2024届云师大附中高三下学期4月月考数学试题含答案.pdf

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1、数学试卷6.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记ABC的面积为s,已知(b+c)2-a2=4/3S,b=2,c=3,求ABC外接圆半径R与内切圆半径r之比为注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合A=I x E

2、 Z I Ix I2 f,B=I x I x2-xO f,则AnB=A.!-2,-1,2/B.!-2,-1,OlC.!-2,-lfD.-2,O)U(l,22.已知z满足Iz-1 I=I z-i I,且z在复平面内对应的点为(x,y)则A.x+y=OC.x-y+l=OB.x-y=OD.x+y+l=O3.巳知向量a,b满足1如=2/3,_,Ti b I=3,且记b的夹角为-+3，则向量b在向量汒方向上的投影向最为了b昼4A 3-B.-b4Ta 3_4 c Ta 昼4D 4.巳知函数f(x)=2sinx+cosx在x。处取得最大值，则cosx。=A.望B.一望55 5尽C.-D.-5 5.数列jF

3、n :1,1,2,3,5,8,13,21,34,，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和记该数列jFJ的前n项和为Sn,则下列结论正确的是A.7+3汀9打59，A.S2022=F2024+2 C.S2023=F2024+2B.F2024=S2022+lD.S2023=F2024-1 数学第l页（共4页）C.6-万D.6+3打88 7.随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式但随着网络游戏的推广发展，一些青

4、少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，巳成为亟需破解的现实问题“某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%,若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币 遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的N个 设当参与者手中有n个(OnN)游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为P(n),下列说法错误的是A.P(O)=1,P(N)=0B.记X=参与者通关的局数，在前13局中，E(X)=6.5,D(X)=3.25C.P(n+1)=-P(n)+-P(n-1)2 2 4 D.若参与者最初手中有20个游戏

5、币，他希望赢到100个，则他输光的概率为一5 8.已知实数x,y,z不全为0,则xy+迈yz2 2 2的最大值为X+y+z沁J5fi IiA.B.-C.-D.一22 2 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题 6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是A.对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边”拖尾”，则平均数大于中位数B.回归分析中，线性相关系数的取值范围为(-1,1)C.回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好D.在独立性检验中，当X2:无aO,bO)右支上一点，F1,凡分别为左、右焦点，a

6、 b PHI 为LF1P凡的内 角平 分线，0是坐标原 点，过F1,凡分别作P儿的垂 线，垂足分别为HIH2则下列说法正确的是A.IOH1 I=a1 B.三角形 OH1H2面积的最大值是az2 C.三角形F1P凡的内切圆与 x轴相切于双曲线的顶点e-l LPF1F2 LPF尤D.设双曲线的离心率 为e,则有=tan tan e+122三、填空题（本大题共3小题，每 小题 5分，共15分）12.函数f(x)对定义域内任意的 x,y,都有 f(x+y)=f(x)f(y),写出一个 满足上述条件的函数f(x)=13.我国古代 数学典籍九章算术中 有一种名为“羡除”的儿何体，它由古代的隧道形状抽象而来

7、如图1所示，在五面体ABCDEF中，EFII AD II BC,四边形ADEF,ADCB,EFBC A为等腰梯形，且平面ADEF.l平面ADCB.其中 EF=a,AD=b,BC=c(bca),且EF到平面ADCB的距离为h,BC 和AD的距离为d,若 a=4,b=lO,c=6,h=3,d=4,则该羡除”的体积 为D 14.若关于x的方程ex-3ax=O有两个不同的实根XiXz 且x13x2,则 实数a的取 值范围为四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤）15.(本小题满分13分）已知总体分为2 层，通过 分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本 平均数和样本

8、方差分别为：n尸x,si;n2,兄寸记总样本的平均数为w,样本 方差 为s气(1)试证明：s2=ln1 s忤（正w)勹+n2s扫Cr-w)勹；n1+nz(2)在对某高中 1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样 抽取 100人，已知这1500名高三年级学生中男生有 900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和 12,女生的平均数和方差分别为160cm和 38.试用(1)证明 的公式估计高三年级全体 学生 身高的方差16.(本小题满分15分）在如图2所示的直四棱柱AFBH-DECG中，连接AB,FD,DC,AG,BG,LFAB=LAHB=90,A

