河南驻马店衡水名师卷2023-2024高考模拟压轴卷（二）数学含答案.pdf

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1、2024 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）本试卷共本试卷共 4 页，页，19 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名答题前，考生先将自己的姓名准考证号码准考证号码考场号考场号座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

2、整笔迹清楚笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸试卷上答题无效试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液弄皱，不准使用涂改液修正带修正带刮纸刀刮纸刀.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

3、题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点06,Py在焦点为F的抛物线2:2(0)C ypx p上，若152PF，则p（）A.3B.6C.9D.122.电影孤注一郑的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民 480 人，其中老年人 200 人，中年人 200 人，青少年 80 人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取 36 人作为代表，则中年人比青少年多（）A.6 人B.9 人C.12 人D.18 人3.已知0abc，则下列说法一定正确的是（）A.abcB.2abcC.2acbD.2abbcbac4.已知向量2,3,1,2

4、ab，则ab在ab方向上的投影向量为（）A.816,1717 B.12 20,17 17 C.1220,1717 D.20 20,17 175.已知某正六棱柱的体积为6 3，其外接球体积为20 53，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（）衡水名师卷2023-2024高考模拟压轴卷（二）A.6 318 B.3 318 C.6 324 D.3 3246.已知甲乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是 cos03f xxx 的图像.某日小明和小红分别从甲乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为,a b，小红行走轨迹的点记为,c d，且满足32ac，

5、函数 2g abd，则 g a的一个单调递减区间为（）A.40,3 B.5,33 C.4 8,33 D.2,37.已知椭圆22:1(09,)9xyCmmmZ的左右焦点分别为12,F F，点P在C上但不在坐标轴上，且12PFF是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为78，则m（）A.4 B.5 C.6 D.88.已知函数 eelne 1xmf xmxx的定义域为0,，若 f x存在零点，则m的取值范围为（）A.1,e B.0,e C.10,e D.e,二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选

6、项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知1232i,4izz，则（）A.12zz的虚部为-1B.1243zz是纯虚数C.1 2z z在复平面内所对应的点位于第一象限D.214izz10.已知7270127(43)1 3(1 3)(1 3)xaaxaxax，则（）A.4945a B.77141iiaC.136024622aaaa D.613135722aaaa11.设 M x是定义在*N上的奇因函数，是指x的最大奇因数，比如：33,63MM，81M，则（）A.对*,212kMkMkNB.2Mk

7、M kC.1263931MMMD.126363M三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知集合2450,Ax xxBx xm，若0m，则ABR_；若AB R，则m的取值范围为_.13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5 门研究性学习课程，要求每位同学选择其中 2 门进行研修，记事件A为甲乙两人至多有 1 门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则 P A _.14.定义：对于函数 f x和数列 nx，若10nnnnxxfxf x，则称数列 nx具有“f x函数性质”.已知二次函数

8、f x图像的最低点为0,4，且 121f xf xx，若数列 nx具有“f x函数性质”，且首项为 1 的数列 na满足ln2ln2nnnaxx，记 na的前n项和为nS，则数列52nnS的最小值为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，其中3c，且2tantantanbBaBAB.（1）求C；（2）求22ab的取值范围.16.（15 分）已知函数 lnxf xx ax.（1）讨论 f x的最值；（2）若1a，且 e

9、xkxf xx，求k的取值范围.17.（15 分）在如图所示的平面图形中，四边形ACDE为菱形，现沿AC进行翻折，使得AB 平面ACDE，过点E作EFAB，且12EFAB，连接,FD FB BD，所得图形如图所示，其中G为线段BD的中点，连接FG.（1）求证：FG 平面ABD；（2）若2ACAD，直线FG与平面BCD所成角的正弦值为77，求AB的值.18.（17 分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近 300 个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.（1）求a的值以及该公司这 300 个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，

10、若在所有工作日中随机选择 4 天，记汽车销售量在区间200,250内的天数为X，求X的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B两个盒子，其中A盒中放有 9 张金卡1 张银卡，B盒中放有 2 张金卡8 张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17 分）已知双曲

11、线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为A，直线1:2lyx与C的一条渐近线平行，且与C交于点B，直线AB的斜率为13.（1）求C的方程；（2）已知直线2:28lyxm m与C交于,P Q两点，问：是否存在满足EA EPEP EQEA EQ 的点00,E xy？若存在，求2200 xy的值；若不存在，请说明理由.数学（二）数学（二）一一选择题选择题1.A 【解析】由抛物线的定义可知15622pPF，解得3p.故选 A 项.2.B 【解析】设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知20080,48036 480 x36y，解得15,6xy，故中年人比青少年多 9 人.故选 B

