2024届河北省名校联盟高三下学期4月联考数学试题 （二）含答案.pdf

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1、第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2024 届河北省名校联盟高三下学期届河北省名校联盟高三下学期 4 月第二次联考月第二次联考 数学数学试卷试卷（时间（时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分）分）注意事项：注意事项：1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号干净后，再选

2、涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的.1 1已知集合已知集合31,Z,06Ax xnnBxx=，则，则AB=（）A A1,4 B B1,5 C C2,4 D D2,5 2 2已知椭圆已知椭圆E E：2221yxa+=经过点经

3、过点1,32，则，则E E的长轴长为的长轴长为 A A1 1 B B2 2 C C4 4 D D2 3 3.3.已知已知2 3ab=，且，且5,6a b=，则，则b在在a上的投影向量为（上的投影向量为（）A.A.14a B.B.3a C.C.14a D.D.3a 4.4.已知已知0.50.3sin0.5,3,log0.5abc=，则，则,a b c的大小关系是（的大小关系是（）A.A.abc B.B.acb C.C.cab D.D.cba为整数，若为整数，若a和和b被被m除得的余数相同，则称除得的余数相同，则称a和和b对模对模m同余，记为同余，记为()modabm.若若()1222020202

4、020C2C2C2,mod9aab=+，则，则b的值可以是（的值可以是（）A.2018A.2018 B.2020B.2020 C.2022C.2022 D.2024D.2024 6.6.已知实数已知实数,x y满足满足2224(0)mxym+=，若，若2xy+的最大值为的最大值为 4 4，则，则m=（）第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A.A.33 B.B.13 C.C.22 D.D.12 7.7.有一枚质地均匀点数为有一枚质地均匀点数为 1 1 到到 4 4 的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率

5、均等，现在进行三次独立投掷，记掷，记X X为得到最大点数与最小点数之差，则为得到最大点数与最小点数之差，则X X的数学期望的数学期望()E X=（）A.A.2116 B.B.32 C.C.74 D.D.158 8.8.已知正方体已知正方体1121ABCDABC D的棱长为的棱长为2,P为线段为线段11C D上的动点，则三棱锥上的动点，则三棱锥PBCD外接球半径的取外接球半径的取值范围为（值范围为（）A A29,24 B B21,34 C C11,31 D D7,34 二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分分.在每小题给出的选项中

6、，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选全部选对的得对的得 6 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 0 分分.9.9.已知圆已知圆:+=，圆，圆:()+()=，则，则()A.A.两圆的圆心距两圆的圆心距|的最小值为的最小值为 1 1 B.B.若圆若圆O O与圆与圆C C相切，则相切，则=C.C.若圆若圆O O与圆与圆C C恰有两条公切线，则恰有两条公切线，则 ，函数，函数4()2bxxaf x+=是奇函数，则是奇函数，则a=_，b=_._.1313已知已知(1,0),(4,0),|2|ABPBPA=,若平面内满足到直线若平面

7、内满足到直线:340lxym+=的距离为的距离为 1 1 的点的点P P有有且只有且只有 3 3 个，则实数个，则实数m=_ 14.14.已知等差数列已知等差数列 na（公差不为（公差不为 0 0）和等差数列）和等差数列 nb的前的前n项和分别为项和分别为,nnS T，如果关于，如果关于x的实系数方的实系数方程程21003100310030 xSxT+=+=有实数解，则以下有实数解，则以下 10031003 个方程个方程()201,2,1003iixa xbi+=中，有实数中，有实数解的方程至少有解的方程至少有_个个.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分分

8、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1515（1313 分）分）如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，为等腰梯形，E为以为以BC为直径的半圆弧上一点，平面为直径的半圆弧上一点，平面ABCD 平面平面BCE，O为为BC的中点，的中点，M为为CE的中点，的中点，2BEABADDC=，4BC=（1 1）求证：）求证：DM 平面平面ABE；（2 2）求平面）求平面ABE与平面与平面DCE的夹角的余弦值的夹角的余弦值 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1616（本题满分（本题满分 1515 分）分）用用 1

