【数学】平面向量的概念 课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、第六章第六章平面向量及其应用平面向量及其应用向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)

2、的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法。本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量

3、与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。6.1平面向量的概念平面向量的概念一、向量的实际背景一、向量的实际背景 向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前大约公元前350350年前，古希腊著名学者亚里士多德就年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。平行四边形法则来得到。“向量向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最一词来自力学

4、、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿牛顿。OBA湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.1.在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？向量的实际背景与概念向量的实际背景与概念2.物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力,被拉长或压缩的弹簧的弹力力是常见的物理量，也是既有大小又有方向的量.创设情境老鼠为什么认为猫是老鼠为什么认为猫是“傻猫傻猫”?”?猫的速度再猫的速度再快快也没用，因为也没用，因为方向方向错了。错了。50m/s10m/s傻猫傻猫故事：南辕北辙战国策 战国后期

5、，魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵。季梁为了打动魏王，来了个现身说法。季梁说：“今天我在来此的路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说我想要去楚国。臣说楚国在南方，为什么要朝北走？那人的回答是：我的马好，跑得快。我的路费多着呢。我的马夫最会赶车。结果：那人离楚国越来越远。结果怎么样了？以上两则故事，告诉我们什么道理？找准找准方向方向+看到看到差距差距+努力努力=成功成功 这两件事告诉我们，不管是治理国家，还是抓一只小这两件事告诉我们，不管是治理国家，还是抓一只小老鼠，做任何事，都要首先看准方向，才能充分发挥自己老鼠，做任何事，都要首先看准方向，才能充分发挥自己的有利条件

6、；的有利条件；如果方向错了，那么有利条件只会起到相反的作用。如果方向错了，那么有利条件只会起到相反的作用。导入新知一、向量的概念一、向量的概念向量的要素是什么向量的要素是什么?向量就是数量吗向量就是数量吗?向量之间能否比较大小向量之间能否比较大小?大小大小方向方向 数量只有大小，是一个代数量，可以数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数行代数运算、运算、能比能比较大小大小；向量具有大小和方向向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不双重要素，由于方向不能比能比较大小，故大小，故向量不向量不能比能比较大小大小.想一想位移和距离这两个量有什么不同？位移和距离这两个量有什么不同？位移既有大位移既有大小

7、又有方向小又有方向距离只有大距离只有大小没有方向小没有方向向量数量一条小船从一条小船从A A地出发，向西北方向航行地出发，向西北方向航行15km15km到达到达B B地，可以用地，可以用什么方式表示小船的位移？什么方式表示小船的位移？北东AB由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，那么，以数量可用数轴上的点表示，那么，向量该如何表示呢？向量该如何表示呢？探索新知二、向量的表示方法：二、向量的表示方法：(1)(1)几何表示法：有向线段几何表示法：有向线段.有向线段有向线段具有一定方向的线段具有一定方向的

8、线段.以以A A为起点、为起点、B B为终点的有向线段，记为为终点的有向线段，记为 A A（起点）B B(终点)向量向量:与起点无关与起点无关.用有向线段表示向量时用有向线段表示向量时,起点可以取起点可以取任意任意位置位置.数学中的向量也叫数学中的向量也叫自由向量自由向量.向量的模向量 的大小，就是向量 的长度，称为向量的模，记作 .1.1.向量向量 的模的模 ；2.2.向量不能比大小，但是向量不能比大小，但是 可以比大小；可以比大小；3.3.两个特殊向量：两个特殊向量：、有向线段的三个要素：有向线段的三个要素：起点、方向、长度起点、方向、长度如图：有向线段AB与有向线段CD是否能代表同一是否

9、能代表同一条条有向线段吗?1.1.若有向线段的起点不同若有向线段的起点不同,则有向线段不同则有向线段不同2.2.有向线段与向量是两个有向线段与向量是两个不同的概念不同的概念B BA AD DC C(2）字母表示法：用a、b、c等小写字母表示；或用表示有向线段的起点和终点字母表示,如a.思考：向量 与向量 是不是同一向量?为什么?(3)模的概念：向量 的大小即向量的长度称为向量的模.记作：零向量-长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 。单位向量-长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终

10、点的集合组成什么图形？方向任意向量就是有向线段吗？（1）有向线段 三要素：起点、大小、方向（2）向 量 两要素：大小、方向（2）相等向量：长度相等且方向相同向量.A1B1A3B3A4B4A2B22.2.零向量与零向量相等零向量与零向量相等3.3.任意两个相等的非零向量，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的并且与有向线段的起点无关起点无关。1.1.若向量若向量 与与 相等，则记为相等，则记为 （1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.向量 与 平行，记作 规定：零向量与任一向量平行，即 (为任意向量)（2）共线向量：任一组平行向量都可移

