江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题含答案.pdf

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1、1常州市联盟学校 2023-2024 学年度第二学期期中调研高二年级数学试卷2024.4考试时间 120 分钟满分 150 分一、一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的1向量2,1,1,1,1,abx，若ab，则x()A2B1C1D02若某质点的运动方程是2()(21)S tt，(位移单位：m，时间单位：s)，则该质点在1st 时的瞬时速度为()A1m/sB2m/sC3m/sD4m/s3对 A，B 两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的

2、上班迟到时间均符合正态分布，其中 A 地员工的上班迟到时间为 X（单位：min），2,4XN:，对应的曲线为1C，B 地员工的上班迟到时间为 Y（单位：min），9,13YN，对应的曲线为2C，则下列图象正确的是()4设随机变量 X 的分布列为12iP Xia，1,2,3i，则则 X 的数学期望 E(X)=()A117B7764C716D2275已知函数 fx与其导函数()fx的图像如图，则函数 exf xg x 的单调减区间为()A0,4B40,3C 0,1,4,D4,1,36函数 3223f xxaxbxa在=1x时有极值 0，则ab()A4B6C11D4 或 11ABCD第 5 题图#Q

3、QABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#27如图，在正三棱柱111ABCABC-中，11ABAA，P 为11BC的中点，则1ACBP ()A54B1C32D128已知函数 321132f xaxbxcxd存在两个极值点1212,x xxx，且 11f xx，22f xx 设 f x的零点个数为m，方程 20a f xbf xc 的实根个数为n，则mn的取值不可能为()A4B5C6D7二二、多选题多选题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有

4、多项符合题目要求全全部选对的得部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.下列给出的命题正确的是()A若,a b c为空间的一组基底，则,ab bc ca 也是空间的一组基底B点P为平面ABC上的一点，且1,R3OPOAxOByOC x y ，则23xyC若直线l的方向向量为1,1,0u，平面a的法向量1,1,1n ，则/lD两个不重合的平面,的法向量分别是1,1,1,1,1,0nm，则10.下列说法正确的是()A若随机变量X110,2B，则()5E X B若随机变量X的方差()1D X，则3110DX C若()0.6P A，()0.4P

5、B，0.4P B A，则事件A与事件B独立D若随机变量X服从正态分布26,N，若100.8P X，则260.3PX11已知函数 e211xxfxx，下列说法中正确的有()A函数()f x的单调递减区间为30,2B曲线()yf x在0 x 处的切线方程为1y C函数()f x既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值D方程 f xk有两个不等实根，则实数k的取值范围为32,14,e三、三、填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分P第 7 题图#QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#3

6、12我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy中，过点000,P xy z且一个法向量为,na b c的平面的方程为0000a xxb yyc zz根据上述知识解决问题：现有一三脚架(三条脚架可看为三条边，它们的交点为顶点)放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面的方程为20 xyz，若三脚架顶点 P 的坐标为0,3,4，则点 P 到平面的距离为13兵乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，

7、然后由对方发球，先得 11 分者获胜，若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为23，甲接球时获胜的概率为12，甲先发球，则单局比赛中甲11:1获胜的概率为14存在过点,0P t的直线与曲线()lnxyxex，相切，则实数t的取值范围是_四、四、解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱 A1A平面 ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E 为棱 AA1的中点，M 为棱CE 的中点(1)证明：BCC1E(2)求异面直

8、线BM与AD所成角的余弦值16（15 分）某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动抽奖箱中有 2 个蓝球和 2 个红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择：初始奖池摸球方式奖励规则方案 A30 元不放回摸 2 次，每次摸出 1 个球.每摸出一个红球，奖池金额增加 50 元，在抽奖结束后获得奖池所有金额.方案 B有放回摸 2 次，每次摸出 1 个球.每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额.(1)若顾客选择方案 A，求其所获得奖池金额 X 的分布列及数学期望；(2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案 A 还是方案 B？第 15 题图#

9、QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#417（15 分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，平面PCD 平面ABCD，PCD是边长为 2 等边三角形，点EN、分别为CDBC、的中点，点M为线段PE上一点（包括端点）(1)若M为线段PE的中点，求平面BDM和平面ABD夹角的正弦值；(2)当直线MN与平面BDM所成的角最大时，求出MEPE的值18（17 分）已知函数 21ln2fxxxaxaR，(1)若()f xg xx，求函数 g x在区间1,e上的最大值；(2)若对于任意的12(0,)xx，12xx，都有121

10、2()()1f xf xxx，则实数a的取值范围19.（17 分）有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到 6点朝上的概率为p，若投掷乙骰子共 6 次，设恰有 3 次得到 6 点朝上的概率为 f p，0p是 f p的极大值点(1)求0p；(2)若0pp且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷 3 次，在得到都是 6 点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率；(3)若0pp且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了 10 次，在得到都是 6 点朝上的结果的前提下，设这 10 次中有X次用了乙骰子的概率为P X，试问当X取何值时P X最大？并求P X的

11、最大值（精确到 0.01）(参考数据0563.075.010)PABCDEMN第 17 题图#QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#1常州市联盟学校 2023-2024 学年度第二学期期中调研高二年级数学答案2024.4一、一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的1B2D3B4.A5.C6.C7.A8D二二、多选题多选题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18