9、1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 这六个数组成无重复数字的六位数，则这六个数组成无重复数字的六位数，则 （1 1）在数字）在数字 1 1，3 3 相邻的条件下，求数字相邻的条件下，求数字 2 2，4 4，6 6 也相邻的概率；也相邻的概率；（2 2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为X，求，求X的分布列与期望的分布列与期望 17.17.（1515 分）分）已知函数已知函数()2sin2xf xxax=+.（1 1）当）当2a=时，求曲线时，求曲线()yf x=在点在点()()0,0f处的切线方程；处的切线方程；（2

10、2）当）当()0,x时，时，()0f x，求实数，求实数a的取值范围的取值范围.1818（本小题满分（本小题满分 1717 分）已知椭圆分）已知椭圆22:184xyE+=，直线，直线l与椭圆与椭圆E交于交于A A、B B两点，两点，O为坐标原点，且为坐标原点，且OAOB，OPAB，垂足为点，垂足为点P (1)(1)求点求点P的轨迹方程；的轨迹方程；(2)(2)求求OAB面积的取值范围面积的取值范围 19.19.（1717 分）分）设设A A，B B是两个非空集合，如果对于集合是两个非空集合，如果对于集合A A中的任意一个元素中的任意一个元素x x，按照某种确定的对应关系，按照某种确定的对应关系

11、f，在集合，在集合B B中中都有唯一确定的元素都有唯一确定的元素y y和它对应，并且不同的和它对应，并且不同的x x对应不同的对应不同的y y；同时；同时B B中的每一个元素中的每一个元素y y，都有一个，都有一个A A中的中的元素元素x x与它对应，则称与它对应，则称f：AB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一一对应，并称集合的一一对应，并称集合A A与与B B等势，记作等势，记作AB=.若集合若集合A A与与B B之间不存在一一对应关系，则称之间不存在一一对应关系，则称A A与与B B不等势，记作不等势，记作AB.例如：对于集合例如：对于集合*NA=，*2NBn n=，存在一一对应

12、关系，存在一一对应关系()2,yx xA yB=，因此，因此AB=.（1 1）已知集合）已知集合()22,1Cx y xy=+=，()22,143xyDx y=+=，试判断，试判断CD=是否成立是否成立?请说明理由；请说明理由；（2 2）证明：）证明：()()0,1,=+；*NNx x.第1页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2024 届河北省名校联盟高三下学期届河北省名校联盟高三下学期 4 月第二次联考月第二次联考 数学数学试卷试卷（时间（时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分）分）注意事项：注意事项：1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

13、写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分

14、.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的.1 1已知集合已知集合31,Z,06Ax xnnBxx=，则，则AB=（）A A1,4 B B1,5 C C2,4 D D2,5 【答案】【答案】D D 【解析】【解析】31,Z,06Ax xnnBxx=，则，则2,5AB=，故选，故选 D D 2 2已知椭圆已知椭圆E E：2221yxa+=经过点经过点1,32，则，则E E的长轴长为的长轴长为 A A1 1 B B2 2 C C4 4 D D2 3 【答案】【答案】C C 【解析】依题知【解析】依题知()2223112a+=，解得，解得2

15、a=，所以，所以E E的长轴长为的长轴长为 4 4故选故选 C C 3.3.已知已知2 3ab=，且，且5,6a b=，则，则b在在a上的投影向量为（上的投影向量为（）A.A.14a B.B.3a C.C.14a D.D.3a 【答案】【答案】A A 【解析】因为【解析】因为2 3ab=，5,6a b=，所以所以b在在a上的投影向量为上的投影向量为351cos,cos,cos664baba ba baaaaa=.故选：故选：A.A.第2页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.4.已知已知0.50.3sin0.5,3,log0.5abc=，则，则,a b c的大

