广东深圳高级中学（集团）2024年高二下学期期中考试数学试卷含答案.pdf

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1、第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司深圳市高级中学深圳市高级中学 2023-2024 学年第二学期期中考试高二数学学年第二学期期中考试高二数学 命题人：本试卷共命题人：本试卷共 4 页，页，19 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点.2.选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠

2、笔答题；字体工整、笔迹清楚笔答题；字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.若 4 名学生报名参加数学语文英语兴趣小组，每人选报 1 项，则不同的报名方式有

3、（）A.4 3 2 B.34C.43D.3 22.设随机变量X服从正态分布()22,N且(4)0.9P X=，则(02)PX=（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.93.二项式612xx展开式常数项为（）A.160B.60C.120D.2404.一个盒中有 10个球，其中红球 7 个，黄球 3 个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（）A.35B.115C.715D.8155.教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了 5 名教师到 A、B、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去 1 人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（）种A.2

4、5B.60C.90D.1506.已知ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，3BC=，2 2PB=，5PC=，则三棱锥PABC外接球的体积为（）的 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.10 B.103 C.53 D.5 103 7.过点(),P a b可作 3条直线与函数()32f xx=的图象相切，则（）A.312ab C.32ab 8.已知双曲线22221(0,0)xyabab=左右焦点分别为12,F F，右焦点2F到渐近线的距离为33+，过1F作圆222:C xya+=的切线，交双曲线右支于点M，若121cos2FMF=，则圆C的面积为

5、（）A.9 B.8 C.6 D.4 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知数列 na的前n项和24nSnn=，则（）A.na不等差数列 B.25nan=C.数列 nSn是等差数列 D.121067aaa+=10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用

6、事件1A和2A表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）A.13()5P A=B.11()50P B=C.()1950P B A=D.22()11P A B=11.已知函数()2ln11f xxx=，则下列结论正确的是（）A.()f x的单调递增区间是()0,1，()1,+B.()f x的值域为 R C.()()20232024log2024log20231ff+=的是 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 D.若()e1e1bbf ab+=，()0,1a，()0,b+，则e1ba=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题

7、，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.由样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)得到的回归方程为 y56xa，已知5112iix=，5122iiy=，则实数 a的值为_ 13.已知随机变量的分布列为 2 0 1 2 P x 13 16 y 则xy+=_；若(2)1E=，则()D=_ 14.若函数()lne lnexxaxf xxxax=+（Ra）有 2 个不同的零点，则实数a的取值范围是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算

8、步骤.15.已知各项均为正数的等差数列 na的前n项和为nS，4是13,a a的等比中项，且63312SS=（1）求 na的通项公式；（2）求数列1nSn+的前n项和为nT 16.“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望 17.如图，在三棱锥PABC中，PAB与

9、ABC都为等边三角形，平面PAB 平面,ABC M O分别为,PA AB的中点，且,POBMG N=在棱BC上，且满足2BNNC=，连接GN 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：GN平面PAC；（2）设2AB=，求直线PN与平面BGN所成角的正弦值 18.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为F，3,2M m为C上一点，且32MF.（1）求C的方程；（2）过点()4,0P且斜率存在的直线l与C交于不同的两点,A B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点Q.（i）求点Q的坐标；（ii）求OAQ与OAB面积之和的最小值.19.固定项链的两端，在重力的作用下项

10、链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为ee2xxcccy+=，其中c为参数当1c=时，就是双曲余弦函数()eech2xxx+=，类似地我们可以定义双曲正弦函数()eesh2xxx=它们与正、余弦函数有许多类似的性质（1）类比正、余弦函数导数之间关系，()sincosxx=，()cossinxx=，请写出()sh x，()ch x具有的类似的性质（不需要证明）；（2）当0 x 时，()sh xax恒成立，求实数a的取值范围；（3）求()()2chcosf xxxx=的最小值 的的 第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 深圳市高级中学深圳市高级中学 2023-20

11、24 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试 高二数学高二数学 命题人：高娜命题人：高娜 审题人：王超审题人：王超 本试卷共本试卷共 4页，页，19 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点.2.选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚笔答题；字体工整、笔迹清