12、项.3.D 【解析】当3,2,1abc时，abc，且2acb，故A，C 项错误；因为0ab，0ac，所以2abc，故 B 项错误；20abbcbacbcab，故 D 项正确.故选 D项.4.C 【解析】由题意得1,1,3,5abab，则ab在ab方向上的投影向量为2()()1220(),1717|abababab，故选 C 项.5.D 【解析】设该正六棱柱的底面边长为a，高为h，其外接球的半径为R，易知3420 533R，则2254hRa，且2366 34ah，联立，因为hZ，解得1,4ah，所以正六棱柱的表面积231263 3244Saah.故选 D 项.6.A 【解析】依题意得cos,co

13、scos 3cos22aaba dc，且03,0 33,2aa解得03a，则 2cos2cos2cos2cos1222aaag aa，令cos2at，则1,1t，因为2221ytt在区间11,2 内单调递减，在区间1,12内单调递增，所以 g a在区间480,2,33 内单调递减.故选A项.7.B 【解析】依题意得126PFPF，设12FFn，不妨设点P在第一象限，则112PFFFn，则26(06)PFnn，故222122(6)7cos28nnnPFFn或22221(6)7cos268nnnPF Fnn，解得4n 或2411n，又2,2nmmZ9，所以4,5nm.故选 B 项.8.C 【解析】

14、由题意得0m，令 0f x，则lnlneelneelnxmxxmx.令 eexg xx，易知 g x单调递增，所以lnlng xmgx，即lnlnxmx，即lnlnmxx.令 lnh xxx，则 1xh xx，当0,1x时，0h x，h x单调递增，当1,x时，0,h xh x单调递减，又 11h，当0 x 时，h x，所以ln1m，解得10em.故选 C 项.二二多选题多选题9.BC 【解析】127izz的虚部为 1，故 A 项错误；124311izz为纯虚数，故 B 项正确；1 232i4i145iz z，其在复平面内所对应的点14,5位于第一象限，故 C 项正确；24i1 4i17iiz

15、 ，14134z，故 D 项错误.故选BC项.10.AC 【解析】依题意得77(43)31 3xx，所以4347C335 27a 945，故 A 项正确；令13x，得03a，令0 x，得7704iia，所以777143iia，故 B 项错误；令23x，得7012345672aaaaaaaa，又7012345674aaaaaaaa，由+可得77135024642222aaaa，故 C 项正确；同理，由-得136135722aaaa，故 D 项错误.故选 AC 项.11.ABD 【解析】由题意得 2MkM k，故 B 项正确；2,2121MkM kk Mkkk，故 A 项正确；51 6312363

16、632632，所以123636363MM，故 D 项正确；12631MMMM 36324MMMM 621 3631MM 1023121MMM 33124MMMM108642030 222222M61 413651 4，故 C 项错误.故选 ABD 项.三三填空题填空题12.50,14xx 【解析】集合1Ax x 或54x，所以RA 504Bxx.若AB R，结合数轴可知1m ，故m的取值范围为(,1).13.925 【解析】若甲乙两人的选课都不相同则共有1243C C4 312 种；若甲乙两人的选课有 1 门相同，则共有2114432CC C24种.故 225512249C C25P A.14

17、.-5112 【解析】由题意知 24(0)f xaxa，又 12121f xf xaxx，所以1a，则 24f xx.由题意得2ln2ln2ln2nnnnnxaxxx，由10nnnnxxfxf x，得1nnnnf xxxfx，即2214422nnnnnnxxxxxx，又2211222,222nnnnnnxxxxxx，所以21212222nnnnxxxx，则1122ln2ln22nnnnxxxx，即12nnaa，故 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12,21nnnnaS.令nncS.552122nnn，则111822nnnccn，故当8n时，1nncc，当9n时，1nncc，故9

18、min5112ncc.四四解答题解答题15.解：（1）因为tantan tanABCC，所以2tantantanbBaBC，由正弦定理得sin2tansintantanBBABC2sin cos2sin cossin coscos sinsinBCBCBCBCBC2sin cossinBCA因为sin0,sin0AB，所以2cos1C，则1cos2C，又0,C，所以3C.（2）由余弦定理得223abab，因为222abab，所以22222222,22abababab ab即226ab.当且仅当3ab时等号成立.又223abab，且0ab，所以223ab.综上，22ab的取值范围为3,6.16.

