《函数极限与无穷小》课件.pptx

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1、THEFIRSTLESSONOFTHESCHOOLYEAR函数极限与无穷小ppt课件嶙褒悦啐谄社榍役熠栊目CONTENTSCONTENTS函数极限的概念无穷小的概念极限的四则运算重要极限无穷小与函数极限的关系录01函数极限的概念函数极限的数学表达limf(x)=A，表示当x趋近于某点或无穷时，f(x)趋近于A。函数极限的几何意义函数在某点的极限相当于函数图像上的一点，当x轴上的点趋近于该点时，函数值趋近于该点的y坐标。函数极限的定义函数在某点的极限是指当自变量趋近于该点时，函数值的趋近值。函数极限的定义对于给定的函数，其在某点的极限是唯一的。唯一性函数在某点的极限存在时，其值是有界的。有界性当

2、x趋近于某点时，f(x)的值在某邻域内有界。局部有界性当x趋近于某点时，f(x)的符号保持不变。局部保号性函数极限的性质对于给定的函数，其在某点的极限可能不存在。函数极限的存在性函数在某点的左右极限存在但不相等，此时函数在该点不连续。第一类间断点函数在某点的左右极限至少有一个不存在，此时函数在该点也不连续。第二类间断点函数极限的存在性01无穷小的概念无穷小是极限为零的变量或函数。无穷小是微积分的基本概念之一，是研究函数极限和连续性的基础。无穷小是相对于自变量无限趋近于某个点或无穷的情况而言的，其值可以是非常接近于零，但永远不等于零。010203无穷小的定义无穷小的性质无穷小具有可加性、可减性、

3、可乘性和可除性。无穷小与有界函数的商在一定条件下可能为无穷大。无穷小与常数的乘积仍为无穷小。无穷小是唯一一个既不是常数也不是无穷大的数学概念。同阶无穷小两个无穷小的比值在一定条件下趋于常数，这个常数称为它们的阶数。等价无穷小两个无穷小在一定条件下可以相互替换，即它们的比值等于1。高阶无穷小一个无穷小是另一个无穷小的更高阶的无穷小，即其阶数更高。低阶无穷小一个无穷小是另一个无穷小的更低阶的无穷小，即其阶数更低。无穷小的比较01极限的四则运算若lim(xx0)f(x)=A和lim(xx0)g(x)=B，则lim(xx0)f(x)+g(x)=A+B。极限的加法规则若lim(xx0)f(x)=A和li

4、m(xx0)g(x)=B，则lim(xx0)f(x)-g(x)=A-B。极限的减法规则若lim(xx0)f(x)=A和lim(xx0)g(x)=B，则lim(xx0)f(x)*g(x)=A*B。极限的乘法规则若lim(xx0)f(x)=A和lim(xx0)g(x)=B（B0），则lim(xx0)f(x)/g(x)=A/B。极限的除法规则极限的四则运算规则03举例3lim(x)(2+3/n)n=e(6)。01举例1lim(x0)2x+sin(3x)/5x-cos(2x)=(0+0)/(0-1)=0。02举例2lim(x1)(1/(1-x)-3/(1-x2)=(1/0-3/0)=-2。极限的四则运

5、算举例应用1求函数在某点的导数或切线斜率。应用2研究函数的单调性、极值和最值。应用3解决一些实际问题，如瞬时速度、相对误差等。极限的四则运算应用03020101重要极限重要极限的定义重要极限一重要极限二重要极限三lim(x-0)(1+x)(1/x)=elim(x-)xn/ex=0(n为正整数)lim(x-0)sin(x)/x=1每个极限只有一个确定的值。唯一性有界性局部保号性极限的值总是存在且在一定的范围内。在某点附近，函数值的符号保持不变。030201重要极限的性质通过利用重要极限的性质，可以将复杂函数化简为简单函数，从而更容易求得其极限。解决复杂函数的极限问题利用重要极限，可以计算无穷小量

6、，从而得到函数的导数和积分等。无穷小量计算在某些情况下，可以利用重要极限来近似计算函数的值，提高计算的精度和效率。近似计算重要极限的应用01无穷小与函数极限的关系无穷小是函数极限的特殊情况01无穷小是函数在某一点或无穷远处的极限值，是函数极限的一种特殊情况。02无穷小表示函数在某点的值无限接近于0，但不等于0。03无穷小是函数极限的一种表现形式，是研究函数极限的基础。无穷小在函数极限中的应用01无穷小在求函数极限中起到关键作用，通过无穷小可以化简函数的复杂形式。02利用无穷小的性质，可以将复杂的函数形式转化为容易处理的形式，从而求得函数的极限。无穷小在解决实际问题中也有广泛应用，例如在微积分、物理、工程等领域。03无穷小与函数极限的关联性无穷小和函数极限之间存在密切的关联性，无穷小是研究函数极限的重要工具。通过研究无穷小的性质和变化规律，可以深入了解函数极限的性质和变化规律。无穷小和函数极限的关联性是数学分析中的重要理论，对于理解数学分析的基本概念和原理具有重要意义。THANKS感谢观看THEFIRSTLESSONOFTHESCHOOLYEAR