16、小关系是（的大小关系是（）A.A.abc B.B.acb C.C.cab D.D.cba 【答案】【答案】B B 【解析】对【解析】对0,2x，因为，因为sinyxx=，则，则cos10yx=，即函数，即函数sinyxx=在在0,2单调递单调递减，减，且且0 x=时，时，0y=，则，则sin0 xx，即，即sin xx，所以，所以sin0.50.5a=且且0.30.3log0.5log0.31=，所以，所以0.30.5log0.51c=，所以，所以acb为整数，若为整数，若a和和b被被m除得的余数相同，则称除得的余数相同，则称a和和b对模对模m同余，记为同余，记为()modabm.若若()12

17、22020202020C2C2C2,mod9aab=+，则，则b的值可以是（的值可以是（）A.2018A.2018 B.2020B.2020 C.2022C.2022 D.2024D.2024 【答案】【答案】D D 【解析】【解析】()1222020202020201012191C2C2C2a=+=+=+，所以所以a除以除以 9 9 的余数是的余数是 8 8，选项中只有选项中只有 20242024 除以除以 9 9 余余 8.8.故选：故选：D D 6.6.已知实数已知实数,x y满足满足2224(0)mxym+=，若，若2xy+的最大值为的最大值为 4 4，则，则m=（）A.A.33 B.

18、B.13 C.C.22 D.D.12 【答案】【答案】D D 【解析】令【解析】令2xyt+=，则，则216t，则，则0m 时，时，由由22224xytmxy+=+=，整理得，整理得22(42)440mymtymt+=，第3页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则则()()2244(42)40mtmmt=+，整理得整理得248mtm+，则，则4816mm+=，解之得，解之得12m=故选：故选：D D 7.7.有一枚质地均匀点数为有一枚质地均匀点数为 1 1 到到 4 4 的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投的特制骰子，投掷时得到每种点数的

19、概率均等，现在进行三次独立投掷，记掷，记X X为得到最大点数与最小点数之差，则为得到最大点数与最小点数之差，则X X的数学期望的数学期望()E X=（）A.A.2116 B.B.32 C.C.74 D.D.158 【答案】【答案】D D 【解析】【解析】X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,3，记三次得到的数组成数组，记三次得到的数组成数组(),a b c，满足满足X0=的数组有：的数组有：()()()()1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4，共，共 4 4 个，个，所以所以()3410416P X=，满足满足1X=的数组有：的数组有：()()()()()()()()()1,

20、1,2,1,2,1,2,1,1,2,2,3,2,3,2,3,2,2,3,3,4,3,4,3,4,3,3，()()()()()()()()()2,2,1,2,1,2,1,2,2,3,3,2,3,2,3,2,3,3,4,4,3,4,3,4,3,4,4，共，共 1818 个，个，所以所以()31891432P X=，满足满足2X=的数组有：的数组有：()()()()()()1,1,3,1,3,1,3,1,1,2,2,4,2,4,2,4,2,2，()()()()()()3,3,1,3,1,3,1,3,3,4,4,2,4,2,4,2,4,4，()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2

21、,3,1,3,1,2,3,2,1，()()()()()()4,2,3,4,3,2,2,4,3,2,3,4,3,4,2,3,2,4，共，共 2424 个，个，所以所以()3243248P X=，满足满足3X=的数组有：的数组有：()()()1,2,4,1,3,4,1,4,4，()()()1,4,1,1,4,2,1,4,3，第4页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司()()()1,1,4,2,1,4,3,1,4，()()()4,1,1,4,2,1,4,3,1，()()()4,1,2,4,1,3,4,1,4，()()()2,4,1,3,4,1,4,4,1，共，共 181

