江苏省苏锡常镇四市2024届高三教学情况调研（二）（苏锡常镇二模）数学含答案.pdf

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1、高三数学答案 第 1 页（共 8 页）20232024 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案）2024.5 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分题号12345678答案CBABCDAD二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分题号91011答案BCDABDAC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分121y 或3450 xy 1319144，1四、解答题：本题共四、解答

2、题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分15（13 分）【法一法一】（1）证明：在直棱柱111CBAABC 中，1B B 面ABC，则面11BBCC 面ABC，2 分分 面11BBCC 面ABCBC，AB 面 ABC，BCAB，所以AB面11BBCC.4 分分因为11/BAAB，所以11BA面11BBCC.则1AC 在面11BBCC的射影为1BC，在正方形11BBCC中，有.11CBBC 所以由三垂线定理得：.11CABC 6 分分（2）解：直三棱柱111ABCABC-的体积为11112 1122VAB BC AAAA ，则11AA.7 分分高三数学答案 第 2 页（共 8 页）由（1）1

3、1BA平面11BBCC，1BC 平面11BBCC，则11BA1BC，在正方形11BBCC中，1BC 1BC，且111ABBC，平面CBA11，1111ABBCB，所以1BC平面CBA11.8 分分设11BCBCO，在11ABC中，过O作CAOH1于H，连接BH.因为 OH 为 BH 在面11ABC的射影，由三垂线定理得：CA1.BH所以BHO为二面角11BABC的平面角.10 分分因为 RtCOHRt11CAB，111BACAOHCO，得33OH，又在 RtBOH中，22BO，得630BH，12 分分.51063033cosBHOHBHO所以二面角BCAB11的余弦值为.510 13 分分【法

4、二法二】直三棱柱111ABCABC-的体积为：11112 1122VAB BC AAAA ，则11AA.1 分分（1）证明：直棱柱111ABCABC，1BB 平面ABC，又ABBC，以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系.2 分分(0,0,0)B，1(0,0,1)B，(1,0,0)C，1(0,2,1)A，1(1,0,1)C.1(1,0,1)BC ，1(1,2,1)AC ，4 分分高三数学答案 第 3 页（共 8 页）111 10(2)1(1)0BCAC ，所以.11CABC 6 分分（2）(0,0,0)B，1(0,0,1)B，(1,0,0)C，1(

5、0,2,1)A，1(1,0,1)C.(1,0,0)BC ，1(0,2,1)BA，设平面1BCA的法向量1 111(,)x y z，则111111020BCxBAyz，取11y，得1(0,1,2).8 分分1(1,0,1)BC ，11(0,2,0)B A，设面11BCA的法向量2 222(,)xyz，则21222112020BCxzB Ay，取21x，得2(1,0,1).10 分分设二面角11BABC的大小为，则：121212|2|10|cos|cos,|552 .12 分分因为为锐角，所以二面角11BABC余弦值为510.13 分分 16.（15 分）（1）解：提出假设0H：是否喜爱阅读与性别

6、没有关系3 分分根据列联表的数据，可以求得：2250(10 1213 15)0.7252.70625252327，5 分分所以没有 90%的把握认为喜爱阅读与性别有关.7 分分（2）随机变X服从超几何分布(3,2,6)H，X可能取 0，1，2.8阅读性别一般爱好合计男生101525女生131225合计2327502 分分高三数学答案 第 4 页（共 8 页）分分0324361(0)5C CP XC，1224363(1)5C CP XC，2124361(2)5C CP XC.11分分则X的分布列为：X012P153515所以131()0121555E X .14 分分 答：抽取男生人数的数学期望

7、为 1 15 分分17.（15 分）解：（1）因为函数的定义域为(0,)，当0a 时，e1()xf xx.要证()1f x，只需证：当0 x 时，e1xx.1 分分 令()e1xp xx，则()e10 xp x，则()p x在(0,)x单调递增，3分分所以()(0)0p xp，即e1xx.5 分分（2）2(1)e1()xxafxxx1(1)e1xxaxx，6分分令(1)e1()(1)xxg xa xx，则 2222e(1)1(1)110 xxxxxxgxxxx.所以()g x在(1,)单调递增，()(1)1g xga，8 分分高三数学答案 第 5 页（共 8 页）当1a时，()(1)10g x

8、ga ，()0fx.则()f x在(1,)为增函数，()f x在(1,)上无极值点，矛盾.11 分分当1a 时，(1)10ga.由（1）知，e1xxx，(1)e1(1)e(1)()1xxxxxxg xaaaxaxxx，则(1)0ga，则0(1,1)xa使0()0g x.14 分分当0(1,)xx时，()0g x，()0fx，则()f x在0(1,)x上单调递减；当0(),xx时，()0g x，()0fx，则()f x在0(,)x 上单调递增.因此，()f x在区间(1,)上恰有一个极值点，所以a的取值范围为(,1).15 分分18.（17 分）（1）解：F(0，2p)，设 A(211,2xxp

