【数学】一元线性回归模型及其应用课件-2023-2024学年高二下人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、8.28.2一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用8.2.18.2.1一元线性回归模型一元线性回归模型8.2.28.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计一元线性回归模型参数的最小二乘估计 8.2.1 8.2.1 一元线性回归模型一元线性回归模型复习导入1.样本相关系数：样本相关系数：2.相关系数的性质：相关系数的性质：当当r0时，称成对样本数据时，称成对样本数据正相关正相关；当；当r0时，称成对样本数据时，称成对样本数据负相关负相关.|r|1；当当|r|越接近越接近1时，成对数据的时，成对数据的线性相关程度越强线性相关程度越强；当；当|r|越接近越接近0时，成对数据时，成对数据的

2、的线性相关程度越弱线性相关程度越弱；特别地，当；特别地，当|r|0时时，成对数据的，成对数据的没有线性相关关系没有线性相关关系；当；当|r|1时，时，成对数据都落在一条直线上成对数据都落在一条直线上.复习导入 恩恩格格尔尔系系数数(Engels(Engels Coefficient)Coefficient)是是根根据据恩恩格格尔尔定定律律得得出出的的比比例例数数，指指居居民民家家庭庭中中食食物物支支出出占占消消费费总总支支出出的的比比重重，是是表示生活水平高低的一个指标表示生活水平高低的一个指标其计算公式：恩格尔系数食物支出金额其计算公式：恩格尔系数食物支出金额总支出金额总支出金额复习导入 一

3、一个个家家庭庭收收入入越越少少，家家庭庭收收入入中中或或者者家家庭庭总总支支出出中中用用来来购购买买食食物物的的支支出出所所占占的的比比例例就就越越大大，随随着着家家庭庭收收入入的的增增加加，家家庭庭收收入入中中或或者者家家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降.问问题题恩恩格格尔尔系系数数是是预预测测生生活活水水平平高高低低的的一一个个模模型型，那那么么当当两两个个变变量量线线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？提提示示为为了了对对两两个个变变量量线线性性相相关关关关系系进进

4、行行预预测测，我我们们通通常常建建立立一一元元线线性性回归模型进行预测回归模型进行预测生活经验告诉我们，生活经验告诉我们，儿子身高儿子身高与与父亲身高父亲身高存在存在正线性相关正线性相关关系，即父亲的身高较关系，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示，得到的数据如表所示.新知探究新知探究思考思考1：根据上表中的数据或散点图，儿子身高和父亲根据上表中的数据或散点图，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系身

5、高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗可以用函数模型刻画吗？存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况.也存在儿子身高相同，而父亲身高不同的情况。不符合函数的定义，可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，不能用函数模型刻画.思考思考2：为什么为什么儿子身高和父亲身高有相关关系而不是函数关系儿子身高和父亲身高有相关关系而不是函数关系？因为影响儿子身高的因素除了父亲身高这个主要因素外，还受其他随机因素的影响，如母亲身高、生活环境、饮食习惯、锻炼时间等.思考思考3：考虑上述随机因素的影响考虑上述随机因素的影响，你能否你能否用类似于函数的表达式用类似于函数的表达式来表示父亲身高来表示父亲身高x和儿子身

6、高和儿子身高Y的关系？的关系？新知探究用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差.假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值2，则它们之间的关系可以表示为：称为Y关于x的一元线性回归模型一元线性回归模型.Y称为因变量或响应变量；x称为自变量或解释变量；a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.思考思考4：为什么要假设为什么要假设E(e)=0，而不假设它为某个不，而不假设它为某个不为为0的常数？的常数？因为随机误差表示大量已知和未知的影响因素之和，因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，它们会相互抵消，所以随机误差的期望值应为0.1 1、一元线性回归

