的内部解析，则f(z)可由C上的点z0到z积分得到。柯西积分公式如果函数f(z)在包含z的一个闭曲线C的内部解析，则f(z)=0。柯西积分定理如果函数f(z)在包含z的一个闭曲线C的内部解析，则f(z)=(C)f(z0)/2i*dz0。柯西积分公式推论积分公式123全纯函数是指在其定义域内解析的复函数。全纯函数的导数仍然全纯，且在定义域内解析。全纯函数的定义域是

7、开集，可以是全复平面、半平面、圆盘等。全纯函数的概念全纯函数的性质全纯函数的导数仍然是全纯函数。全纯函数的零点是孤立的。全纯函数的实部和虚部都是全纯函数。全纯函数的级数展开是唯一的。06留数定理与全纯函数的积分表示总结词留数定理是复变函数积分中的重要定理，它提供了计算全纯函数在闭曲线上的积分的方法。详细描述留数定理指出，全纯函数在闭曲线上的积分可以转化为函数在曲线内部奇点的留数的和。这个定理在解决复数积分问题时非常有用，因为它可以将复杂的问题简化为计算留数的过程。应用举例通过留数定理，我们可以计算一些难以直接积分的全纯函数的积分，例如某些三角函数或对数函数的积分。此外，留数定理在复分析、物理学

8、和工程学等领域也有广泛的应用。留数定理总结词01全纯函数的积分表示是复变函数积分中的另一个重要概念。详细描述02全纯函数在任意闭曲线上的积分可以表示为函数在曲线内部的零点的贡献和无穷远点的贡献的和。这个表示方法提供了理解和计算全纯函数积分的新视角，有助于解决一些复杂的积分问题。应用举例03全纯函数的积分表示在解决一些特殊函数的积分问题时非常有用，例如贝塞尔函数、误差函数等。此外，这个概念在研究全纯函数的性质和行为时也很有用。全纯函数的积分表示总结词：通过具体的应用举例，可以更好地理解留数定理和全纯函数的积分表示的实用性和重要性。详细描述：我们可以选择一些具有代表性的全纯函数，利用留数定理和全纯

9、函数的积分表示来计算它们的积分。例如，我们可以计算一些难以直接积分的三角函数或对数函数的积分，或者利用全纯函数的积分表示来研究一些特殊函数的性质和行为。通过这些应用举例，我们可以深入理解留数定理和全纯函数的积分表示的原理和应用。应用举例：例如，考虑函数$f(z)=frac1z$，这是一个在原点有奇点的全纯函数。利用留数定理，我们可以计算$f(z)$在单位圆上的积分，结果为$2pi i$。这个例子展示了留数定理在计算全纯函数积分时的有效性。另一个例子是考虑函数$f(z)=ez$，这是一个在整个复平面内解析的全纯函数。利用全纯函数的积分表示，我们可以计算$f(z)$在任意闭曲线上的积分，结果为$0

10、$。这个例子展示了全纯函数的积分表示在计算全纯函数积分时的便利性。应用举例07习题与解答计算下列复数函数的积分$int_01 frac1z dz$int_01(z2+1)dz$习题习题01$int_01 fraczz2+1 dz$02计算下列复数函数的积分路径03$int_C(z2+1)dz$，其中C是连接点$0$和点$i$的直线段。习题$int_C frac1z dz$，其中C是连接点$1$和点$frac12+fraci2$的折线段。$int_C fraczz2+1 dz$，其中C是连接点$-i$和点$i$的8字形路径。010203计算下列复数函数的积分$int_01(z2+1)dz=lef

11、tfracz33+zright_01=frac43$int_01 frac1z dz=ln|z|Big|_01=ln 1=0$解答解答$int01 fraczz2+1 dz=frac12ln(z2+1)Big|01=frac12ln 2$计算下列复数函数的积分路径$int_C frac1z dz=ln|z|Big|_frac12+fraci21=lnleft(fracsqrt52right)+ileft(fracpi2-arctanleft(frac12right)right)$int_C fraczz2+1 dz=frac12ln(z2+1)Big|_-ii=ipi$int_C(z2+1)dz=leftfracz33+zright_0i=frac23+i$解答THANKS感谢观看