22、8 个，个，所以所以()31893432P X=，所以所以X X的数学期望的数学期望()193915012316328328E X=+=.故选：故选：D.D.8.8.已知正方体已知正方体1121ABCDABC D的棱长为的棱长为2,P为线段为线段11C D上的动点，则三棱锥上的动点，则三棱锥PBCD外接球半径的取外接球半径的取值范围为（值范围为（）A A29,24 B B21,34 C C11,31 D D7,34 【答案】【答案】C C 【解析】如图，连接【解析】如图，连接AC，交，交BD于点于点E，易多，易多E为为BCD的外心。的外心。進接進接1111,AC B D交于点交于点F，易知，易

23、知EF 平而平而,BCD 三棱锥三棱锥PBCD的外接球球心的外接球球心O在在EF上。上。设设PCD的外接四四心为的外接四四心为,OOO 平面平面PCD，且，且1OO=。设设PCD的外接圆半径为的外接圆半径为r三棱锥三棱锥PBCD的外接球半径为的外接球半径为22.1RRr=+。设设11,0,2.22PCDPCx xSPC=1sin,sin4PC PDPDCPDCPD=221(2)44xx+又又12sinsinCDrCPDCPD=()()22248416xxxr+=设设()()()()()22324844364f xxxxfxxxx=+=+，设设()()g xfx=则则()()212220gxxx

24、=+第5页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又又()10,f=易知易知()222254125,32.,2,1,3164f xrRr=+故选故选 C.C.二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选全部选对的得对的得 6 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 0 分分.9.9.已知圆已知圆:+=，圆，圆:()+()=，则，则()A.A.两圆的圆心距两圆的圆心距|的最小值为的

25、最小值为 1 1 B.B.若圆若圆O O与圆与圆C C相切，则相切，则=C.C.若圆若圆O O与圆与圆C C恰有两条公切线，则恰有两条公切线，则 D.D.若圆若圆O O与圆与圆C C相交，则公共弦长的最大值为相交，则公共弦长的最大值为 2 2 【答案】【答案】ADAD 【分析】【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系中的最值问题，两圆相交的公共弦公切线，属于中档题本题主要考查了圆与圆的位置关系中的最值问题，两圆相交的公共弦公切线，属于中档题.利用两点间的距离判断利用两点间的距离判断;利用两圆相切的性质判断利用两圆相切的性质判断B B；利用两圆相交确定出；利用两圆相交确定出a a的范围判断的范围判

26、断C C；利用两圆相交；利用两圆相交的公共弦方程判断的公共弦方程判断.【详解】【详解】：.因为因为(,)，(,)，所以，所以|=+，故最小值为，故最小值为 1 1，故，故A A正确；正确；B B.若圆若圆O O与圆与圆C C相切，则相切，则+=或或+=，解得：，解得：=或或=，故，故B B错误；错误；C C.若圆若圆O O与圆与圆C C恰有两条公切线，则两圆相交，故恰有两条公切线，则两圆相交，故 +，则，则 时，时，()，()为增函数，当为增函数，当 时，时，()，函数，函数4()2bxxaf x+=是奇函数，则是奇函数，则a=_，b=_._.【答案】【答案】.1；1 【详解】【详解】由由()

27、010fa=+=，解得，解得1a=，所以，所以()()2141222bxbxxxf x=，所以，所以21b=1 1，解得，解得1b=1313已知已知(1,0),(4,0),|2|ABPBPA=,若平面内满足到直线若平面内满足到直线:340lxym+=的距离为的距离为 1 1 的点的点P P有有且只有且只有 3 3 个，则实数个，则实数m=_ 【答案】【答案】5m=【详解】设点【详解】设点(,)P x y,由由|2|PBPA=得得224xy+=,若该圆上有且只有若该圆上有且只有 3 3 个点直线个点直线:340lxym+=的距离为的距离为 1 1，则圆心到直线的距离，则圆心到直线的距离|15md