9、)，则FA 211(,)22xpxp1(3,)4，1 分分所以12131224xxpp，得：2260pp，解得2p 或32p （舍），所以抛物线 C 的方程为24xy.4 分分（2）设直线 MN：ykxm，M(11,x y)，N(22,xy)，联立，得2440 xkxm.所以216()0km，121244xxkxxm，.111111222ykxmmkkxxx，222222222ykxmmkkxxx，则1212121211(2)2(2)()2(2)xxk mkkkmkmxxx xm，5分分高三数学答案 第 6 页（共 8 页）121212(2)(2)kxmkxmk kx x2222121212(

10、2)()(2)8(2)4k x xk mxxmkmx xm.6 分分因为12123()24kkk k，即：22(2)8(2)32404k mkmmm，即：(22)(42)0kmkm，则22mk或24mk，能满足式.8 分分则 MN：22(2)2ykxkk x，或 MN：24(4)2ykxkk x，所以定点 Q 的坐标为(2,2)或(4,2)，10 分分（3）如 MN 过(4,2)点，当122kk时，12123()24kkk k，但此时 M，N 重合，则|MN无最小值，所以 MN 只能过(2,2)点，此时|MN有最小值.11 分分由（2），在中，令22mk得：1212488xxkxxk，MN=2

11、22221212121212()()11()4xxyykxxkxxx x224321(4)4(88)42322kkkkkkk.13 分分令432()2322f kkkkk，则32246622(21)(1)0()kfkkkkkk，12k.15 分分当12k 时,()0fk，()f k在1(,)2上为减函数，当12k 时,()0fk，()f k在1(,)2上为增函数，16 分分所以当12k 时，()f k有最小值，MN有最小值.min114 112544MN.17 分分高三数学答案 第 7 页（共 8 页）19.（17 分）（1）解：第 1 行最后两数0101CC1，第 2 行的最后两数12023

12、3CCC2.1 分分第m（3m）行的第m个数为132222CCmmmm，第1m 个数为22121CCmmmm，猜测：13222222121CCCCmmmmmmmm.2 分分【法一法一】即证：12321222122CCCCmmmmmmmm，3 分分 因为11233222222222222CCCCCCmmmmmmmmmmmm，5 分分 只要证明22222CCmmmm，该式显然成立，所以12321222122CCCCmmmmmmmm，所以每行最后两个数相等.6 分分【法二法二】因为22121(21)!(21)!CC!(1)!(2)!(1)!mmmmmmm mmm(21)!(1)(1)!(1)!mm

13、mm mm m2(21)!(2)!(1)!(1)!mmmm mm m；4 分分又因为132222(22)!(22)!CC(1)!(1)!(3)!(1)!mmmmmmmmmm (22)!(1)(1)(2)(1)!(1)!mmmmmmm(42)(22)!(1)!(1)!mmmm2(21)!(2)!(1)!(1)!(1)!mmmmm m.即：13222222121CCCCmmmmmmmm.所以每一行的最后两个数相等.6 分分（2）第 1 行所有数之和为0101CC2，第 2 行的最后一个数为03233 12CC，此时结论成立.7 分分因为11CCCkkknnn，高三数学答案 第 8 页（共 8 页）

14、第m（2m）行的1m 个数之和为：0120312111222121CC(CC)(CC)(CC)mmmmmmmmmm01201211211221(CCCC)(CCC)mmmmmmmmm0120121212221(CCCC)(CCC)mmmmmmmmm1212211213321(CCC)(CCC)mmmmmmmm222CCmmmm.10分分而第1m 行倒数第二个数为222CCmmmm，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证.11 分分（3）当1n，3k 时，1111C1Sa，11341S，当4k时，此时显然不成立.猜测：存在正整数 k，使得41nnkS恒成立，k 的最大值为 3.12 分分 下证：当2n时，341nnS 恒成立.由（1）知，(2)!(1)!nnnan，则1(22)!(1)!(2)!nannn，因为1(22)!(22)(1)!(!)!(1)!(212)!(2)()(12nnannnnn nnannn2(21)4(2)6644222nnnnn.14 分分又0na，当2n时，2111214444nnnnnaaaa.15 分分当2n时，211241.144.43nnnnSaaa，所以341nnS.综上：存在正整数 k，k 的最大值为 3，使得41nnkS恒成立.17 分分