《函数的极值和导数》课件.pptx

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1、函数的极值和导数ppt课件辛羌裾犊酾胝彖联芪绎目录函数的极值导数与极值的关系极值在实际问题中的应用导数的几何意义导数的计算方法01函数的极值Part极值的定义极值点函数在某点的值大于或小于其邻近点的值，则称该点为极值点。极大值在某点的左侧，函数值小于该点的值，则称该点为极大值点，对应的函数值为极大值。极小值在某点的右侧，函数值小于该点的值，则称该点为极小值点，对应的函数值为极小值。STEP 01STEP 02STEP 03极值的判定条件一阶导数测试若二阶导数在某点为零，且一阶导数在该点的左右两侧符号相反，则该点可能是极值点。二阶导数测试无穷间断点测试若函数在某点的左右极限不相等，则该点可能是极

2、值点。若一阶导数在某点的左右两侧由正变负或由负变正，则该点可能是极值点。根据极值的定义，通过比较函数在极值点附近的函数值来计算极值。导数定义法导数公式法不等式法利用已知的导数公式，先求出导数，再根据导数的符号变化判断极值点，最后计算极值。通过构造不等式或利用已知不等式，比较函数在极值点附近的函数值来计算极值。030201极值的计算方法02导数与极值的关系Part导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数值的斜率或切线斜率。导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。通过求导，可以确定函数在某一点的增减性，从而了解函数的局部性质。导数的定义和性质详细描述总结词导数与极值的关系导数等于0

3、的点可能是极值点，但不一定是极值点；极值点处导数可能为0，也可能不为0。总结词导数等于0的点可能是极值点，因为这些点可能是函数由增变减或由减变增的转折点。然而，极值点并不一定满足导数等于0的条件，例如函数在拐点处可能没有定义或不可导。详细描述总结词通过求导判断函数单调性，进而确定极值点。详细描述首先求出函数的导数，然后找到导数为0的点，这些点可能是极值点。接着判断这些点左右两侧的导数值的正负，如果左侧导数小于0，右侧导数大于0，则该点为极小值点；反之，则为极大值点。利用导数求极值的方法03极值在实际问题中的应用Part总结词01利用极值理论寻找最大利润详细描述02在生产和经营活动中，常常需要寻

4、求最大利润。通过建立数学模型，利用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变量。实例03某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并求导，可以找到使得利润最大的产量。最大利润问题总结词利用极值理论寻找最小成本详细描述在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。实例某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导

5、，可以找到使得总成本最小的采购量。最小成本问题总结词利用极值理论寻找最优解详细描述在许多实际问题中，需要找到最优的决策变量使得某个目标函数达到最优值。通过利用函数的极值和导数，可以找到最优解。实例某城市需要制定一个交通规划方案，目标是使得该城市的交通拥堵程度最低。通过建立交通流量模型并求导，可以找到使得交通拥堵程度最低的最优交通规划方案。最优解问题04导数的几何意义Part导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。对于函数$f(x)$，其在$x=a$处的导数即为该点处的切线斜率。切线斜率在物理中，导数可以解释为速度的变化率（加速度），这是瞬时速度的数学表达。速度与加速度导数在平面上的表示函数增减

6、性判断通过求导可以判断函数的增减性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。极值判断函数的极值点处的一阶导数为0，通过求二阶导数可以判断该点是极大值还是极小值。二阶导数大于0时，该点为极小值；二阶导数小于0时，该点为极大值。导数在函数图像上的应用在几何上，切线的斜率等于函数在该点的导数。因此，求导的过程实际上就是求切线斜率的过程。切线斜率等于导数知道切线的斜率和一点，就可以求出切线的方程。同样地，知道函数在某一点的导数和该点的函数值，也可以求出该点处的切线方程。切线方程的求解导数与切线斜率的关系05导数的计算方法Part加法法则减法法则乘法法则除法法

7、则导数的四则运算规则01020304$(uv)=uv+uv$(u-v)=u-v$(uv)=uv+uv$left(fracuvright)=fracuv-uvv2$(uv)=uv+uv$链式法则$(un)=nun-1u$指数法则$left(fracuvright)=fracuv-uvv2$对数法则$(arcsin u)=frac1sqrt1-u2$反函数法则复合函数的导数计算高阶导数的计算方法定义法根据导数的定义，对函数进行多次求导，直到得到高阶导数。应用法结合实际问题，通过分析函数的性质和变化规律，推导出高阶导数的表达式或计算方法。公式法利用已知的高阶导数公式，通过组合和变换得到所需的高阶导数。递推法通过递推关系式，从低阶导数逐步推导出高阶导数。