28、=，解得，解得5m=14.14.已知等差数列已知等差数列 na（公差不为（公差不为 0 0）和等差数列）和等差数列 nb的前的前n项和分别为项和分别为,nnS T，如果关于，如果关于x的实系数方的实系数方程程21003100310030 xSxT+=+=有实数解，则以下有实数解，则以下 10031003 个方程个方程()201,2,1003iixa xbi+=中，有实数中，有实数解的方程至少有解的方程至少有_个个.【答案】【答案】502 第10页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到【分析】依题意，由等差数列的性质及求和

29、公式得到250250240ab，想要有实根，则，想要有实根，则240(1,2,1003)iiabi=，结合根的判别式与基本不等式得，结合根的判别式与基本不等式得10，10030中至少一个成立，同中至少一个成立，同理得到理得到20，10020中至少一个成立，中至少一个成立，5010，5030中至少一个成立，且中至少一个成立，且5020，即，即可解决问题可解决问题.【详解】由题意得，【详解】由题意得，2100310034 10030ST，又因为又因为1100310035021003()10032aaSa+=，1100310035021003()10032bbTb+=，代入得代入得250250240

30、ab，要使方程，要使方程()201,2,1003iixa xbi+=有实数解，则有实数解，则240(1,2,1003)iiabi=，显然第显然第502个方程有解，设方程个方程有解，设方程2110 xa xb+=与方程与方程10031 03200 xaxb+=的判别式分别为的判别式分别为11003,，则则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()4 22aaababaabbb+=+=+即即2250211003502502502(2)82(4)02abab+=，等号成立的条件，等号成立的条件11003aa=，所以所以10，10030中至少一个

31、成立，中至少一个成立，同理可得同理可得20，10020中至少一个成立，中至少一个成立，5010，5030中至少一个成立，且中至少一个成立，且5020，综上，在所给的综上，在所给的 10031003 个方程中，有实根的方程最少个方程中，有实根的方程最少502个，个，故答案为：故答案为：502.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1515（1313 分）分）如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，为等腰梯形，E为以为以BC为直径的半圆弧上一点，平面为直径的半圆弧上一点

32、，平面ABCD 平面平面BCE，O为为BC的中点，的中点，M为为CE的中点，的中点，2BEABADDC=，4BC=（1 1）求证：）求证：DM 平面平面ABE；（2 2）求平面）求平面ABE与平面与平面DCE的夹角的余弦值的夹角的余弦值 第11页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】【答案】解解（1 1）证明：取）证明：取BE的中点的中点N，连接，连接AN，MN，则则MNBC且且12MNBC=，又又ADBC且且12ADBC=，所以，所以MNAD且且MNAD=，所以四边形所以四边形ANMD为平行四边形，所以为平行四边形，所以DMAN 又又DM/平面平面ABE，

33、AN 平面平面ABE，所以所以DM 平面平面ABE （2 2）解：取）解：取AD的中点的中点F，连接，连接OF，因为四边形因为四边形ABCD为等腰梯形，所以为等腰梯形，所以OFBC，又平面又平面ABCD 平面平面BCE，平面，平面ABCD平面平面BCEBC=，OF 平面平面ABCD，所以所以OF 平面平面BCE 过点过点O作直线作直线BC的垂线交的垂线交BC于点于点G，以以O为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以OG，OC，OF所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，系，因为因为BC为直径，所以为直径，所以12BEBC=，所以所以

34、30BCE=，60BOE=，30EOG=在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，2ABADDC=，4BC=，所以所以2242232OF=，所以所以()3,1,0E，()0,2,0C，()0,1,3D，()0,2,0B，()0,1,3A，所以所以()3,3,0CE=，()0,1,3CD=，()3,1,0BE=，()0,1,3BA=设平面设平面DCE的法向量为的法向量为(),mx y z=，则，则0,0,m CEm CD=所以所以330,30,xyyz=+=令令3y=，则，则3x=，1z=，所以所以()3,3,1m=第12页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设平面设平