12、分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全全部选对的得部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分(如果选项有如果选项有 2 个，则每个选项个，则每个选项 3 分，即选对一分，即选对一个得个得 3 分分，全部选对得全部选对得 6 分分；如果选项有如果选项有 3 个个，则每个选项则每个选项 2 分分，即选对一个得即选对一个得 2 分分，选对两个得选对两个得 4 分分，全部选对得全部选对得 6 分分.)9BD10.ACD11BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，

13、共 15 分分126313872914.2(,e 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）(1)因为侧棱 A1A平面 ABCD，所以 A1AAB，A1AAD又因为 ABAD，所以以 A 为坐标原点，AD，AA1，AB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2)B，(1,0,0D），(1,0,1)C，(0,1,0)E，1(1,2,1)C，1)0,(2,2B,.3 分所以BC=(1,0,1)，1EC=(1,1,1)，所以BC 1EC=1

14、1+0+1(1)=0，所以BC 1EC，故 BCC1E.7 分(2)因为 M 为棱 CE 的中点1 1 1(,)2 2 2M.8 分1 13(,)2 22BM ，(1,0,0)AD，1112cos,111114BM ADBM ADBMAD .12 分所以异面直线BM与AD所成角的余弦值1111.13 分16.（15 分）（1）由题意可知X可能取值为 30，80，130，则022224C C1(30)C6P X，112224C C42(80)C63P X，2224C1(130)C6P X，所以X的分布列为所以121()308013080636E X.7 分（2）设顾客选方案B，所获得的金额为Y，

15、则Y的可能取值为 30，60，120，则X3080130P162316#QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#20202111(30)C224P Y，1112111(60)C222P Y，2022111(120)C224P Y，所以Y的分布列为111135()30601204242E Y，.14 分所以()()E XE Y，所以选择方案A.15 分17.（15 分）(1)PCD正，点E为CD的中点，,PECD平面PCD 平面ABCD 平面PCD面ABCDCDPE面ABCD，设 F 是AB中点，以 E 为原点，EF所在直线为x轴

16、，EC所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，.3 分则3(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0)(0,0,)2ABDM，3(2,2,0),(2,1,),2BDBM 设面BDM的法向量(,)nx y z，则2203202xyxyz，令1x，可得2(1,1,3)3n 又面ABD的法向量(0,0,1)m，则23103cos,54123m n 所以平面BDM和平面ABD夹角的正弦值为155.8 分(2)设(0,0,)(03)Mmm，(1,1,0)N则(1,1,),(2,2,0),(0,1,)NMm BDDMm 设平面BDM的法向量为(,)na b c，则2200n BDabn D

17、Mbmc ，令1b ，有11,1,nm，.10 分设直线NM与平面BDM所成的角，所以2222111sincos,3112252()n NMn NMnNMmmmm ，Y3060120P141214#QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#3当且仅当1m 时取等号，所以当1m 时，sin取最大，20，即直线AM与平面BDM所成角最大.1,3EMEP，33MEPE时，直线AM与平面BDM所成角最大.15 分18.（1）因为 1ln2g xxax，22axgxx，.1 分当0a 时，因为1,xe，所以()0gx，所以函数 g x在1,

18、e上单调递增，则 max112g xg eae；.2 分当2ea，即20ae时，1,xe，()0gx，所以函数 g x在1,e上单调递增，则 max112g xg eae；.4 分当21ea，即22ae时，函数 g x在21,a上单调递增，在2,ea上单调递减，则 max22ln1g xgaa；.6 分当201a，即2a 时，1,xe，0g x，函数 g x在1,e上单调递减，则 max112g xga.8 分综上，max121222ln12122aeaeg xaaeaa，.9 分（2）对于任意的12(0,)xx，12xx，有1212()()1f xf xxx则 121122xxf xxf x

19、x不妨设时，.11 分令 ,0,F xfxx x，根据题意对任意的12,0,x x，当12xx时，12F xF x，所以函数 F xf xx在0,上单调递减，.13 分所以 1ln0Fxfxxax 在0,上恒成立，即lnxax在0,上恒成立.14 分令 ln,0,xg xxx，则 21 lnxgxx，所以当0,ex时，0gx，g x单调递增，当e,x时，0,gxg x单调递减.所以 max1()eeg xg，所以1ea.17 分#QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#419.（17 分）（1）设恰有 3 次得到 6 点朝上的概

20、率为 3336C1fppp，.2 分则 23233624223C3131C311 2fpppppppp，01p，令 0fp，得12p，所以当102p时，0fp，fp单调递增；当112p时，0fp，fp单调递减，故 fp的极大值点012p.4 分(2)设事件A 3 次 6 点朝上，事件B 选择了乙骰子，则412P AB，43111226P AP ABP AB，所以所求概率为 443127228111226P ABP B AP A.9 分（3）设事件Bk10 次有k次用了乙骰子0,1,2,10k，则10101C2kkP B.设事件D=10 次 6 点朝上，则101126kkkP D B .0011

21、1010P DP BP D BP BP D BP BP D B100101019101000110101010111111111CCC226226226 101010101111222623 ，101010101010101011111CC22626122233kkkkkkkkP B DP XkP B DP D .13 分令10101011C2623kkkka ，0ka，则 1011109!1!C10!10,1,93C3(10)!10!303kkkkkkakkakkk.令11113331,9111303kkkkakakkakka，即433429k.15 分所以ka的最大值是8a，所以当8X 时P X最大，且最大值为82810102101081011CC3326450.0560.283644235a .17 分#QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=#