中心极限定理的应用.docx

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1、中心极限定理的应用 摘要：中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，连接着概率论学问与数理统计的相关学问，既是教学重点又是难点。中心极限定理在很一般的条件下证明白无论随机变量Xi听从什么分布，n个随机变量的和nk=1Xk的极限分布是正态分布，本文仅介绍其中两个最基本的结论并举例应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；应用 中图分类号：O212文献标记码：A文章编号：2095-921403-0138-02前言 大数定律和中心极限定理是统计学的两大基石，前者确保了统计推断至少在样本增大时可以无限接近真相，而后者则给出了大多数统计量分布的正态近似。大数定律只能从质的方面描述随机现象，而中心

2、极限定理可以更进一步从量的方面描述随机现象，所以中心极限定理比大数定律深刻好用得多，它是概率论与数理统计的基础。 中心极限定理解决了大量独立随机变量和的近似分布问题，其结论表明：当一个量受很多随机因素的共同影响而随机取值，则它的分布就近似听从正态分布，而正态分布的很多完备理论，能帮助我们获得好用简洁的统计分析结果，本文仅介绍其中的两个最基本的结论，并通过举例加以应用。 1.独立同分布的中心极限定理 定理1设随机变量X1，X2，Xn，相互独立、听从同一分布，且E=，D=20，则随机变量X1，X2，Xn，之和nk=1Xk的标准化变量Yn=nk=1Xk-ED=nk=1Xk-nn的分布函数Fn，对于随

3、意的x，满意： limnFn=limnPnk=1Xk-nnx=x-12e-t22dt= 注1当n充分大时，满意均值为，方差为20的独立同分布的随机变量X1，X2，Xn，它们的和nk=1Xk总是近似地听从正态分布，记作： nk=1Xk-nn近似N0，1 即nk=1Xk-nn=1nnk=1Xk-/n=X-/n近似N0，1 即有X近似N，于是有下面的推论： 当n充分大时，记Sn=X1+X2+Xn，可得如下的近似计算公式： PSn-nnxx 注2对随意ab，有 PaSnb=Pa-nnSn-nnb-nn b-nn-x-nn 例1某炮兵阵地对敌人的防卫地段进行101次射击，每次射击中炮弹的命中数是一个随机

4、变量，其期望为2，方差为1.69，求在101次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。 解设Xk表示第k次射击中的炮弹数，则EXi=2，DXi=1.69，且S101=X1+X2+X101，应用中心极限定理，S101-101101近似听从N，由题意n=101，n=200，n=13 ，所以： P=P180-20013Sn-20013220-20013 2013-2013=21.54-1 =0.8764 例2设各零件的质量都是随机变量，他们相互独立且听从相同的分布，其期望为0.5kg，均方差为0.1 kg，问5000个零件的总重量超过2510 kg的概率是多少？ 解由题意可知，Xi表示第i个零

5、件的质量，且E=0.5，D=0.12，n=5000，令X=5000i=1Xi表示5000个零件的总重量，由独立同分布的中心极限定理： X-ED=X-50000.550000.1N P=1-P =1- =1-=1-0.9213=0.0787 2.棣莫弗-拉普拉斯定理 定理2设随机变量n听从参数为n，pb=ba12e-t22dt.n-npnp近似听从N分布，而n近似听从N）.二项分布的随机变量的概率可转化为正态分布的概率来计算，计算方法如下： Panb=Pa-npnpn-npnpb-npnp b-npnp-a-npnp。 注2定理1和定理2这两个中心极限定理都是探讨可列个相互独立的随机变量的和的分

6、布的，在一般条件下，当独立的随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布，也说明正态分布的重要性。 例3一个困难系统由101个相互独立的元件组成，在系统运行时每个元件损坏的概率为0.1，为使系统正常工作，至少必需有85个元件工作，求系统的牢靠度。 解以X表示101个元件中正常工作的元件数，则XB，由二项分布的正态近似，X-1010.91010.90.1N， P=1-P=1-P =1-=0.9525 例4产品为废品的概率p=0.005，求1010件产品中废品数不大于7的概率。 解1010件产品中的废品数X听从二项分布，n=1010，p=0.005，np=5，np2.2305，下面用三种方法计算

7、由二项分布公式计算，P=7k=0Ck10100.005k0.10151010-k 用泊松公式计算， =np=5，查表P7k=0pk50.866624 用中心极限定理计算，P7-52.23050.8968=0.8133 正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以n，同时p0，np为条件，而前者则只要求n这一条件，一般对于n很大p很小的二项分布，用正态分布来近似不如用泊松分布计算精确。 大数定律是探讨随机变量序列Xn依概率收敛的极限问题，而中心极限定理则是探讨随机变量序列Xn依分布收敛的极限问题，他们都是探讨大量的随机变量之和的极限行为，当X1，X2，Xn，相互独立且听从同一分布，且有

8、大于0的有限方差时，大数定律和中心极限定理同时成立，但是通常中心极限定理比大数定律更为精确。 参考文献： 1秦川.概率论与数理统计M.湖南教化出版社，2022. 2宗序平.概率论与数理统计M.机械工业出版社，2022. 3陶伟.概率论与数理统计习题全解M.国家行政学院出版社，2022. 4王伟珠.论中心极限定理及应用J.赤峰学院学报， 2022. 5王筑娟.中心极限定理介绍J.上海应用技术学院学报，2022. 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页