江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题含答案.pdf

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1、江苏省南通市海安高级中学江苏省南通市海安高级中学 2023-2024 学年高三下学期第二次模拟考学年高三下学期第二次模拟考试数学试题试数学试题一一、选择题选择题:本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符只有一项是符合题目要求的。合题目要求的。1.已知复数1212i,2izza(其中i为虚数单位,aR).若12zz是纯虚数,则a（）A.-4B.-1C.1D.42.直线tan205xy的倾斜角为()A.5B.310C.710D.453.有 6 名男教师和 5 名女教师,从中选出 2 名男教师、1 名女教

2、师组成一个支教小组,则不同的选法共有()A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种4.已知等差数列 na的前n项和为nS,且51115,46aaS,则310aa是 na中的()A.第 28 项B.第 29 项C.第 30 项D.第 32 项5.在ABC中,已知30,2Bc,则“2b”是“45C”成立的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要6.已知双曲线22:14xCy,直线:10l xy.双曲线C上的点P到直线l的距离最小,则点P的横坐标为()A.2 33B.4 33C.2 33D.4 337.若命题:“,Ra b,使得coscosab ba”为假命题,则

3、 a,b 的大小关系为（）A.abB.abC.a bD.a b8.设实数,a b c满足221abc,则abc的最小值为（）A.212B.12C.22D.-1二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对得部分分部分选对得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为()A.方差B.平均数C.中位数D.众数10.已知不等式2(3)0axxb对任意(0,)x恒成立,其中,a b是整数,则a

4、b的取值可以为()A.-4B.-2C.0D.811.直线l与抛物线2:2(0)C xpy p相交于,A B两点,过,A B两点分别作该抛物线的切线,与直线yp 均交于点P,则下列选项正确的是()A.直线l过定点(0,)pB.,A B两点的纵坐标之和的最小值为 2pC.存在某一条直线l,使得APB为直角D.设点(0,2)Qp在直线l上的射影为H,则直线 FH 斜率的取值范围是(,3 3,)三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.12.已知集合2156 0,cos2Mx xxNxx,则MN_.13.设,01,()2(1),1xxf xxx若()(

5、1)f af a,则1fa_.14.在长方体1111ABCDABC D中,14,2,ABBCBBE F分别是棱11,AB AD的中点,则平面CEF截该长方体所得的截面为_边形,截面面积为_.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题小题,共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分)如图,在四棱锥PABCD中,已知棱 AB,AD,AP 两两垂直,长度分别为 1,2,2,若DCAB,且向量PC 与BD 夹角的余弦值为1515.(1)求实数的值;(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.16.（15 分）已知向量cos

6、(cos,sin),(,2 3)sinc,osmxx nxxx xR.设()f xm n.(1)求函数()f x的单调递增区间;(2)在ABC中,若()1,2,6,fBACABBCBAC的平分线交 BC 于点D,求 AD 长.17.(15 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为123,2F F分别是椭圆的左、右焦点,过2F作两条互相垂直的直线12,l l,直线1l与C交于A,B两点,直线2l与C交于D,E两点,且12AFF的周长是42 3.(1)求椭圆C的方程;(2)当32ABDE时,求ODE的面积.18.(17 分)设函数()()ln,f xxax

7、xa aR.(1)若0a,求函数()f x的单调区间;(2)若220ea,试判断函数()f x在区间22e,e内的极值点的个数,并说明理由;(3)求证:对任意的正数a,都存在实数t,满足:对任意的(,),()1xt taf xa.19.(17 分)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为 B、C 两类,抽到较易的B类并答对购物打八折优惠,抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有A字母,3 张写有B字母

8、,2 张写有C字母,顾客每次不放回从箱中随机取出 1 张卡片,若抽到写有A的卡片,则再抽 1 次,直至取到写有B或C卡片为止.求该顾客取到写有B卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到n条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）,最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采用如下策略:不摘前(1)kkn条灯谜,自第1k 条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这条灯谜,否则就摘最后一条.设ktn,记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P.若4,2nk,求P;当n趋向于无穷大时,从理论的角度,求P的最大值及P取最大值

9、时t的值.(取111ln11nkknk)2023-2024 学年度第二学期高三年级模拟考试学年度第二学期高三年级模拟考试数学数学一一、选择题选择题:本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符只有一项是符合题目要求的。合题目要求的。1.A2.D3.C4.C5.B6.D7.B8.B二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对得部分分部分

10、选对得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9.BCD10.BD11.ABD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分分,共共 15 分分.12.2,3313.614.五,11 176四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题小题,共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分)解:依题意,以A为坐标原点,AB,AD,AP 分别为,x y z轴建立空间直角坐标系Axyz则(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)BDP,因为DCAB,所以(,2,0)C,2 分(1)从而(,2,2),(1,