9、B=AF=2,AH=HB.(1)求证：D,G,B,F四点共面；(2)若AD=fs,求平面 BDF与 平面ABG的夹角 的余弦值图217.(本小题满分15分）刻画曲线的弯曲程度是儿何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线 方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大若 记f(x)IJCx。)1=f(x),则 函数y=f(x)在点P(x。,y。)处的曲率K=主.l+(f(x。)）勹2(1)求曲线 y=lnx 在点(1,0)处的曲率；a 3(2)已知函数g(x)=x2lnx-了飞X,aE(Q,),若存在X1X2使得g(x)的曲率8 为0,求证：2lnx1+lnx2.3 1

10、8.(本小题满分17分）在直角坐标系xOy中，已知定圆M:(x+l)2+y2=36,动圆N 过点F(1,0)且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为 曲线C.(1)求曲线 C的方程；(2)设点A(O,2迈），B(m,O),C(6-m,0)(m#3),直线 AB,AC分别与曲线 C交于点 G,H(G,H异于 A)问直线CH是否过定点，若过，求定点坐标；若不过，请说明理由19.(本小题满分17分）若项数为n(nEN*)的数列A:a1,a2,，an满足：a;E 1 0,1 t(i=1,2,，n).定义变换T:T将数列A中原有的每个0 都变成0,1,原有的每个1都变成1,0,若A。=O,1,Ak亏(Ak-1

11、)(k=I,2,).(1)求A釭(2)若Ak中 0的个数记为bk,1的个数记为ck,Sn=b1+c1+b2+c2+凡+en求Sn;(3)记Ak中连续两项都 是l的数对个数记为Rk,求Rk.数学第3 页（共4 页）一 二 口 一 一 一 二 二数学第4 页（共4 页）#QQABKYCUogAgApAAABhCQQlQCgEQkBGACAoGBFAMIAIByBFABAA=#QQABKYCUogAgApAAABhCQQlQCgEQkBGACAoGBFAMIAIByBFABAA=#QQABKYCUogAgApAAABhCQQlQCgEQkBGACAoGBFAMIAIByBFABAA=#数学参考答案第

12、1页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C B B C D【解析】1 21 0 1 2|01ABx xx=，或，21 2AB=，故选 A 2由题意izxy=+，由|1|i|zz=，整理得0 xy=，故选 B 3向量b在向量a方向上的投影向量3|cos34|abaa=，故选 D 4()2sincos5sin()f xxxx=+=+，其中2 5cos5=，5sin5=，又当0 xx=时，()f x 取得最大值，所

13、以02 2xk+=+，即02 2xk=+，所以0coscos2 2xk=+5sin5=，故选 C 5 11F=，21FF=，321FFF=+，432FFF=+，202320222021FFF=+，202420232022FFF=+，将以上等式累加，从第二个等式开始，上一个等式的左边与该等式右边第一项相消，即得202412202120221FFFFF=+，所以202220241SF=，故选 B 6 因 为22()4 3bcaS+=，所 以222124 3sin2bcabcbcA+=，即22212bcabc+3sin A=，由余弦定理，3sincos1AA=，2sin16A=，1sin62A=，则

14、6A 566=或(舍)，故3A=，由余弦定理，22212cos4922372abcbcA=+=+=，所以7a=，由正弦定理，72 72sin332aRA=，则772sin3322aRA=，因为11()sin22abc rbcA+=，所 以323sin3 325757bcArabc=+，所 以733 357Rr=+75 79+=，故选 B 数学参考答案第2页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 7当0n=时，游戏币已经输光了，因此(0)1P=，当nN=时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率()0P N=，故 A 正确；由题意可得，(13 0.5)XB，所以()13 0.56.5E

15、X=，()13 0.5(10.5)3.25D X=，故 B 正确；参与者有 n 个游戏币的状态，可能来源于有1n 个游戏币再赢一局，也可能来源于有1n+个游戏币再输一局，由全概率公式，11()(1)(1)22P nP nP n=+，故 C 错误；因为(1)()()(1)P nP nP nP n+=，所以()P n为等差数列，其中首项(0)1P=，设公差为d，则()(0)P NPNd=+，即01Nd=+，1dN=，所以()1nP nN=，当20n=，100N=时，204(20)11005P=，故 D 正确，故选 C 8222222222312233xyyzxyyzxyzxyyz+=+，当且仅当3