12、楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.若 4 名学生报名参加数学语文英语兴趣小组，每人选报 1 项，则不同的报名方式有（）A.4 3 2 B.34 C.43 D.3 2

13、【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得 4 名学生，每人有 3种可选方案，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，4名学生报名参加数学语文英语兴趣小组，每人选报 1 项，则每人有 3 种可选方案，则 4人共有43 3 3 33 =种分式，故选：C 2.设随机变量X服从正态分布()22,N且(4)0.9P X=，则(02)PX=（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.9【答案】B【解析】【分析】利用正态分布对称性计算可得.【详解】随机变量X服从正态分布()22,N且(4)0.9P X=，则(4)0.1P X=，第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司()102(24)(4)

14、0.42PXPXP X=.故选：B 3.二项式612xx展开式的常数项为（）A.160 B.60 C.120 D.240【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】612xx展开式的通项为：()()326661661C2C21kkkkkkkkTxxx+=，令3602k=得4k=，所以展开式的常数项为()2644C2160=，故选：B 4.一个盒中有 10个球，其中红球 7 个，黄球 3 个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（）A.35 B.115 C.715 D.815【答案】D【解析】【分析】记抽取黄球的个数为 X，则由题意可得 X服从超几何分布，然后根据超

15、几何分布的概率公式求解即可.【详解】记抽取黄球的个数为 X，则 X 服从超几何分布，其分布列为()237210C CCkkP Xk=，0k=，1，2 所以，()()()11203737221010C CC C8112CC15P XP XP X=+=+=或()()0237210C C81101C15P XP X=故选：D 5.教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了 5 名教师到 A、B、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去 1 人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法 第3页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 数有（）种 A.25 B.60

16、 C.90 D.150【答案】D【解析】【分析】按照分类分步计数原理可先将 5 人分成 3组，再将 3 组人员分配到 3 个学校去，即可计算出结果.【详解】由题意可知，先将 5人分成三组有 2类分法，第一类：各组人数分别为 1，1，3，共有35C种分法；第二类：各组人数分别为 1，2，2，共有12254222C C CA种分法，再将三组人员分配到 A、B、C 三个乡村学校去，共有33A种，所以不同的选派方法共有122335425322C C CCA150A+=种.故选：D 6.已知ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，3BC=，2 2PB=，5PC=，

17、则三棱锥PABC外接球的体积为（）A 10 B.103 C.53 D.5 103【答案】D【解析】【分析】由ABC为直角三角形，可知BC中点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC平面ABC，所以球心在过M与平面ABC垂直的直线上，且球心为PBC的外心.利用正余弦定理求出PBC外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC中点M，过点M做直线l垂直BC，因为ABC为直角三角形，所以点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC平面ABC，所以l平面ABC，根据球的性质，球心一定在垂线l上，且球心为PBC的外心.在PBC中，2222cos22PBBCPCPBCPB BC+=，所以2sin2P

18、BC=，则PBC外接圆半径为15102222=.的 第4页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 即外接球的半径为102，所以体积为5 103V=.故选：D 7.过点(),P a b可作 3条直线与函数()32f xx=的图象相切，则（）A.312ab C.32ab 【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用导数求出切线，由切线过点(),P a b，整理得32460tatb=有 3 组解，转化为三次函数有三个零点问题，利用导数解决.【详解】设过点(),P a b的直线与函数()32f xx=的图象切于点()3,2Q tt，()26fxx=，则函数()f x在点Q处的切线斜率()26kftt=，

19、切线方程为()3226yttxt+=，由切线过点(),P a b，所以有()3226bttat+=，整理得32460tatb=，设()3246g ttatb=，则问题转化为()g t有 3个零点，因为()21212g ttat=，由()0g t=得0=t或ta=，若0a=，()0g t恒成立，()g t在R上单调递增，不合题意.当0a 时，()0g t解得0t，()0g t解得0ta，此时()g t在(),0和(),a+上单调递增，在()0,a上单调递减，第5页/共19页 学科网（北京）股份有限公司()0g为函数极大值，()g a为函数极小值；当0a 解得ta，()0g t解得0at，此时()