7、模型、一元线性回归模型.新知探究用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差.则它们之间的关系可以表示为下面的一元线性回归模型：思考思考5：你能结合身高案例解释上述模型的意义吗？你能结合身高案例解释上述模型的意义吗？由于E(Y)=bx+a，故模型可解释为父亲身高为xi的所有男大学生的身高(子总体)的均值E(Y)为bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系。yi不一定为bxi+a，yi=bxi+a+ei，bxi+a是子总体的均值，yi只是该子总体中的一个样本值，这个样本值yi与均值E(Y)有一个误差项ei=yi(bxi+a).思考思考6：父亲身高为父亲身高为xi的的某一名某一名男大

8、学生，他的身高男大学生，他的身高yi一定为一定为bxi+a吗？吗？理解为新知探究思考思考7：你能结合你能结合上述身高案上述身高案例解释模型中例解释模型中产生随机误差项产生随机误差项e的原因的原因吗？吗？(1)存在其他可能影响儿子身高Y的因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；(2)测量身高时，可能存在由测量工具、测量精度导致的测量误差；(3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，而利用一元线性回归模型来近似刻画这种关系，这种近似产生了误差.用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差.则它们之间的关系可以表示为下面的一元线性回归模型：理解为新知探索答案：答案：

9、.练习练习2 2.多选多选 在如图所示的四个散点图，适合用一元线性回归模型拟合其中两个在如图所示的四个散点图，适合用一元线性回归模型拟合其中两个变量的是变量的是().().答案：答案：AC.AC.课堂小结 8.2.2 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第第1 1课时课时)课题引入思考思考1：如何如何从散点图中从散点图中寻找到一条适当的直线，使得寻找到一条适当的直线，使得这些这些散点在整体上与这条直线最接近散点在整体上与这条直线最接近?方案1：先画出一条直线，测量出各点与直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.测量出此时的斜率和截距

10、，就可得到一条直线，如图.方案2：在图中选择两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图.方案3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距.上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.新知探究思考思考2：如何如何利用利用成对样本数据成对样本数据，用数学方法刻画，用数学方法刻画“从从整体整体上看，各散点与直线上看，各散点与直线最接近最接近”?析：可令n个样本点与直线的竖直距离之和最小y=bx+a新知探究最最小小

11、二二乘乘法法新知探索2 2、经验回归方程、经验回归方程图形图形推导推导新知探索含义2：父亲身高为176 cm的所有儿子身高的均值的估计值为177 cm.斜率可以解释为父亲身高每增加1 cm，其儿子身高平均增加0.839 cm.含义1：由方程作出推测，当父亲身高为176 cm时，儿子身高一般在177 cm左右.思考思考5：根据方程，父亲身高为多少时，长大成人的儿根据方程，父亲身高为多少时，长大成人的儿子身高和父亲身高一样？子身高和父亲身高一样？新知探索例析例析例析例析例析方法技巧：方法技巧：2.2.使用经验回归方程进行预测时，需注意以下问题使用经验回归方程进行预测时，需注意以下问题(1)(1)经

12、验回归方程只适用于所研究的样本的总体经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)(2)经验回归方程一般都有时效性经验回归方程一般都有时效性；(3)(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远，一般解释变量的取值在样本数据解释变量的取值不能离样本数据的范围太远，一般解释变量的取值在样本数据范围内范围内.练习 练练 1 1 截截 至至2 20 02 22 2年年 底底,全全 国国 从从 事事 节节 能能 服服 务务 的的 企企 业业 数数 量量 统统 计计 如如 表表所示所示,年份年份/t/t2018201820192019202020202021202120222022企业数企业数y/y/百家

13、百家54545858616164646565(1)(1)令令x=t-2 020,x=t-2 020,求求y y关于关于x x的经验回归方程的经验回归方程;练习练习新知探索新知探索3 3、残差、残差残差残差=观测值预报值观测值预报值新知探索 类似地，可以得到其他的残差，如表所示类似地，可以得到其他的残差，如表所示.新知探索 为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图所示差图，如图所示.新知探索 一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析一般地，建立经验回归方程后，通常需要