19、解：（1）由题意得 f x的定义域为0,，11,axfxaxx当0,0,ax时，0fx，所以 f x在区间0,内单调递减，无最值；当0a 时，令 0fx，得1xa，当10,xa时，0,fxf x单调递减，当1,xa时，0,fxf x单调递增.故当1xa时，f x取得最小值，且最小值为11 lnfaa，无最大值.综上，当0a时，f x无最值；当0a 时，f x的最小值为1 lna，无最大值.（2）当1a 时，由 exkxf xx，得elnxkxxxx，整理得2elnxkxxx x，即2lnexxxx xk.令 2lnexxxx xh x，则 h x2221 ln1 elneexxxxxxxx x

20、 ln1exxxx，由（1）知，当1a 时，lnf xxx的最小值为 110f，即ln0 xx恒成立，所以当0,1x时，0,h xh x单调递增；当1,x时，0,h xh x单调递减.故当1x 时，h x取得最大值 21eh，即2ek，故k的取值范围为2,e.17.（1）证明：连接CE交AD于点O，连接GO.在菱形ACDE中，CEAD，因为AB 平面,ACDE CE 平面ACDE，所以CEAB，又,ABADA AB AD平面ABD，所以CE 平面ABD.因为,G O分别为,BD AD的中点，所以1,2GOAB GOAB，又1,2EFAB EFAB，所以GO EF，所以四边形GOEF为平行四边形

21、，所以FGEO，所以FG 平面ABD.（2）解：在菱形ACDE中，因为ACAD，所以ACD和ADE都是正三角形，取ED的中点H，连接AH，则AHAC，又AB 平面ACDE，所以,ABAC ABAH，即,AB AC AH两两垂直.以A为坐标原点，,AB AC AH所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2(0)ABa a，则13(0,2,0),(2,0,0),(0,1,3),(,1,3),22CBaDF aG a则2,2,0,(0,1BCaCD ，333),0,22FG.设平面BCD的法向量为,mx y z，则220,30,m BCaxym CDyz 取1z，则3,3,1m

22、a.记直线FG与平面BCD所成角为，则|sin|cos,|FG mFG mFG m .237,7343a解得1a，即AB的值为 2.18.解：（1）依题意得(0.001 0.0020.00320.006)501.a解得0.004a.所求平均数为25 0.1 75 0.15 1250.2 175 0.3225 0.2275 0.05150.（2）依题意得14,5XB，则4425605625P X，314142561C55625P X222414962C,55625P X33414163C55625P X41145625P XX01234P25662525662596625166251625故14

23、455E X.（3）设“选到A盒”为事件1A，“选到B盒”为事件2A，摸到金卡”为事件1B，摸到银卡”为事件2B，因为12,B B是对立事件，所以119121121021020P B.2191.20P BP B 由题意得1212P AP A，所以12122P ABP A BP B2112111102,9920P BA P AP B则2212819P ABP A B.故所求的概率89123791091045P.19.解：（1）易知C的一条渐近线方程为yx，则ab.设,2B t t，又,0,0Aaa，直线AB的斜率为13，所以213tta，解得62at，则62,22aaB，代入222xya中，解得

24、4a.故C的方程为2211616xy.（2）因为EA EPEP EQ ，所以0EPEAEQ ，即0EP QA ，所以PEAQ，同理可得,AEPQ EQAP.设1122,P x yQ xy，联立221,16162.xyyxm整理得2234160 xmxm，由题意知221612160mm，且8m，解得4 3m 或4 3m，且8m，所以21212416,33mmxxx x.过点A与2l垂直的直线的方程为122yx，设该直线与C的右支交于另一点H，联立221,161612,2xyyx 整理得238800 xx，解得203x 或4x （舍去）.所以2016,33H.因为1122016,33PH AQxyx 22121220801644333yxx xxy122121220801642333y yxx xxx1212)225(1mxmxmx x 22128016164802)54233333mmxxmmmm 222216580168801603333333mmmmmmm 所以PHAQ，同理可证QHAP.又AHPQ，所以H与E重合.因为H在C上，所以220016xy.故存在点E满足EA EPEP EQEA EQ ，且220ijxy的值为 16.