20、g t在(),a和()0,+上单调递增，在(),0a上单调递减，()g a为函数极大值，()0g为函数极小值；()g t有 3个零点，则()0g与()g a异号，即()()()3020gg abab=，所以()320bab+，得332210ababb+=+，所以312ab的左右焦点分别为12,F F，右焦点2F到渐近线的距离为33+，过1F作圆222:C xya+=的切线，交双曲线右支于点M，若121cos2FMF=，则圆C的面积为（）A.9 B.8 C.6 D.4【答案】A【解析】【分析】由焦点到渐近线的距离为b，可得b，结合双曲线定义与121cos2FMF=可得a，即可得圆C的面积.【详解

21、】如图，因为右焦点2F到渐近线的距离为33+，故33b，作1OAFM于点21,A F BFM于点B，因为1FM与圆222:C xya+=相切，所以21,22,2OAa F BOAa FBb=，因为121cos2FMF=，即1260FMF=，在直角2F MB中，2224,tan6033F BaaMBF M=，又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：1212242233aaFMF MFBMBF Mba=+=+=，整理得333ba=+，因为33b，所以3a=，圆C的面积229Sra=.第6页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作1OAFM于点21,A

22、F BFM于点B，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得a，即可得圆C的面积.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知数列 na的前n项和24nSnn=，则（）A.na不是等差数列 B.25nan=C.数列 nSn是等差数列 D.121067aaa+=【答案】BC【解析】【分析】根据11,1,2nnnS naSSn=即可求出数列 na的通

23、项，再根据等差数列的定义和前n项和公式逐一判断即可.【详解】由24nSnn=，当1n=时，111 43aS=，当2n 时，()()221414125nnnaSSnnnnn=，当1n=时，上式也成立，所以25nan=，故 B正确；因为()()1215252nnaann+=+=，所以 na是等差数列，故 A 错误；对于 C，244nSnnnnn=，第7页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 因为()11 4411nnSSnnnn+=+=+，所以数列nSn是等差数列，故 C 正确；对于 D，令250nan=，则52n，所以当3n 时，0na，当2n 时，0na 在定义域上恒成立，故()f x的单调

24、递增区间是()0,1，()1,+，A正确；B选项，当x趋向于 0时，()f x趋向于，当x趋向于+时，()f x趋向于+，故()f x的值域为 R，B 正确；C选项，0 x，()122ln1ln122011xff xxxxxx+=+=+=，又202320241log2024log2023=，所以()()20232024log2024log20230ff+=，C 错误；D选项，()e1e122121lneln12e1e1e1ee1bbbbbbbbf abb+=+=+12e121211111ee1ee11lnlnlenebbbbbbb=+=+=，又()2ln11f xxx=，故121ln11ee1

25、ebbbf=，故()1ebf af=，第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 因为()0,b+，所以()10,1eb，又()0,1a，故1eba=，即e1ba=，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：当函数中同时出现ex与ln x，通常使用同构来进行求解，本题难点是 D选项变形得到()12ln11e1ebbf a=，得到()1ebf af=，从而进行求解.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.由样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)得到的回归方程为 y56xa，已知5112i

26、ix=，5122iiy=，则实数 a的值为_【答案】2.4【解析】【详解】由题表得 x2.4，y4.4，代入回归方程，解得 a 2.4.13.已知随机变量的分布列为 2 0 1 2 P x 13 16 y 则xy+=_；若(2)1E=，则()D=_【答案】.12 .2312【解析】【分析】由概率和等于 1，可求出xy+的值，然后根据(2)1E=，可求出()E，进而由数学期望的计算公式可求出,x y的值，然后计算()D即可.【详解】由题意得，11136xy+=，则12xy+=.因为(2)1E=，所以1()2E=，则112262xy+=，即16xy+=，第10页/共19页 学科网（北京）股份有限公

27、司 又12xy+=，解得11,63xy=，所以22221111111123()20122623262312D=+=故答案为：12；2312.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算等，考查数学运算核心素养，属于中档题.14.若函数()lne lnexxaxf xxxax=+（Ra）有 2 个不同的零点，则实数a的取值范围是_【答案】()()0,11,+【解析】【分析】化简函数()()lnexaf xxxx=+，得到()lng xxx=+和()exh xx=在()0,+上单增，结合存在唯一的()10,1x，使()10g x=，即11ln0 xx+=，且存在唯一的()20,

