四川省成都市成华区某校2024届高三下学期三诊试题 数学（理） 含答案.pdf

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1、高三数学试题（理科）第页共 4 页1高三三诊模拟考试数理高三三诊模拟考试数理一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合2|23 0Ax xx，1|31xBx，则(AB)A(1，1B 1，3C(1，3D3，)2某圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()AB2C3D23若角的终边位于第二象限，且1sin2，则sin()(2)A12B12C32D324若复数z满足|2|1z，则|z的最小值为()A0B1C

2、3D2514C同位素测年法最早由美国学者WillardFrankLibby在 1940 年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14C放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后14C的含量nP满足关系式025730nPnlglgP（其中动植物体内初始14C的含量为0)P现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据：20.3lg，70.85)(lg)A2750 年B2865 年C3050 年D3125 年6在ABC中，“|

3、CACBAB ”是“ACB是钝角”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件72023 世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间现将 4 名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有()A6 种B18 种C24 种D36 种8已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为 12，若x，y均小于 4，则该样本的方差最小时，x，y的值分别为()#QQABBYKUoggAQ

4、IBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#四川省成都市成华区某校2024届高三下学期三诊试题高三数学试题（理科）第页共 4 页2A1，3B11，13C2，2D12，129记nS为等比数列 na的前 n 项和，若45S ，6221SS，则8S（）A85B.85C.120D.12010已知1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左，右焦点，点0(M x，00)(0)yy 是双曲线E上的点，点C是12MF F内切圆的圆心，若121212CMFCMFCF FSSS，则双曲线E的渐近线为()A30yxB30 xyC230 xyD230yx11已知三棱

5、锥SABC的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为36，5AB，2 5AC，30ACB，则当三棱锥SABC的体积最大时，(BS)A4B2 5C5D3012已知 a，b，1,c，且ln2aa，1ln2ln22bb，sin1lntan1cc，其中 e 是自然对数的底数，则（）AabcBbacCacbDbca二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13若抛物线22ypx 过点(1,2)，则该抛物线的焦点为14曲线()cosxf xexx在点(0，(0)f处的切线方程为15在ABC中，1cos,7,87AABBC，则BC边上的高为16 如图，在

6、平行四边形ABCD中，224,44DCADACABAFEC，且EF交AC于点G，现沿折痕AC将ADC折起，直至满足条件DCBC，此时cosEGF三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分）在ABC中，,23Ab，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B的大小；（2）ABC的面积#QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#高三数学试题（理科）第页共 4 页3条件：2222bacac；条

7、件：cossinaBbA18（本小题满分 12 分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为 5 年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为 4 元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了 150 条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示以这 150 条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替 1 条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买 1 盒此款灯带，每盒有 2 条灯带，记X表示这 1 盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买 1 盒灯带的同时购买的备

8、用灯珠数量（1）求X的分布列；（2）若满足()0.6P Xn 的n的最小值为0n，求0n；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn与0nn哪种方案更优19（本小题满分 12 分）如图，在三棱台ABCDEF中，H在AC边上，平面ACFD 平面ABC，60ACD，2CH，4CD，3BC，BHBC（1）证明：EFBD；（2）若2ACDF且ABC的面积为3 34，求CF与平面ABD所成角的正弦值20（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab的长轴为双曲线22184xy的实轴，且椭圆C过点(2,1)P（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A

9、，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为1k，#QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#高三数学试题（理科）第页共 4 页42k，且1212kk，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程21（本小题满分 12 分）已知函数()1f xlnxax，其中实数aR（1）求证：函数()f x在(1，f(1)处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若函数()f x有两个零点1x，2x，且122xx，求a的取值范围请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

10、记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用作答时，用 2B 铅铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由两段同心圆弧,BC AD和两条线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，736AODBOC，A、O、B三点共线7(20,)72A，点C在半径为 1 的圆上（1）分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；（2）若需设置一个距边界曲线M距离不小于 1 且关于极轴所在直线

11、对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积注：77sin0.3,cos0.95727223(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知函数()|1|f xxax，aR（1）当2a 时，求不等式()4f x；（2）对任意(0,3)m,关于x的不等式1()2f xmm总有解，求实数a的取值范围#QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#第 1页，共 4页高三高三三诊模拟考试数理三诊模拟考试数理参考答案参考答案一、选择题一、选择题：CBDBBCDCAADB二、填空题：二、填空题：13(1,0)；1421yx；153 32

12、；1612三、解答题三、解答题17选择条件：2222bacac，（1）由2222bacac，得2222acbac，所以22222cos222acbacBacac；4 分又(0,)B，所以4B；6 分（2）由正弦定理知sinsinabAB，所以sin3sinbAaB；8 分所以321262sinsin()sincoscossin22224CABABAB，10 分所以ABC的面积为116233sin322244ABCSabC12 分选择条件：cossinaBbA（1）由正弦定理得sinsinabAB，所以sinsinaBbA；又cossinaBbA，所以sincosBB，所以tan1B；4 分又(

13、0,)B，所以4B；6 分（2）由正弦定理知sinsinabAB，所以sin3sinbAaB；8 分所以321262sinsin()sincoscossin22224CABABAB，10 分所以ABC的面积为116233sin322244ABCSabC12 分18（1）设表示 1 条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则(5)(7)(8)0.2PPP，(6)0.4P，X的取值范围是10，11，12，13，14，15，16，1 分(10)0.20.20.04P X，(11)20.20.40.16P X，2(12)0.42 0.2 0.20.24P X，(13)2(0.20.20.20.4)0.2

