2024届四川省泸州市高三下学期三模理科数学含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司泸州市高泸州市高 2021 级第三次教学质量诊断性考试级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）数学（理科）本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分.第第卷卷 1 至至 2 页，第页，第卷卷 3 至至 4 页页.共共150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名答题前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的

2、作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第第卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分）一一选择题：本题共选择题：

3、本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 z 满足2 i5iz-=，则z z =（）A.3 B.3 C.5 D.52.已知集合2230Ax xx=-）上，F 为 C 的焦点，直线 MF 与 C 的准线相交于点N，则MN=（）A.253 B.203 C.152 D.2547.如图，高速服务区停车场某片区有 A 至 H 共 8 个停车位（每个车位只停一辆车），有 2 辆黑色车和 2 辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在

4、同一列的概率为（）ABCDEFGHA.15 B.14 C.12 D.1108.已知函数 2sin3f xxpw=-（0w）在0,p有且仅有三个零点，则w的取值范围是（）A.8 11,3 3 B.8 11,3 3 C.5 8,3 3 D.5 8,3 39.已知函数 f x（xR）满足 40f xfx+-=，若函数 f x与12yx=-图象的交点横坐标分别为1x，2x，nx，则11nix=（）A.4n B.2n C.n D.010.过双曲线 C：22221xyab-=（0a，0b）的左焦点 F 作圆222xya+=的切线，切点为 A，直线 FA与 C 的渐近线在第一象限交于点 B，若3FBFA=u

5、uu ruuu r，则 C 的离心率为（）A.2 B.3 C.2 D.311.已知正方体1 1 11ABCD ABCD-的棱长为 2，P 为1DD的中点，过 A，B，P 三点作平面a，则该正方体的外接球被平面a截得的截面圆的面积为（）学科网（北京）股份有限公司A.135p B.165p C.3p D.145p12.已知0 x，ln1xey+=，给出下列不等式（1）ln0 xy+；（3）ln0yxe+其中一定成立的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4第第卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分）注意事项：注意事项：（1）非选择题的答案必须用）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接

6、答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共）本部分共 10 个小题，共个小题，共 90 分分.二二填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题纸上）把答案填在答题纸上）.13.已知函数 1 sin21xaf xx=-+是偶函数，则实数a=_.14.已知非零向量ar，br满足2ab=rr，且0abb-=rrr，则ar与br夹角的大小为_.15.动直线

7、 l：210mxym+-=被圆 C：22225 0 xyx+-=截得弦长的最小值为_.16.公比为 q 的等比数列 na满足：910ln0aa=，记1 2 3nnTaaaa=L，则当 q 最小时，使1nT 成立的最小 n 值是_.三三解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PAB

8、CD 中，底面 ABCD 是矩形，2AB=，2 3BC=，AC 与 BD 交于点 O，OP底面 ABCD，2 3OP=，点 E，F 分别是棱 PA，PB 的中点，连接 OE，OF，EF.（1）求证：平面OEF 平面 PCD；（2）求二面角 AEFO 的余弦值.学科网（北京）股份有限公司18.（本小题满分 12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知22248abc=+-，且ABC 的面积为6 3.（1）求tan A的值；（2）若 D 是 AC 边的中点，7cos14C=，求 BD 的长.19.（本小题满分 12 分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了

9、前所未有的新机遇.某公司生产了 AB 两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对 AB 两种不同型号的新能源汽车进行综合评估，综合得分按照20,40，40,60，60,80，80,100分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）：（1）以调查结果的频率估计概率，从 AB 两种不同型号的新能源汽车中各随机抽取一辆，以 X 表示这两辆中综合得分不低于 80 分的辆数，求 X 的分布列和数学期望；（2）为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量 y（单位：万台）关于年份 x 的

10、线性回归方程为4.79495.2yx=-，且销量的方差250ys=，年份的方差为22xs=.求 y 与 x 的相关系数 r，并据此判断该地区新能源汽车销量 y 与年份 x 的相关性强弱.参考公式：（1）线性回归方程：ybx a=+，其中121,nlliniixxyybaybxxx=-=-；（2）相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy=-=-（若0,0.25r，则相关性较弱；若0.30,0.75r，则相关性较强；若0.75,1r，则相关性很强）.20.（本小题满分 12 分）学科网（北京）股份有限公司已知 A，B 分别是椭圆 E：22221xyab+=（0ab）的右顶点和上顶点

11、，椭圆中心 O 到直线 AB 的距离为2 55，且椭圆 E 过点22,2.（1）求椭圆 E 的方程；（2）若过点,P a b的直线与椭圆 E 相交于 M，N 两点，过点 M 作 x 轴的平行线分别与直线 AB，NB 交于点 C，D.试探究 M，C，D 三点的横坐标是否成等差数列，并说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数 1xaxfex=-（0a），（1）讨论函数 f x的零点个数；（2）若 ln xfxxx+恒成立，求函数 f x的零点0 x的取值范围.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