28、x+，使()2h xa=，结合12xx=，进而得到实数a的取值范围【详解】由函数()()()lneln1lne,(0)xxxaf xxxaxxxxx=+=+，设()lng xxx=+，可得()110gxx+=，()g x单调递增，且11ln2022g=+，所以存在唯一的()10,1x，使()10g x=，即11ln0 xx+=，令e0 xax=，即exax=，设()exh xx=，可得()(1)e0 xh xx=+，则()h x在()0,+上单增，又由()00h=且x +时，()h x+，所以当()0,a+时，存在唯一的()20,x+，使()2h xa=，即22exax=，若12xx=时，可得

29、1111ln0exxxax+=，则11ln xx=，可得11exx=，所以11e1xx=，所以1a=，第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，实数a的取值范围为()()0,11,+故答案为：()()0,11,+【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与ex和ln x相关的常见同构

30、模型 elne lnelnaaaabbbb，构造函数()lnf xxx=或()exg xx=；eelnlnelnaaabbabb，构造函数()lnf xxx=或()exg xx=.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知各项均为正数的等差数列 na的前n项和为nS，4是13,a a的等比中项，且63312SS=（1）求 na的通项公式；（2）求数列1nSn+的前n项和为nT【答案】（1）31nan=（2）()231nnTn=+【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和

31、公式得到关于1a、d的方程组，解得即可；（2）由（1）求出nS，从而得到12 1131nSnnn=+，再利用裂项相消法计算可得.【小问 1 详解】设正项等差数列 na的公差为(0)d d，因为4是13,a a的等比中项，所以2134a a=，即()11216a ad+=，又63312SS=，即()116153 3312adad+=，即124da=+，第12页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 解得123ad=或140ad=（舍去），所以()23131nann=+=；【小问 2 详解】由（1）可得()2131213222nSnn nnn=+=+，所以()312nSnn n+=+，所以()12

32、12 113131nSnn nnn=+，所以()21111121211322313131nnTnnnn=+=+16.“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望【答案】（1）727 （2）分布列见解析，()53E=【解析】【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概

33、率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问 1 详解】记至少两次试验成功为事件A，则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率()2323331117C1C33327P A+=.【小问 2 详解】由题意的可能取值为0，1，2，3，4，第13页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以()022002212110CC3329P=，()112021110012222121121111CCCC33233223P =+=，()202112022201102222222121121121132CCCCCC33233233236P =+

34、=+，()2021122112222212112113CCCC3323326P =+=，()202222212114CC33236P=，故的分布列为 0 1 2 3 4 P 19 13 1336 16 136 所以()11131150123493366363E=+=.17.如图，在三棱锥PABC中，PAB与ABC都为等边三角形，平面PAB 平面,ABC M O分别为,PA AB的中点，且,POBMG N=在棱BC上，且满足2BNNC=，连接GN （1）求证：GN平面PAC；（2）设2AB=，求直线PN与平面BGN所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）3 390130【解析】第14页/共

35、19页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.【小问 1 详解】证明：连接MC，如图所示 在PAB中，因为,M O分别为,PA AB的中点，POBMG=，所以G为PAB的重心，所以2BGGM=，又2NBCN=，所以GNMC，又GN 平面,PAC MC 平面PAC，所以GN平面PAC【小问 2 详解】连接OC，因为PAB为等边三角形，O为AB的中点，所以POAB，又平面PAB 平面ABC，平面PAB平面,ABCAB PO=平面PAB，所以PO

36、平面CAB，又,OC AB 平面CAB，所以,POOC POAB 因为ABC为等边三角形，O为AB的中点，所以COAB 以O为坐标原点，,OC OB OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示 的 第15页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 则()()()33,0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,3CBPG，所以()33,1,0,0,1,3CBBG=设平面BGN的法向量(),nx y z=，则30,30,3n CBxyn BGyz=+=+=令1x=，解得3,3yz=，所以平面BGN的一个法向量()1,3,3n=，()()112 313,0,33,1,0,33333N