14、4P X，2(14)0.220.40.20.2P X，(15)20.20.20.08P X，(16)0.20.20.04P X，5 分X的分布列为#QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#第 2页，共 4页X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.046 分（2）由（1）可知(12)0.8P X，(13)0.56P X，故013n 8 分（3）由（2）可知0112nn，在灯带安全使用寿命期内，当12n 时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当13n 时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则()

15、240.2440.2 80.08 120.04 1628.16E u ，10 分()260.240.08 80.04 1227.92E v ，11 分()()E vE u，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，0nn比01n 的方案更优.12 分19（1）证明：60ACD，2CH，4CD，由余弦定理得2221cos22CDCHDHACDCD CH，解得2 3DH，所以222CDCHDH，所以DHAC，又因为平面ACFD 平面ABC，平面ACFD平面ABCAC，DH 平面ACFD，所以DH 平面ABC，2 分因为BC 平面ABC，所以DHBC，又因为BHBC，BHDHH，BH 平面BDH，D

16、H 平面BDH，所以BC 平面BDH，.3 分因为DB 平面BDH，所以BCDB，4 分又因为/BCEF，所以EFDB；5 分（2）在Rt BHC中，2CH，3BC，BHBC，所以221BCCHBC，3cos2BCACBCH，所以30ACB，因为3 34ABCS，又3 31sin3042ABCSACBC，解得3AC，则3ACAHHC，所以1AH，7 分由（1）知DH 平面ABC，则以H为原点，HC，HD的方向为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A，1，0)，3 1(,0)22B，(0,0,2 3)D，(0C，2，0)，3(0,2 3)2F，所以3 3(,0)22AB ，(0,1,2

17、 3)AD，1(0,2 3)2CF ，设平面ABD法向量为(,)nx y z，则330222 30n ABxyn ADyz，令2 3y ，得平面ABD的一个法向量为(6,2 3,1)n，10 分设CF与平面ABD所成角为，则|3 36 3sin|cos,|749|72CF nCF nCFn ，所以CF与平面ABD所成角的正弦值为6 34912 分#QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#第 3页，共 4页20（1）由题意，知2224 2,411,aab解得22 22ab，所以椭圆C的标准方程为22182xy.4 分（2）当直线A

18、B的斜率存在时，设其方程为ykxt，1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立2248xyykxt，得222(41)8480kxktxt，由韦达定理得12221228414841ktxxktx xk，所以12222122241841tyyktky yk，6 分因为22221212121222212121211()1241(1)4121222()44161644(2)44(21)2yyy yyyttktktkkkxxx xxxtktktktk ，所以3210tk，即213kt，所以直线AB的方程为213kykx，即(32)(31)0 xky，由320310 xy，得2313xy，故直线AB恒过

19、点21(,)33M；9 分当直线AB的斜率不存在时，设0(A x，0)y，则0(B x，0)y，所以2000012200001112122(2)4(2)2yyyxkkxxxx，解得023x，所以此时直线AB也过点21(,)33M，10 分因为点21(,)33M在椭圆C的内部，所以当直线AB垂直于OM时，坐标原点O到直线A的距离最大，此时直线AB的方程为6350 xy12 分21（1）证明：因为()1f xlnxax，所以1()fxax，所以(1)1 fa，又(1)1 fa，所以切线方程为()(1)(1)ylaa x，即(1)ya x，则当0 x 时0y，所以切线恒过定点(0,0)；4 分（2）

20、解：因为()1f xlnxax的定义域为(0,)，所以11()axfxaxx，5 分当0a时，()0fx恒成立，所以()f x在(0,)上单调递增，故()f x不可能有两个零点，故舍去；当0a 肘，令()0fx，解得10 xa，令()0fx，解得1xa，所以()f x在1(0,)a上单调递增，在1(a，)上单调递减，所以11()()maxf xflnaa，要使()f x有两个零点，则11()()0maxf xflnaa，解得0al，7 分又111()10aflnaeeee，22444242()1110flnaaaaaa ，所以当01a时，()f x在1(e，1)a和1(a，24)a上各有一个零

21、点2x，1x且12xx，#QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#第 4页，共 4页所以11221010lnxaxlnxax ，由()f x单调性知，当2(xx，1)x时，()0f x，当1(xx，)时()0f x，因为2212xxx，所以2(2)0fx，即2222(2)21lnxaxlnxaxl，所以22axln，而2212axlnxln，所以220 xe，所以221lnxax，令1()lnxh xx，2(0,)xe，则2211()0lnxlnxh xxx，所以()h x在2(0,)e上单调递增，所以222()()22lnel

22、nh xhee，所以2(0,)2elna12 分22（1）由题以O为原点，AD的垂直平分线为极轴建立极坐标系，线段17:(120)272ABAOD；线段7137:2(120)7272CD；弧7137:1(0,2)7272BC；弧7137:20(0,2)7272AD 6 分（2）求警示区域最小值即让内界线到M距离恰好为 1，矩形长设为l，1 1 12023l （包括弧长半径、圆半径、两边距距离）；宽为d，127720 sin6,20 sin67272dd121 114ddd ，则1423332Sld 10 分23（1）由已知，不等式()4f x 即为|2|1|4xx，则2,(2)(1)4,xxx或21,2(1)4,xxx 或1,21 4,xxx解得522x 或21x 或312x，故不等式的解集为52，325 分（2）对任意(0,3)m关于x的不等式1()2f xmm总有解1()(2)minminf xmm，而112 224ymmmm，当且仅当1mm，即1m 时取得最小值又()|()(1)|1|f xxaxa（当且仅当()(1)0 xa x时取等号），故只需|1|4a，解得53a，即实数a的取值范围为(5,3)10 分#QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=#