12、第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程.已知曲线1C的参数方程为1 cossinxyqq=+=（q为参数），曲线2C的直角坐标方程为31 0 xy+-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C和2C的极坐标方程；（2）若直线 l：ykx=（其中3,33k）与曲线1C，2C的交点分别为 A，B（A，B 异于原点），求1OAOB+的取值范围.23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.设函数 222fxxx=-+.（1）解不等式 6f xx-；（2）设函数 f x的最小值为 T，正数 a，b，c

13、满足abcT+=，证明：114163abc+.学科网（北京）股份有限公司泸州市高泸州市高 2021 级第三次教学质量诊断性考试级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如

14、果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一一选择题：选择题：题号123456789101112答案DBCCCAABBBDC二二填空题：填空题：13.2 14.3 15

15、.8 16.17三三解答题：解答题：17.解：（1）因为底面ABCD是矩形，AC与BD交于点O，所以O为AC中点，点E是棱PA的中点，F是棱PB的中点，所以OE为ACPV的中位线，OF为BDPV的中位线，所以OE,CP OFDP，因为OEC平面,DCP PC 平面DCP，所以OE平面DCP，因为OF平面,DCP DP 平面DCP，所以OF平面DCP，而,OEOFO OE=平面,OEF OF 平面OEF，所以平面OEF平面PCD：学科网（北京）股份有限公司（2）解法一：分别取,AB BC中点G H，以,OG OH OP所在直线为x y z 轴建立空间直角坐标系，则点3,1,0B，点3,1,0A-

16、，点0,0,23P，点31,322E-，点3 1,322F，313 1,3,32222OEOF=-=uuu ruuu r，设平面OEF的法向量为,mx y z=r，则：313022313022xyzxyz-+=+=，取2,0,1m=-r，3,1,2 3,3,1,2 3PAPB=-=-uuu ruuu r，设平面PAB的法向量为,nx y z=r，则：32 3032 30 xyzxyz-=+-=，取2,0,1n=r，所以2 2 1 13cos,|555m nm nm n-=r rr rrr，二面角AEFO-的余弦值为35.解法二：取AB中点G，连接PG交EF于点H，连接,OH OG，因为PA P

17、B=，所以PGAB，即PHEF，因为11,22OEPA OFPB=，所以OEOF=，所以OHEF，OHG是二面角AEFO-的平面角，因为2 3,3OPOG=，所以15PG=，所以152OH=，学科网（北京）股份有限公司在OHGV中，2215153223cos51515222OHG+-=，所以二面角AEFO-的余弦值为35.18.解：（1）由题意，1sin6 32ABCSbcA=V，所以sin12 3bcA=，ABCV中，由余弦定理，有：222222sin48sincos22sin24 3bcaAbcaAAbcbcA+-+-=，cos0A，所以3tan;2A=（2）在ABCV中，由（1）知：3t

18、an2A=，则212 7sin,cos77AA=，因为7cos14C=，所以3 21sin14C=，所以sinsinsin coscos sinBA CACAC=+=+2172 7 3 2137147142=+=，由正弦定理，有3 213142cb=，所以73bc=又2112 37bc=，所以12 7bc=，解得：2 7,6bc=，所以222 76(7)2 67197BD=+-=.19.解：（1）由频率分布直方图可知，学科网（北京）股份有限公司A种型号的新能源汽车评估综合得分不低于 80 分的概率为：0.010 200.2=，B 种型号的新能源汽车评估综合得分不低于 80 分的概率为：0.00

19、5 200.1=，所以X的所有可能值为0,1,2，所以00.8 0.90.72P X=，10.2 0.9 0.8 0.1 0.26P X=+=，20.2 0.10.02P X=所以X的分布列为：X012P0.720.260.02故X的数学期望0 0.72 1 0.26 2 0.020.3E X=+=；（2）相关系数为：12211niiinniiiixxyyrxxyy=-=-2112211nniiiiinniiiixxxxyyxxyy=-=-2121niiniixxbyy=-=-2222xxyynssbbnss=.所以214.74.70.940.75505r=，故y与x线性相关很强.20.解：（

20、1）依据题意，直线AB的方程为1xyab+=，即0bxayab+-=，学科网（北京）股份有限公司所以222221122 55ababab+=+，解得：21ab=，椭圆E的方程为2214xy+=；（2）解法 1：,M C D三点的横坐标成等差数列，理由如下：由题意知，直线MN的斜率存在且不为 0，直线过点2,1P，所以设直线:12MN yk x-=-，联立方程组221244yk xxy-=-+=可得：2221481 216160kxkk xkk+-+-=，22281 24 141616640kkkkkk=-+-=，设1122,N,M x yx y，则：22121 2221681616,1 41

21、4kkkkxxx xkk-+=+，因为:22 0ABlxy+-=，所以112 2,Cy y-，当20 x=时，:0BNlx=，此时点M坐标为8 3,5 5，点C坐标为4 3,5 5，满足12DCxxx+=；当20 x 时，因为221:1BNylyxx-=+，令1y y=可得：12211Dyxxy-=-，因为221:1BNylyxx-=+，令1y y=可得：12211Dyxxy-=-，下面证明：12DCxxx+=，学科网（北京）股份有限公司即证：121121441yxxyy-+=-，即证：121212114 41x yyxyy-+-=-，整理可得即证：2221212824216kkxxkk x

