《微积分极限运算》课件.pptx

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1、微积分极限运算ppt课件赃傲琼隍堂辆妻蛰酲崇目录极限的定义与性质极限的四则运算重要极限与等价无穷小函数的连续性与间断点导数与微分习题与答案01极限的定义与性质Part极限的描述性定义当自变量趋近某一值时，函数值无限接近于某一常数，称该常数为函数的极限。极限的精确定义对于任意小的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，当$0|x-x_0|delta$时，有$|f(x)-L|0)(1+x)1/x=e重要极限二lim(x-)(1+1/x)x=e重要极限三lim(x-)x/e(x/2)=0重要极限四lim(x-)(1+xn)(1/n)=ex重要极限的公式与性质等价无穷小的概念与性质等

2、价无穷小是指在一定条件下，两个无穷小量可以相互替换。等价无穷小具有传递性，即如果无穷小量a与b等价，b与c等价，则a与c等价。等价无穷小具有可加性，即如果a与b等价，则a+c与b+c等价。03在证明一些数学定理时，可以利用等价无穷小来推导证明过程。01在求极限时，可以将复杂的表达式通过等价无穷小替换为简单的表达式，从而简化计算过程。02在求不定积分时，可以利用等价无穷小将复杂的积分转化为简单的积分，从而快速求解。等价无穷小的应用04函数的连续性与间断点Part总结词详细描述了函数的连续性定义，包括在某一点连续、区间内连续和整体连续的定义，并阐述了连续函数的性质，如极限性质、四则运算性质和复合函

3、数性质等。要点一要点二详细描述函数的连续性是指在某一点或某一区间内，函数值的改变量趋于零时，对应的自变量的改变量也趋于零。根据这个定义，我们可以将连续性分为三种类型：在某一点连续、区间内连续和整体连续。此外，连续函数还具有一些重要的性质，如极限性质、四则运算性质和复合函数性质等。这些性质在微积分中有着广泛的应用。函数的连续性定义与性质总结词介绍了间断点的分类，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等，并给出了判断间断点类型的方法。详细描述间断点是函数不连续的点，根据不同的分类标准，间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等类型。可去间断点是左右极限相等但函数值不相等的点；跳跃间断点是左

4、右极限不相等但函数值相等的点；无穷间断点是左右极限为无穷的点。判断一个点是否为间断点以及判断间断点的类型，需要计算该点的左右极限并进行比较。间断点的分类与判断总结词列举了连续函数在实际问题中的应用，包括求瞬时速度、求曲线下面积和求变力做功等。详细描述连续函数在实际问题中有着广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以用连续函数来描述物体的运动轨迹，并利用连续函数的性质求出瞬时速度和加速度；在几何学中，我们可以用连续函数来描述曲线或曲面，并利用连续函数的性质求出曲线下面积；在工程学中，我们可以用连续函数来描述物体的受力情况，并利用连续函数的性质求出变力做功等。这些应用都离不开连续函数的性质和微积分的基

5、本运算。连续函数的应用05导数与微分Part导数的定义与性质总结词导数描述了函数在某一点的斜率，是函数局部变化率的重要概念。详细描述导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在这一点上的切线斜率。导数具有一些重要性质，如可加性、可乘性和链式法则等，这些性质在微积分中有着广泛的应用。微分是导数的近似值，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。总结词微分是函数在某一点的变化量的线性部分，即函数在该点的切线的长度。微分具有线性性质，可以用于近似计算函数在某一点附近的值，以及误差估计等。详细描述微分的概念与性质VS导数与微分的应用非常广泛，包括速度、加速度、切线斜率、极值问题等。详细描述导数与微分在实际生活中

6、有着广泛的应用，例如计算物体运动的速度和加速度、求函数的极值、判断函数的单调性等。此外，导数与微分还在经济学、工程学等领域有着重要的应用。总结词导数与微分的应用06习题与答案Part习题部分计算下列极限：$lim_xto0fracsinxx$习题1判断下列函数的单调性：$y=x3-3x$习题3计算定积分：$int_01x2dx$习题4求下列函数的导数：$y=x2+2x+3$习题2答案1答案2答案3答案4答案部分$yprime=2x+2$y=x3-3x$在区间$(-infty,-1)$上单调递减，在区间$(-1,1)$上单调递增，在区间$(1,infty)$上单调递减。$int_01x2dx=frac13x3Big|_01=frac13$lim_xto0fracsinxx=1$THANKS感谢您的观看