11、2,0)PCBD ,则2415cos,15|85PC BDPC BDPCBD ,4 分解得2;6 分(2)易得(2,2,2),(0,2,2)PCPD ,设平面 PCD 的法向量(,)x y zn,则0PC n,且0PD n,即0 xyz,且0yz,所以0 x,不妨取1yz,则平面 PCD 的一个法向量(0,1,1)n,9 分又易得(1,0,2)PB ,故210cos,5|25PBPBPB nnn|,12 分所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为105.13 分16.(15 分)解:(1)由2()cossin(sin2 3cos)f xxxxx22cossin2 3sin cosxxx

12、x3sin2cos2xx312sin2cos222xx2sin 2,6x4 分令222262kxk,则36kxk,所以函数的单调递增区间为,36kkkZ.7 分（2）因2sin 216x,因为0BAC,所以132666BAC,即5266BAC,故3BAC;9 分由余弦定理得2422cos606bb ,即2220bb,所以31b(负舍),11 分所以ABCABDACDSSS,即1112(31)sin602sin30(31)sin30222ADAD ,所以2AD.15 分17.(15 分)解:(1)由32e，知32ca，所以32ca，2 分因为12PFF的周长是42 3,所以2242 3ac,4

13、分所以2,3ac,故2221bac,所以椭圆C的方程为2214xy.6 分(2)分析知直线1l的斜率存在,且不为 0,设1l的方程为:3xmy,与椭圆方程联立:22143xyxmy,得223110424mmyy,8 分22221222414111;44mmABmyymmm同理:2222141411144mmDEmm,10 分所以2222414134214mmmm,解得22m,12 分所以43DE,直线2l的方程为2(3)yx,所以2d,故142 22233ODES.15 分18.(17 分)解:(1)当0a 时,()ln,()lnf xxxx fxx,令()0,1fxx,列表分析x(0,1)1

14、(1,)()fx0+()f x单调递减单调递增故()f x的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,).4 分(2)()()ln,()lnaf xxaxxa fxxx,其中0 x,令()lng xxxa,分析()g x的零点情况.()ln1g xx,令1()0,eg xx,列表分析x10,e1e1,e()g x0+()g x单调递减单调递增min11(),eeg xga.6 分因为220ea,所以110eega,即11lne1e0eefaa ,而 22222221e2e2e0,e22e0eeafaafa ,因此()fx在22e,e有一个零点,()f x在22e,e内有一个极值点;当220

15、ea时,()f x在22e,e内有一个极值点.10 分（3）猜想：(1,1),()1xaf xa恒成立.11 分证:由(2)得()g x在1,e上单调递增,且(1)0,g(1)(1)ln(1)gaaaaa .因为当1x 时,1ln1(*)xx,所以1g(1)(1)101aaaa.故()g x在(1,1)a上存在唯一的零点,设为0 x.由x01,x0 x0,1xa()fx-0+()f x单调递减单调递增知,(1,1),()max(1),(1)xaf xffa.13 分又(1)ln(1)1faa,而1x 时,*ln1xx,所以(1)(1)1 11(1)faaaf .即(1,1),()1xaf xa

16、.所以对任意的正数a,存在1t,使对任意的(,)xt ta,使()1f xa.15 分补充证明(*):令221111()ln1,1.()0 xF xxxF xxxxx,所以()F x在1,)上单调递增.所以1x 时,()(1)0F xF,即1ln1xx.补充证明(*)令1()ln1,1.()10G xxxxG xx,所以()G x在1,)上单调递减.所以1x 时,()(1)0G xG,即ln1xx.17 分19.(17 分)解：(1)该顾客第一次取到写有B卡片的概率为38,.1 分该顾客第二次取到写有B卡片的概率3398756,.2 分该顾客第三次取到写有B卡片的概率323387656,3 分

17、该顾客第四次取到写有B卡片的概率321338765280,4 分该顾客取到写有B卡片的概率为3933218565628035；5 分(2)这 4 条灯谜的位置从第 1 个到第 4 个排序,有4424A 种情况,7 分要摘到那条最适合灯谜,有以下两种情况:（i）最适合灯谜是第 3 个,其它的随意在哪个位置,有336A 种情况;（ii）最适合灯谜是最后 1 个,第二适合灯谜是第 1 个或第 2 个,其它的随意在哪个位置,有2224A 种情况,9 分故所求概率为6452412;10 分记事件A表示最适合灯谜被摘到,事件iB表示最适合灯谜排在第i个,则1iP Bn,由全概率公式知:111()nniii

18、iiP AP A B P BP A Bn,当1 i k时,最适合灯谜在前k条中,不会被摘到,此时0iP A B；当1ki n时,最适合灯谜被摘到,当且仅当前1i 条灯谜中的最适合那条在前k个之中时,此时1ikP A Bi,所以1()ln11kkkknP Ankknnk,14 分令()ln(0)xng xxnx,则11()lnng xnxn,由()0g x,得enx,当0,enx时,()0g x,当,enxn时,()0g x,所以()g x在0,en上单调递增,在,enn上单调递减,所以max1()eeng xg,所以当enk 时,()lnknP Ank取得最大值1e,从而P的最大值为1e,此时t的值为1e.17 分