35、面ABE的法向量为的法向量为(),na b c=，则，则30,30,n BEabn BAcb=+=+=取取()1,3,1n=设平面设平面ABE与平面与平面DCE的夹角为的夹角为，则，则65cos65m nmn=，所以平面所以平面ABE与平面与平面DCE的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为6565 1616（本题满分（本题满分 1515 分）分）用用 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 这六个数组成无重复数字的六位数，则这六个数组成无重复数字的六位数，则 （1 1）在数字）在数字 1 1，3 3 相邻的条件下，求数字相邻的条件下，求数字 2 2，4 4，6 6 也相邻的概率；也相邻的概率

36、；（2 2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为X，求，求X的分布列与期望的分布列与期望 【答案】【答案】解解（1 1）设）设A=“数字“数字 1 1，3 3 相邻”，设相邻”，设B=“数字“数字 2 2，4 4，6 6 相邻”，则相邻”，则 ()()()2332332525A A A3A A10n ABP B An A=；（2 2）X的所有可能取值为的所有可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，因为因为 3 3 个偶数中间共有个偶数中间共有 2 2 个空隙由题意知“个空隙由题意知“0X=”表示”表示 3 3 个偶数相邻，个

37、偶数相邻，则则()333466A A10A5P X=，“1X=”表示”表示 3 3 个偶数中间只插入了个偶数中间只插入了 1 1 个奇数，则个奇数，则()3113332366A C C A31A10P X=，“2X=”表 示”表 示 3 3 个 偶 数 中 间 共 插 入 了个 偶 数 中 间 共 插 入 了 2 2 个 奇 数，可 分 为 两 种 情 形：个 奇 数，可 分 为 两 种 情 形：02+和和1 1+，则，则()312232223232332266A C A A+A C A A32A10P X=；“3X=”表 示”表 示 3 3 个 偶 数 中 间 共 插 入 了个 偶 数 中

38、间 共 插 入 了 3 3 个 奇 数，可 分 为 两 种 情 形：个 奇 数，可 分 为 两 种 情 形：03+和和12+，则，则()3133112323332266A C A+A C C A13A5P X=所以所以X的分布列为的分布列为 X 0 0 1 1 2 2 3 3 P 15 310 310 15 X的期望为的期望为()1331301235101052E X=+=第13页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17.17.（1515 分）分）已知函数已知函数()2sin2xf xxax=+.（1 1）当）当2a=时，求曲线时，求曲线()yf x=在点在点(

39、)()0,0f处的切线方程；处的切线方程；（2 2）当）当()0,x时，时，()0f x，求实数，求实数a的取值范围的取值范围.【答案】解：（【答案】解：（1 1）设切线斜率为）设切线斜率为k，因为，因为()12cosfxxx=+，所以，所以()01kf=，又又()00f=，所以，切线方程是所以，切线方程是yx=.（2 2）当）当1a 时，因为时，因为()0,x，所以，所以sin0 x，所以所以()22sinsin22xxf xxaxxx=+.记记()2sin2xg xxx=+，则，则()1cosgxxx=+，()1 singxx=.因为当因为当()0,x时，时，()0gx，所以，所以()gx

40、在区间在区间()0,上单调递增，上单调递增，所以，所以，()()00gxg=，所以，所以，()g x在区间在区间()0,上单调递增，上单调递增，所以，所以，()()00g xg=，所以，所以()0f x.当当1a，所以所以()fx在区间在区间()0,上单调递增上单调递增.因为因为()010fa=，所以，存在所以，存在00,2x，使得，使得()00fx=，所以，当所以，当()00,xx时，时，()0fx，即，即()f x在区间在区间()00,x上单调递减，上单调递减，第14页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以所以()()000f xf，且，且122412km

