2024年初一下册数学专项练习75三元一次方程组(基础)知识讲解.doc

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1、2024年初一下册数学专项练习三元一次方程组（基础）知识讲解【学习目标】1理解三元一次方程(或组)的含义；2会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程如x+y-z1，2a-3b+4c5等都是三元一次方程要点诠释： (1)三元一次方程的条件：是整式方程，含有三个未知数，含未知数的项的最高次数是1次(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零2三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数

2、的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数

3、的值；(5)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4解这个方程组，求出未知数的值； 5写

4、出答案(包括单位名称)要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( ) A B C D【答案】D【解析】A选项中与中未知数项的次数为2次，故A选项不是；B选项中，不是整式，故B选项不是；C选项中有四个未知数，故C选项不是；D项符合三元一次方程组的定义【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)

5、方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组类型二、三元一次方程组的解法2.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60求a，b，c的值【思路点拨】由“当x=1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可得出结论【答案与解析】解：根据题意，得，得a+b=1；，得4a+b=10 与组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入，得c=5因此，即a，b，c的值分别为3，2，5【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关

6、键是得出关于a、b、c的三元一次方程组本题属于基础题，难度不大.举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：+得： 2+得：由此可得方程组：得：，将代入知： 将，代入得： 所以方程组的解为：3. 解方程组【答案与解析】解法一：原方程可化为：由得：， 将代入得：，得： 将代入中两式，得：，所以方程组的解为：解法二：设，则将代入得：，将代入得：，所以方程组的解为：【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解举一反三：【变式】若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a的值为（）A1B0C2D4【答案】B解：，+得：x+y+z=1，把代入得：z

7、=4，把代入得：y=2，把代入得：x=3，把x=3，y=2，z=4代入方程得：3a+44=0，解得：a=0类型三、三元一次方程组的应用4. 购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需元【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果【答案】5【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元则由题意得：，由得

8、3x+y=1，由+得17x+7y+2z=7，由2得0=5a，解得：a=5. 【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张依题意，得把分别代入和，得2，得6x+z46 -，得4x28，x7把x7代入，得y13把x7，y13代入，得z4方程组的解是答：面值为2元、l元和5角的人民

9、币分别为7张、13张和4张三元一次方程组（提高）知识讲解【学习目标】1理解三元一次方程(或组)的含义；2会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义:含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程如x+y-z1，2a-3b+4c5等都是三元一次方程要点诠释： (1)三元一次方程的条件：是整式方程，含有三个未知数，含未知数的项的最高次数是1次(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零2三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数

10、的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数

11、的值；(5)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4解这个方程组，求出未知数的值； 5

12、写出答案(包括单位名称)要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（） A B C D 【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证【答案】B【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组A、满足

13、三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断类型二、三元一次方程组的解法2.若x：y：z=2：7：5，x2y+3z=6，求的值【思路点拨】根据x：y：z=2：7：5，设x=2k，y=7k，z=5k，代入x2y+3z=6得出方程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可【答案与解析】解：x：y：z=2：7：5，设x

14、=2k，y=7k，z=5k，代入x2y+3z=6得：2k14k+15k=6，解得：k=2，x=4，y=14，z=10，=0.18【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元举一反三：【变式】解方程组 【答案】解：由，得3x2y，即， 由，得5y4z，即，把、代入，得解得y12把代入，得x8，把代入，得z15所以原方程组的解为3.已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程组，求出x，y，z(含有a的代数式)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z-10，可得关于a的一元一次方程，解这个

15、方程，即可求得a的值【答案与解析】解法一： -，得z-x2a +，得2z6a，z3a把z3a分别代入和，得y2a，xa 把xa，y2a，z3a代入x-2y+3z10得a-22a+33a-10解得解法二：+，得2(x+y+z)12a即x+y+z=6a -，得z3a，-，得xa，-，得y2a ，把xa，y2a，z3a代入x-2y+3z10得a-22a+33a-10解得【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组举一反三：【变式】若 ，则x：y：z .【答案】 类型三、三元一次方程组的应用4.小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工

16、作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元（1）求x、y的值；（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x、y的值；（2）由题意可以列出相应的不等

17、式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数；（3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案【答案与解析】解：（1）由题意，得，解得即x的值为1800，y的值为3；（2）设某营业员当月卖服装m件，由题意得，1800+3m3100，解得，m只能为正整数，m最小为434，即某营业员当月至少要卖434件；（3）设一件甲为a元，一件乙为b元，一件丙为c元，则，将两等式相加得，4a+4b+4c=720，则a+b+c=180，即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元【总结升华】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程

18、组或不等式举一反三：【变式】有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A1.2元B1.05元C0.95元D0.9元【答案】B解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，得x+y+z=1.05（元）实际问题与二元一次方程组（一）（基础）知识讲解【学习目标】1以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2. 熟练掌握用方

19、程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（一）1.和差倍分问题：增长量原有量增长率 较大量较小量多余量，总量倍数倍量.2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量.4.利润问题：商品利润商品售价商品进价， . 要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量：同类量的单位要统

20、一；方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、和差倍分问题1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户李阿姨在淘

21、宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？【思路点拨】设茶壶的单价为x元，茶杯的单价为y元，根据题意可得，1个茶壶和10个茶杯共花去220元，茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元，据此列方程组求解【答案与解析】解：设茶壶的单价为x元，茶杯的单价为y元，由题意得，解得：答：茶壶的单价为70元，茶杯的单价为15元【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解举一反三：【变式】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（）A7元B35元C45元D50元【答

22、案】C解：设水壶单价为x元，杯子单价为y元，则有 ，解得 答：一个热水瓶的价格是45元类型二、配套问题2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.【答案与解析】解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套. 根据题意，列方程组得 解方程组

23、得 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.举一反三：【变式】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.【答案】解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，

24、 , .方桌有50=300（张）.答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.类型三、工程问题3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?【思路点拨】本例由分析知，有两个相等关系：(1)甲4天的工作量甲乙合做8天的工作量工作总量；(2)乙4天的工作量甲、乙合做9天的工作量工作总量，根据这两个相等关系可列方程求解【答案与解析】解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件根据题意，得，解之，得答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个【总结升华】解答这类问题

25、的基本关系式是：工作量工作效率工作时间工程问题一般分为两类：一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题类型四、利润问题4. 某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲2436乙3348（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【思路点拨】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；（2）总利润=甲的利润+乙的利润【答案与解析】解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种

26、矿泉水y箱，由题意得，解得：答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱（2）300（3624）+200（4833）=3600+3000=6600（元）答：该商场共获得利润6600元【总结升华】本题考查了二元一次方程组的实际应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解举一反三：【变式】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?【答案】解：设王师傅分别购进甲、乙两种商品件和件，则解得：答：王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件