22、xk+-+=，（*）由于2212128242kkxxkk x x+-+，222222168161682421414kkkkkkkkkk-=+-+42226416161 4kkkk+=+，所以上式（*）成立，原式得证.解法 2：,M C D 点的横坐标成等差数列，理由如下：设直线:MNxmyn=+，因为直线过点2,1P，所以2mn+=，联立方程组2244xmynxy=+=可得：2224240mymnyn+-=，22222244441640m nmnmn=-+-=-+，设1122,M x yN x y，则：212122224,44mnnyyy ymm-+=+，因为:22 0ABlxy+-=，所以1

23、12 2,Cy y-，因为221:1BNylyxx-=+，令1y y=可得：12211Dyxxy-=-，当20 x=时，:0BNlx=，此时点M坐标为8 3,5 5，点C坐标为4 3,5 5，满足12DCxxx+=；当20 x 时，因为2221:10BNyIyxxx-=+，令1y y=可得：12211Dyxxy-=-，下面证明：12DCxxx+=，学科网（北京）股份有限公司即证：121121441yxxyy-+=-，即证：121212114 41mynyyxyy+-+-=-，整理可得即证：1212244240my yn myyn+-+-+=，即证：2224224424044nmnmn mnmm

24、-+-+=+，整理可得即证：2248480mmnnm n+-+=，即证：2()20mnmn+-+=，因为2mn+=，所以上式成立，原式得证解法 3：,M C D三点的横坐标成等差数列，理由如下：设112212,1,1M x yN x yyy，因为MDx轴，所以11,DCD xyC xy，设直线:11MNlmxn y+-=，因为直线MNl过点2,1P，所以121,2mm=，由方程组221044mxn yxy+-=+=可得：当1y 时，2848011xxmnyy+=-，所以12128411xxmyy+=-=-，又因为,B D N三点共线，所以22111Dxxyy=-，所以111411Dxxyy+=

25、-，即1141Dxxy+=-，因为点1,CC xy在直线:12xABy+=上，所以112Cxy-=-，142CDxxx+=-，即12DCxxx+=，学科网（北京）股份有限公司所以,M C D三点的横坐标成等差数列.解法 4：,M C D三点的横坐标成等差数列，理由如下：设直线:MNxmyn=+，因为直线过点2,1P，所以2mn+=，联立方程组2244xmynxy=+=可得：2224240mymnyn+-=，设112212,1,1M x yN x yyy，则：212122224,44mnnyyy ymm-+=+，所以122112121211841111xyxymnxxyyyymn-+-+=-+，

26、又,B D N三点共线，所以22111Dxxyy=-，即1111242111CDABxxxyyky+=-=-，所以12DCxxx+=，所以,M C D三点的横坐标成等差数列.21.解：（1）因为 e1xfxax=+，由 0fx得1x -，所以 f x在,1-上单减，在1,-+上单增，11eaf-=-，又当x-时，1;f xx-+时，f x+，所以函数 f x有唯一笭点；（2）由（1）知 f x在0,+上存在唯一零点，且00e1 0 xax-=，当00,xx时，0f x+得：e1lnxaxxxx-+，即1e1ln0 xaxx-+-，设 1e1ln,xg xaxx=-+-则 211e0 xgxax

27、x=-=-+-=-，学科网（北京）股份有限公司解得010ex；当0,xx+时，由 lnf xxx x+得：e1lnxaxxxx-+，即1e1ln0 xaxx-，设 1e1lnxh xaxx=-，则 211exhxaxx=+-，因为e10 xax-，所以 0h x，所以 h x在0,x+上单增，所以 000001e1 ln1 ln0 xh xh xaxxx=-=-，解得010ex；综上知：0 x的取值范围是10,e.22.解：（1）由1 cossinxyqq=+=消q得22(1)1xy-+=，即2220 xyx+-=，将222cos,sin,xyxyrqrqr=+分别代入12,C C得：1C的极

28、坐标方程为2cosrq=，2C的极坐标方程为cos3 sin1rqrq+=；（2）设直线l的极坐标方程为,6 3qa ra=R，联立方程可得12cos,cos3sinABra raa=+，所以12coscos3sinOAOBaaa+=+3cos3sin2 3sin3aaa=+=+，又,6 3a，则有 2,323a+，学科网（北京）股份有限公司即3sin,132a+，综上1OAOB+的取值范围为3,2 3.23.解：（1）当2x -时，6f xx-即222 6xxx-+-，解得3x-，故32x-时，6f xx-即222 6xxx-+-，解得32x，故312x，综上所述，原不等式的解集为332xx-；（2）若2x；若21x-，则 4 3f xx=-+；若1x，则 33f xx=，所以函数 f x的最小值3T=，故3abc+=，又,a b c为正数，则1141143abcabcabc+=+446bacacbabacbc=+4622216b acac bba bacbc+=，当且仅当33,42abc=时等号成立，所以114163abc+.