41、xxk+=+，21222812mx xk=+，又又OAOB，0OA OB=即：即：12120 x xy y+=，所以，所以，()()12120 x xkxmkxm+=，则则()()22121210kx xkm xxm+=，故故()()()2222222221281240121212kmmkk mkkk+=+，所以所以()22381mk=+满足满足0，所以，所以，()()22222812 613311kmmOPkkk+=+综上，综上，2 63OP=，所以，点，所以，点P P的轨迹方程为的轨迹方程为2283xy+=第15页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2 2）

42、由（）由（1 1）可知，当直线）可知，当直线l l斜率不存在或斜率为斜率不存在或斜率为 0 0 时，时，83ABCS=当直线当直线l l斜率存在且不为斜率存在且不为 0 0 时，时，2222122648321112kmABkxxkk+=+=+()()()222222232821144 63112312kkkkkk+=+=+42242424 64514 6134413441kkkkkkk+=+224 6111344kk=+，20k，22144kk+，当且仅当，当且仅当212k=，即，即22k=等号成立等号成立 221911,1844kk+，4 6,2 33AB，18,2 223ABCSOPAB=

43、，综上，综上，8,2 23ABCS 19.19.（1717 分）分）设设A A，B B是两个非空集合，如果对于集合是两个非空集合，如果对于集合A A中的任意一个元素中的任意一个元素x x，按照某种确定的对应关系，按照某种确定的对应关系f，在集合，在集合B B中中都有唯一确定的元素都有唯一确定的元素y y和它对应，并且不同的和它对应，并且不同的x x对应不同的对应不同的y y；同时；同时B B中的每一个元素中的每一个元素y y，都有一个，都有一个A A中的中的元素元素x x与它对应，则称与它对应，则称f：AB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一一对应，并称集合的一一对应，并称集合A A与

44、与B B等势，记作等势，记作AB=.若集合若集合A A与与B B之间不存在一一对应关系，则称之间不存在一一对应关系，则称A A与与B B不等势，记作不等势，记作AB.例如：对于集合例如：对于集合*NA=，*2NBn n=，存在一一对应关系，存在一一对应关系()2,yx xA yB=，因此，因此AB=.（1 1）已知集合）已知集合()22,1Cx y xy=+=，()22,143xyDx y=+=，试判断，试判断CD=是否成立是否成立?请说明理由；请说明理由；第16页/共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2 2）证明：）证明：()()0,1,=+；*NNx x.【答

45、案】解：（【答案】解：（1 1）设）设()00,P xyC，(),Qx yD=，令，令002,3,xxyy=则则C C与与D D存在一一对应，所以集合存在一一对应，所以集合CD=.（2 2）取函数）取函数1tan2yx=，其中，其中()0,1x，(),y +，两个集合之间存在一一对应，故，两个集合之间存在一一对应，故()()0,1,=+.备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为()0,1，值域为，值域为R即可，即可，如：如：112,0,2112,1.12xxyxx=+或或()1ln2,0,21ln 22,1.2xxyxx=等等均给满分，等等均给满分，【若直接

46、利用等势的自反性，未交待反函数关系，而给出定义域为【若直接利用等势的自反性，未交待反函数关系，而给出定义域为 R R，值域为（，值域为（0 0，1 1）的函数）的函数.如如121xy=+，(),x +，()0,1y扣扣 1 1 分，交传了反函数关系不加分】分，交传了反函数关系不加分】设设*NA=，*NBx x=，假设假设AB=，即存在对应关系，即存在对应关系f：AB为一一对应，为一一对应，对于集合对于集合B B中的元素中的元素 1，2，1,2，至少存在一个，至少存在一个xA（1x，且，且2x）与这三个集合中的某一个）与这三个集合中的某一个对应，所以集合对应，所以集合A A中必存在中必存在()xf x.记记()DxA xf x=，则，则DA，故，故DB，从而存在从而存在aA，使得，使得()f aD=；若若aD，则，则()af aD=，矛盾；，矛盾；若若aD，则，则()af aD=，矛盾，矛盾.因此，不存在因此，不存在A A到到B B的一一对应，所以的一一对应，所以AB.