11、到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下，将它平移到任何位置。（3）相反向量：长度相等且方向相反的向量.的相反向量记作（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量 与向量 相等判断下列向量的概念是否正确判断下列向量的概念是否正确 (1)(1)若向量若向量a a和向量和向量b b都是单位向量，则都是单位向量，则a=b a=b （）(2)(2)零向量和任何向量平行零向量和任何向量平行 （）(3)(3)相反向量一定共线相反向量一定共线 （）(4)(4)共线向量一定相等共线向量一定相等 （）(5)(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向若两个

12、向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量量 （）(6)(6)零向量没有相反向量零向量没有相反向量 （）(7)(7)平行于同一个向量的两个向量是平行向量平行于同一个向量的两个向量是平行向量 （)(8)(8)若向量若向量a a和向量和向量b b不共线，则两个向量不平行不共线，则两个向量不平行 （）例例1 1如图，设如图，设O O 是正六边形是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出的中心，分别写出图中与向量图中与向量 相等的向量相等的向量（1 1）向量）向量 与与 相等吗相等吗?（2 2）与向量）与向量 长度相等的向量有多少长度相等的向量有多少 个？个？（3 3）与向量）与向量 共线的向量有哪

13、几个？共线的向量有哪几个？不相等不相等11（3）向量的表示方法：）向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如母表示，如 若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母体字母a，b，c，（书写时用注意用（书写时用注意用 表示）表示）.AB 已知向量已知向量 如图所示，下列说法不正确的是（如图所示，下列说法不正确的是（）A.A.向量向量 可以用可以用 表示表示B.B.向量向量 的方向是由的方向是由M M指向指向N NC.C.向量向量 的起点是的起点是M MD.D.

14、向量向量 的终点是的终点是M MMN例题讲解D D向量向量 的大小，就是向量的大小，就是向量 的的长度长度（或称（或称模模）,记作记作 ，或者记作或者记作 .（4）向量的模）向量的模思考：向量的模可以为思考：向量的模可以为0 0吗？可以为吗？可以为1 1吗？可以为负数吗？吗？可以为负数吗？零向量：零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作 .单位向量：单位向量：长度等于长度等于1个单位的向量个单位的向量.说明说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定

15、的方向具体而定.注意：注意：向量是不能比较大小的向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的或零）是可以进行大小比较的.有意义有意义没有意义没有意义模相等，方向相同；模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；模不相等，方向不相同；思考思考1 1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？三.相等向量与共线向量规定：零向量与任一向量平行（1 1）平行向量：）平行向量：方向相同或相反的非零向量.向量 与 平行，记作探究一 向量的有关

16、概念例例1 1 下列说法正确的有下列说法正确的有 。（填序号）。（填序号）若若 ，则，则 或或 ；若向量若向量 与与 是共线向量，则是共线向量，则A,B,C,DA,B,C,D四点必在同一条直线上；四点必在同一条直线上；向量向量 与与 是平行向量；是平行向量；任何两个单位向量都是相等向量。任何两个单位向量都是相等向量。例题讲解O北北探究二 平面向量的表示例例2 2 如图所示，在坐标纸上（每个小方格的边长均为如图所示，在坐标纸上（每个小方格的边长均为1 1），用直），用直尺和圆规画出下列向量：尺和圆规画出下列向量：（1 1），使，使 ，点，点A A在点在点O O北偏东北偏东 方向；方向；（2 2）

17、，使，使 ，点，点B B在点在点A A正东方向；正东方向；（3 3），使，使 ，点，点C C在点在点B B北偏东北偏东 方向。方向。例题讲解 某人从点某人从点A A出发向东走了出发向东走了5 5米到达点米到达点B B，然后改变方向按东，然后改变方向按东北方向走了北方向走了 米到达点米到达点C C，到达点，到达点C C后又改变方向向西走了后又改变方向向西走了1010米到达点米到达点D D。（1 1）作出向量）作出向量 ；（2 2）求）求 的模。的模。O北北变式训练探究三 相等向量与共线向量例例3 3 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为边长为为边长为3 3的正方形，把各边三等分后，的正方形

18、，把各边三等分后，共有共有1616个交点，从中选取两个交点作向量，则与个交点，从中选取两个交点作向量，则与 平行且长平行且长度为度为 的向量有的向量有 个。个。8 8A ABCD例题讲解2 2、本例中的条件不变，如图，与、本例中的条件不变，如图，与 相等的向量有多少个？相等的向量有多少个？延伸探究1 1、本例中的条件不变，与、本例中的条件不变，与 同向且长度为同向且长度为 的向量有几个？的向量有几个？4 48 8A ABCDOA ABCD易错辨析典例典例 已知下列说法：已知下列说法：若若 ，则，则 为零向量；为零向量；若若 ,则则 ；共线的单位向量是相等向量；共线的单位向量是相等向量；两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同.其中正确的有其中正确的有 （）A.1 A.1个个 B.2 B.2个个 C.3 C.3个个 D.4 D.4个个B B例题讲解