《函数极限连续性》课件.pptx

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1、函数极限连续性ppt课件局璜阌妓仗舴枇琚筅飞目录函数极限的定义与性质连续函数的性质与判定函数极限与连续性的关系常见函数的极限与连续性分析函数极限的定义与性质0101函数极限的定义当自变量x趋于某一值时，函数f(x)的值趋于某一常数A，则称A为函数f(x)在x趋于这一值时的极限。02函数极限的表示方法lim f(x)=A 或 f(x)-A(x-x0)03函数极限存在的条件函数在某点的极限存在，则函数在该点附近必须具有趋势性。函数极限的定义唯一性有界性函数在某点的极限存在，则函数在该点的取值是有界的。局部保号性如果lim f(x)=A0，则在x0的某邻域内f(x)0；如果lim f(x)=A0，则

2、在x0的某邻域内f(x)B，则在x0的某邻域内f(x)B。函数极限的性质直接代入法对于简单的函数，可以直接代入求得极限。分解法将复杂的函数分解为若干个简单的函数，分别求得它们的极限，再利用极限的运算法则求得原函数的极限。洛必达法则对于形如f/g的极限，可以转化为f/g的极限，再利用其他方法求得。等价无穷小替换在求极限时，可以将无穷小量替换为等价的无穷小量，简化计算。函数极限的计算方法连续函数的性质与判定020102总结词描述函数在某点连续的定义详细描述如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。连续函数的定义列举连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，如局部有界性、局部

3、保号性、介值定理等。这些性质在解决数学问题时非常有用。总结词详细描述连续函数的性质介绍判断函数连续性的方法要判断一个函数是否连续，需要分别求出函数在所考虑点的左右极限，并验证它们是否相等且等于该点的函数值。此外，还可以利用极限的运算法则和性质简化计算。总结词详细描述连续函数的判定方法函数极限与连续性的关系0301函数极限是描述函数在某一点的行为，而连续性是描述函数在某一点的性质。02如果函数在某一点的极限存在，则该点一定是连续点。03如果函数在某一点的极限不存在，则该点可能是间断点。函数极限与连续性的关系01函数在某一点的极限存在，当且仅当该点的左右极限相等。02函数在某一点的极限存在，当且仅

4、当该点附近的函数值收敛到该点的函数值。函数在某一点的极限存在，当且仅当该点附近的函数值满足一定的性质（如单调性、有界性等）。函数极限存在定理02在数学分析中，函数极限与连续性是研究函数的重要工具。在物理、工程等领域中，函数极限与连续性也具有广泛的应用。在金融、经济等领域中，函数极限与连续性可以用于研究随机过程、时间序列等。函数极限与连续性的应用常见函数的极限与连续性分析04指数函数对于形如(ax)（(a 0)且(a neq 1)的指数函数，其极限和连续性取决于底数(a)的取值。当(a 1)时，函数在正无穷处趋于正无穷；当(0 a 0)时，函数在正无穷处趋于正无穷；当(n 0)时，函数在正无穷处

5、趋于0。在定义域内，当(n neq 0)时，幂函数是连续的。三角函数对于正弦、余弦、正切等三角函数，其极限和连续性取决于角度的取值。在定义域内，三角函数是连续的。指数函数、幂函数、三角函数的极限与连续性分析分段函数可能在不同的定义域内具有不同的表达式。在分析分段函数的极限和连续性时，需要分别考虑每个定义域内的函数表达式。分段函数一个常见的分段函数是绝对值函数(f(x)=|x|)。在(x geq 0)时，(f(x)=x)；在(x 0)时，(f(x)=-x)。这个函数在(x=0)处不连续，因为左边的导数和右边的导数不相等。举例分段函数的极限与连续性分析无穷大一个数如果比任何有限的数都大，那么就称这个数为无穷大。例如，当(x rightarrow+infty)时，(1/x)会趋于0，此时可以认为(1/x)是无穷小。无穷小一个数如果比任何非零有限的数都小，那么就称这个数为无穷小。例如，当(x rightarrow 0)时，(x2)会趋于0，此时可以认为(x2)是无穷小。关系分析在分析函数的极限时，需要特别注意无穷大和无穷小的关系。例如，当(x rightarrow+infty)时，(1/x)是无穷小，而(ex)是无穷大；当(x rightarrow-infty)时，(1/x)是无穷大，而(ex)是无穷小。无穷大与无穷小的关系分析THANKS感谢观看