16、232xyz=时，等号成立，故选 D 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABC【解析】9根据频率分布直方图可得，右边拖尾，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，A 正确；回归分析中，线性相关系数的取值范围为 1 1，故 B 错误；回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好，故 C 正确；在独立性检验中，当2x（x为的临界值）时，推断零假设0H不成立，故 D 正确，故选 ACD 10如图 1，作OAa=，OBb=

17、，OCc=，由|34acbc=，可知 A，B 在以点 C 为圆心，34为半径的圆上，以OA，OB为邻边作矩形OADB，由矩形的性质可知，2222|COCDCACB+=+，可得|8CD=，即 点 D 在 以 点 C 为 圆 心，8 为 半 径 的 圆 上，|82 82abABOD=+，即|6 10ab，min|6ab=，故选 BCD 图 1 数学参考答案第3页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 11 如图 2，延长11FH到 M，交2PF延长线于 M，则1PFPM=，1OH为三角形12FF M的中位线，所以1|OHa=，故 A 正确；三角形12OH H面积221211sin22SaH OH

18、a=，故 B 正确；三角形12FPF的内切圆与 x 轴相切于双曲线的顶点，故 C 正确；设 P在左支，21|2PFPFa=，12|2FFc=，2112|PFPFaFFc=，21122sincossin|sinsin222|sin()2sincossin222PFPFFF+=+sincossincos1tancot222222sincossincos1tancot222222=+，由、得：1tancot22tancot221tancot22acacca=+，如图 3：同理 P 在右支时，tancot22caca=+，故 D 错误，故选 ABC 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共

19、15 分）题号 12 13 14 答案 2x（答案不唯一）40 2 33ln3+，【解析】12由题意知指数函数符合上述条件，答案不唯一.13如图 4，将“羡除”ABCDEF分割为两个四棱锥FBNHA，ECMGD和直棱柱EGMFHN，故所求几何体的体积为13EGMFHNFBNHAE CMGDEGMBNHAVVVVSGHSFH=+=+梯形 1111()3232CMGDSEGMGEGHGBNAHNH+=+梯形 11111()()32262FHCMGDEGMGdhadh BNAHCMGDdha+=+=11()()4066dh cabadh abc+=+=图 2 图 3 图 4 数学参考答案第4页（共

20、9 页）学科网（北京）股份有限公司 140 x=不是方程e30 xax=的根，所以e3(0)xaxx=有两个不相等的实数根12xx，令e()xg xx=，则2(1)e()xxg xx=当0 x 时，0()g x，()g x在区间(0)，上单调递减，且()0g x；当01x时，0()g x，当1x 时，0()g x，()g x在区间(1)+，上单调递增，且()0g x，()g x的极小值为e(1)g=，图象大致如图 5：若e3xax=有两个不相等的实数根12xx，则3ea，即e3a，且2101xx，得3t，又1212ee3xxaxx=，2222eetxxtxx=，22eetxxt=，取对得22l

21、n(e)xtxt=2lntx=+，2ln1txt=设ln()1th tt=，则211ln01)()th ttt=，当且仅当1t=时取等，所以()h t在(3)+，上单调递减，则2lnln3()(3)12txh tht=.又e()xg xx=在区间(0 1)，上单调递减，22e3xax=，2ln3012x=，即2 33ln3a 实数a的取值范围为2 33ln3+，四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分 13 分）（1）证明：已知总体分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：1n，x，21s；2n，y

22、，22s记总样本的平均数为，样本方差为2s，1222211121()()nniiiisxynn=+122211121()()nniiiixxxyyynn=+，由1211()()0nniiiixxyy=，得12112()()2()()0nniiiixx xyyy=，图 5 数学参考答案第5页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 所以1222211121()()nniiiisxxxyyynn=+112222221111121()()()()nnnniiiiiixxxyyynn=+22221122121()()n sxn synn=+.（7 分）（2）解：设在男生、女生中分别抽取 m 名和 n