37、PCPCNCPCB=设直线PN与平面BGN所成角的大小为，则2 333 3333 390sincos,130411 39339n NPn NPnNP+=+，即直线PN与平面BGN所成角的正弦值为3 390130 18.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为F，3,2M m为C上一点，且32MF.（1）求C的方程；（2）过点()4,0P且斜率存在的直线l与C交于不同的两点,A B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点Q.（i）求点Q的坐标；（ii）求OAQ与OAB面积之和的最小值.【答案】（1）23yx=（2）（i）(4,0)Q；（ii）8 6【解析】【分析】（1）由条件结合

38、抛物线的定义列方程求,p m，由此可得抛物线方程；的 第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司（2）（i）设l的方程为4xmy=+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x yB xyD xy，应用韦达定理得1212,yyy y+，写出直线AD方程，求出它与x轴的交点坐标即得；（ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值【小问 1 详解】由题意可得322924pmpm+=，解得32p=，所以C的方程为：23yx=；【小问 2 详解】（i）由已知可得直线l的斜率不为 0，且过点()4,0，故可设的直线l的方程为4xmy=+，代入抛物线23yx=的方程，

39、可得23120ymy=，方程23120ymy=的判别式29480m=+，设11(,)A x y，22(,)B xy，22(,)D xy 不妨设10y，则12123,12yym y y+=,所以直线 AD 的方程为：121112()yyyyxxxx+=，即121112()()yyyyxxm yy+=即()11123yyxxyy=，令0y=，可得()()212113yyyxy=，所以()()2121112312xyyyyy y=+=，所以4x=所以(4,0)Q；（ii）如图所示，可得111114222OAQSOQ yyy=，121211442222OABSyyyy=+=+，所以OAQ与OAB的面积

40、之和 第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 1121222242OAQOABSSSyyyyy=+=+=+1111111224244242 48 6yyyyyy=+=+=当且仅当11244yy=时，即16y=时，等号成立，所以OAQ与OAB的面积之和的最小值为8 6.【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。19.固定项链的两端，在

41、重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为ee2xxcccy+=，其中c为参数当1c=时，就是双曲余弦函数()eech2xxx+=，类似地我们可以定义双曲正弦函数()eesh2xxx=它们与正、余弦函数有许多类似的性质（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，()sincosxx=，()cossinxx=，请写出()sh x，()ch x具有的类似的性质（不需要证明）；（2）当0 x 时，()sh xax恒成立，求实数a的取值范围；（3）求()()2chcosf xxxx=的最小值【答案】（1）()()()shchxx=,()()()chshxx=（2）(,1

42、（3）0【解析】【分析】（1）求导即可得结论;第18页/共19页 学科网（北京）股份有限公司（2）构造函数()()shF xxax=,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;（3）多次求导最终判断函数()f x单调在)0,+内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.【小问 1 详解】求导易知()()()shchxx=,()()()chshxx=.【小问 2 详解】构造函数()()shF xxax=，)0,x+，由（1）可知()()chFxxa=，当1a 时，由()eechee12xxxxxa+=,可知，()0Fx，故()F x单调递增，此时()()00F xF=，故对任意0 x，()sh

43、 xax恒成立，满足题意；当1a 时，令()()G xFx=，)0,x+，则()()sh0Gxx=，可知()G x单调递增，由()010Ga=可知，存在唯一()()00,ln 2xa，使得()00G x=，故当()00,xx时，()()()00FxG xG x=，则()F x在()00,x内单调递减，故对任意()00,xx，()()00F xF=，即()sh xax，矛盾；综上所述，实数a的取值范围为(,1【小问 3 详解】()()2chcosf xxxx=，()()shsin2fxxxx=+，令()()g xfx=，则()()chcos2gxxx=+；令()()h xgx=，则()()shs

44、inh xxx=，当)0,x+时，由（2）可知，()sh xx，则()()shsinsinh xxxxx=，第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 令()sinu xxx=，则()1 cos0uxx=，故()u x在)0,+内单调递增，则()()()00h xu xu=，故()h x在)0,+内单调递增，则()()()00gxh xh=，故()g x在)0,+内单调递增，则()()()00fxg xg=，故()f x在)0,+内单调递增，因为()()()()22chcos()chcosfxxxxxxxf x=，即()f x为偶函数，故()f x在(,0内单调递减，则()()min00f xf=，故当且仅当0 x=时，()f x取得最小值 0