14、对模型刻画数据的效果进行分析.借借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策与决策.思考思考2 2：观察图中的四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随：观察图中的四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？机误差的假定？2.残差的作用：残差的作用：判断回归模型刻画数据的效果；发现原始数据中是否存在可疑数据，对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.4.残差分析途径：残差分析途径：列残差表、作残差图.以以残差残差为纵坐标，以为纵坐

15、标，以样本编号样本编号(或或x)为横坐标为横坐标.若存在某几个样本点的残差绝对值较大，则为可以数据，若存在某几个样本点的残差绝对值较大，则为可以数据，需予以纠正或剔除，再重新建立回归模型需予以纠正或剔除，再重新建立回归模型.残差图：残差图：残差残差有正有负有正有负，比较均比较均匀匀地分布在横轴的两边，地分布在横轴的两边，说明残差比较符合一元说明残差比较符合一元线性回归模型中对于随线性回归模型中对于随机误差的假定机误差的假定带状区域带状区域宽度越窄宽度越窄，残差，残差绝对值越小绝对值越小，且，且较均匀较均匀地落在横轴附近地落在横轴附近，说明回归方程预报的，说明回归方程预报的精度越高精度越高.新知

16、探索新知探索残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型残差残差与观测与观测时间时间有有非线性关系非线性关系，应在，应在模型中加入时间的模型中加入时间的非线性函数部分非线性函数部分残差的方差残差的方差不是一不是一个常数，随观测个常数，随观测时时间间的变大而变大的变大而变大残差比较均匀地分残差比较均匀地分布在以取值为布在以取值为0 0的横的横轴为对称轴的水平轴为对称轴的水平带状区域内带状区域内练习练习1.已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：x3456y2.534mB残差的概念残差的概念回归直线过样本点中心回归直线过样本点中心练习练习2.2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地

17、医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x周12345治愈人数y(单位：十人)38101415B例析 以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得到下图到下图.在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程立经验回归方程.例析 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图将经验回归直线叠加到散点图，得到下图.思考思考1：仔细观察

18、图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？新知探索以经验回归直线为参照，第以经验回归直线为参照，第1个散点个散点远离远离经验回归直线，经验回归直线，且且前后两时间段前后两时间段的散点都在经验回归直线的的散点都在经验回归直线的上方上方，中中间时间段间时间段的散点都在经验回归直线的的散点都在经验回归直线的下方下方.这说明这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.思考思考2：你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点你能对模型进行修改，以使其更好

19、地反映散点的分布特征吗？的分布特征吗？散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.已学的函数_的图象具有类似的形状特征.注意到短跑的第1个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=c1+c2ln(t1895)的周围，其中c1和c2为未知参数，且c20.思考思考1：仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？y=lnx、y=lgx新知探索思考思考3：如何利用成对数据估计参数如何利用成对数据估计参数c1和c2？注意到短跑的第1个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=c1+c2ln(t1

20、895)的周围，其中c1和c2为未知参数，且c20.非线性经验回归函数精确到精确到0.01作出(xi，yi)的散点图，可见x与y呈现出很强的负线性相关特征.新知探索思考思考3 3：如何利用成对数据估计参数如何利用成对数据估计参数c1和c2？注意到短跑的第1个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=c1+c2ln(t1895)的周围，其中c1和c2为未知参数，且c2 0.75,0.75,则线性相关程度很高则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合可用线性回归模型拟合)例析例析(2)(2)若可用线性回归模型拟合若可用线性回归模型拟合y y与与x x的关系的关系,请建立请建立y y关于关于x x的线性经的线性经验回归方程验回归方程,并预测年产量为并预测年产量为 10 10吨时的污水排放量吨时的污水排放量.例析导与练导与练 针对训练针对训练 课堂小结课堂小结