23、名，则10090015009001500mn=，解得60m=，40n=，记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：6040170160166(cm)100100=+=，所以，抽取的总样本的平均数为 166cm；男生样本的平均数为170 x=，样本方差为2112s=；女生样本的平均数为160y=，样本方差为2238s=，记总样本的样本方差为2s，则222160 12(170166)40 38(160166)46.4100s=+=，所以，估计高三年级全体学生的身高的方差为 46.4.（13 分）16（本小题满分 15 分）（1）证明：因为90FA

24、BAHB=，AFAB=，AHHB=，DCEDGC，是等腰直角三角形，故45DCEGDC=，所以DGEC，又ECFB，所以DGFB，所以 B，F，D，G 四点共面 （5 分）（2）解：因为ABAF，以 A 为原点，建立如图 6 所示的空间直角坐标系，2AFAB=，因为5AD=，则(0 0 0)A，(2 0 0)F，(0 2 0)B，(0 05)D，(1 15)G ，所以(2 05)FD=，(22 0)BF=，.图 6 数学参考答案第6页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 设平面BFD的法向量为()nxyz=，则有250220 xzxy+=，化简得52xzxy=，所以可取(55 2)n=，(

25、0 2 0)AB=，(1 15)AG=，.设平面ABG的法向量为()mr s t=，则有2050srst=+=，化简得05srt=，所以取(5 0 1)m=，平面BDF与平面ABG的夹角即n与m夹角或其补角，所以22|(5)2|21|cos|6|104(5)1m nm nmn+=+，所以平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为216.（15 分）17（本小题满分 15 分）（1）解：211yyxx=，所以曲线lnyx=在点(1 0)，处的曲率为2.4K=（5 分）（2）证明：由题意可得2()2 ln2g xxxaxx=，()2ln2gxxax=，若()g x曲率为 0，则()0gx=，即ln0 x

26、ax=，分别化简可得ln xax=，令ln()xxx=，令21ln()0 xxx=，得ex=，所以在(0 e)，上，()0 x，()x单调递增，且1()(e)ex=；在(e)+，上，()0 x，()x单调递减，且10()ex.数学参考答案第7页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 又10ea，所以()ax=有两个解.设为1x，2x，120exx，即证(21)ln813ttt+，需要证8(1)ln3(21)ttt+，即证8(1)ln03(21)ttt+，令8(1)()ln3(21)tH ttt=+，2222218(21)8(21)()0(21)(21)(21)tttH ttttttt+=+，

27、所以()H t在(0 1)，上单调递增，所以()(1)0H tH，由椭圆定义知，圆心 N 的轨迹为椭圆，且26a=，1c=，则29a=，28b=，所以动圆圆心 N 的轨迹方程为22198xy+=（7 分）数学参考答案第8页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司（2）由(0 2 2)(0)(60)(3)AB mCmm，113 22ABACkk+=，设直线 GH 的方程为：(2 2)1axn y+=，联立椭圆的方程22198xy+=整理得 22289(2 2)36 2(2 2)36 2(2 2)0 xyyaxn y+=，两边同时除以2(2 2)y，令2 2xty=，整理得2836 236 290

28、.tatn+=由已知：1236 23 282att+=，解得：13a=，所以直线 GH 的方程为：1(2 2)13xn y+=，恒过点(3 2 2).，（17 分）19（本小题满分 17 分）解：（1）由00 1A=，得10 1 1 0A=，20 1 1 0 1 0 0 1.A=，（3 分）（2）由变换的定义及00 1A=，知：kkbc=，所以1122nnnSbcbcbc=+122()nbbb=+22(222)n=+224.n+=（8 分）（3）由（2）知，kA中 0 的个数和 1 的个数相等，设kA中有kb个 01 数对，由变换的定义知1kA+中的 11 数对只能由kA中的 01 数对得到，所以1kkRb+=，1kA+中的 01 数对有两个产生路径kA中的 0 得到，kA中的 11 得到，而kA中有 0 和 1 的个数相等均为2k.所以有12kkkbR+=+，即22kkkRR+=+，由10 1 1 0A=，20 1 1 0 1 0 0 1A=，知121RR=，数学参考答案第9页（共 9 页）学科网（北京）股份有限公司 当3k时，若k为偶数，则有：22424242222kkkkkkRRRRRR=+=+=+，累加得：213kkR=，同理可得，当k为奇数时，213kkR+=，综上所述，213213kkkkRk+=，为奇数，为偶数.（17 分）