函数的连续性(课件).pptx

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1、函数的连续性(课件)目录CONTENTS函数连续性的定义函数连续性的判定函数连续性的应用函数连续性的扩展函数连续性的反例函数连续性的习题与解答01函数连续性的定义如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。函数在某点连续如果函数在区间的每一点都连续，则函数在该区间连续。函数在区间连续函数连续性的定义函数连续性的几何意义可以理解为曲线在某点的切线斜率逐渐变化，没有突然的跳跃或断点。如果函数在某点连续，则该点的切线斜率是有限的，且没有垂直或水平切线。函数连续性的几何意义无垂直或水平切线曲线平滑过渡函数在某点的连续性仅与该点的附近函数值有关，而与远离该点的函数值无关。局部性质如果函数在

2、区间上连续，则该函数在区间上的积分存在。可积性函数连续性的性质02函数连续性的判定函数在某点连续的定义如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。判断方法通过求函数的极限，并验证该极限值是否等于该点的函数值。函数在某点连续的判定函数在区间上连续的定义如果函数在区间内的每一点都连续，则称该函数在该区间上连续。判断方法通过检查区间内每一点的极限值是否都等于该点的函数值，以及检查区间端点的连续性。函数在区间上连续的判定函数在无穷区间上连续的定义如果函数在无穷区间内的每一点都连续，则称该函数在该无穷区间上连续。判断方法通过检查无穷区间内每一点的极限值是否都等于该点的函数值，以及

3、检查无穷区间端点的连续性。函数在无穷区间上连续的判定03函数连续性的应用总结词01利用函数在某点的连续性，可以简化求极限的过程。详细描述02在求极限的过程中，如果函数在所考虑的点处连续，那么该点的极限值就是该点的函数值。因此，可以利用函数在某点的连续性，直接得出该点的极限值，避免了复杂的计算过程。示例03对于函数$f(x)=x2$，在$x=2$处连续，因此$lim_xto2f(x)=4$。利用连续性求极限总结词函数的单调性可以通过其连续性来判断。详细描述如果函数在某区间内连续，并且在该区间内单调增加或减少，那么该函数在该区间内是单调的。这是因为连续函数在其定义域内的任何子区间上都是一致增加或减

4、少的。示例函数$f(x)=x3$在$(-infty,+infty)$上连续且单调增加。利用连续性判断函数的单调性总结词利用函数的连续性可以判断其可积性。详细描述如果函数在区间a,b上连续，那么它在这个区间上是可积的。这是因为连续函数在其定义域内的任何子区间上都是一致增加或减少的，所以其积分值是有限的。示例函数$f(x)=x2$在0,1上连续，因此在这个区间上是可积的。利用连续性判断函数的可积性04函数连续性的扩展VS一致连续性是指函数在某个区间上的每一点都连续，且在整个区间上的一致性。详细描述一致连续性是函数连续性的一种更严格的条件。在一致连续的函数中，无论在区间的哪个点，函数的值都不会突然跳

5、跃或剧烈变化。这使得函数在整体上表现得更加稳定和规律。总结词一致连续性紧致性定理是指一个有界闭区间上的连续函数必定达到其最大值和最小值。总结词紧致性定理是实数理论中的重要定理之一，它表明在一个有限的闭区间上，连续函数必定达到其最大值和最小值。这个定理在解决优化问题、寻找函数的极值等方面有着广泛的应用。详细描述紧致性定理有限覆盖定理是指对于一个开覆盖，存在有限的子覆盖。有限覆盖定理是实数理论中的另一个重要定理，它表明对于任何开覆盖，总可以找到一个有限的子覆盖来覆盖整个集合。这个定理在证明函数的某些性质、解决某些数学问题等方面有着重要的应用。总结词详细描述有限覆盖定理05函数连续性的反例不连续点的

6、反例考虑函数$f(x)=frac1x$在$x=0$处的不连续性。当$x$趋近于0时，$f(x)$的极限不存在，因此$x=0$是该函数的一个不连续点。例子1考虑函数$f(x)=begincasesx2,&xtext是偶数x,&xtext是奇数endcases$在$x=0$处的不连续性。当$x$趋近于0时，$f(x)$的值在$02$和$0$之间跳跃，因此$x=0$是该函数的一个不连续点。例子2无穷间断点的反例例子1考虑函数$f(x)=frac1x$在$x=0$处的无穷间断性。当$x$趋近于0时，$f(x)$的极限为无穷大，因此$x=0$是该函数的一个无穷间断点。例子2考虑函数$f(x)=begin

7、casesx,&xleq01,&x0endcases$在$x=0$处的无穷间断性。当$x$趋近于0时，$f(x)$的值在0和1之间跳跃，因此$x=0$是该函数的一个无穷间断点。例子1考虑函数$f(x)=x2$在$x=0$处的不连续性。当$x$趋近于0时，$f(x)$的极限不存在，因此$x=0$是该函数的一个不连续点。要点一要点二例子2考虑函数$f(x)=begincasesx,&xtext是有理数-x,&xtext是无理数endcases$在$x=0$处的不连续性。当$x$趋近于0时，$f(x)$的值在0和-0之间跳跃，因此$x=0$是该函数的一个不连续点。其他反例06函数连续性的习题与解答习

8、题部分判断下列函数在给定点处的连续性$f(x)=x2$在$x=1$处$g(x)=frac1x$在$x=0$处$h(x)=sqrtx$在$x=-1$处讨论函数$f(x)=frac1x$在区间$(-infty,0)$和$(0,+infty)$上的连续性。对于$f(x)=x2$，在$x=1$处，有$f(1)=12=1$。由于$f(x)$在$x=1$处左侧的值$f(1-epsilon)=(1-epsilon)2$和右侧的值$f(1+epsilon)=(1+epsilon)2$都趋近于$f(1)$，所以$f(x)$在$x=1$处连续。对于$g(x)=frac1x$，在$x=0$处，左侧的值$g(0-epsilon)=frac10-epsilon$无定义，右侧的值$g(0+epsilon)=frac10+epsilon$也无定义。因此，$g(x)$在$x=0$处不连续。对于$h(x)=sqrtx$，在$x=-1$处，有$h(-1)=sqrt-1=i$。由于$h(x)$在$x=-1$处左侧的值$h(-1-epsilon)$和右侧的值$h(-1+epsilon)$都趋近于$i$，所以$h(x)$在$x=-1$处连续。解答部分THANKS感谢您的观看