陕西省铜川市2024届高三下学期第三次模拟考试 数学（理）含解析.pdf

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1、铜川市铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试年高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题数学（理科）试题注意事项：注意事项：1.本试卷共本试卷共 4 页，全卷满分页，全卷满分 150 分，答题时间分，答题时间 120 分钟分钟2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答

2、案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21,2,230AmBx xx，若ABB，则实数m的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.32.设复数z满足i 14iz，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知双曲线22

3、:10yC xmm的一条渐近线方程为2yx，则C的焦点坐标为（）A.3,0 B.0,3 C.1,0 D.0,14.已知甲种杂交水稲近五年的产量数据为9.8,10.0,10.0,10.0,10.2，乙种杂交水稻的产量数据为9.6,9.7,10.0,10.2,10.5，则下列说法错误的是（）A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差5.若函数312,1,log,1aaxa xyx x在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.10,3 B.10,5 C.1 1,5 3 D.1,156.已知

4、3coscos32，则sin 26（）A.12 B.12 C.34 D.347.已知,a b为正实数，则“1ab”是“11aabb”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数 sin2cos2f xxx，则下列说法中不正确的是（）A.f x的最小正周期为B.f x的最大值为2C.f x在区间,4 4上单调递增D.88fxfx 9.已知函数 f x是定义域为R的偶函数，且1f x为奇函数，若 033ff，则（）A.11f xf x B.20253fC.函数 f x的周期为 2 D.20243f10.在正方体1111ABCDABC D中，,E F

5、 G分别为1,BC CD DD的中点，若4AB，则平面EFG截正方体所得截面的面积为（）A.6 2 B.6 3 C.12 2 D.12 311.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为 2 的正方形，且,ADEBCF均为正三角形，EF,4CD EF，则该木楔子的外接球的体积为（）A.16 B.32 C.323 D.64312.已知12F F为椭圆

6、2222:1(0)xyCabab的左右焦点，点P在C上且位于第一象限，圆1O与线段1FP的延长线线段2PF以及x轴均相切，12PFF的内切圆的圆心为2O.若圆1O与圆2O外切，且圆1O与圆2O的面积之比为 9，则椭圆C的离心率为（）A.12 B.35 C.22 D.32二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.有 5 名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这 4 个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有_种.14.已知点O为ABC外接圆的圆心，且0OAOBCO ，则cos,AC BC

7、_.15.已知ABC的内角,A B C所对的边分别是,a b c，点D是AB的中点.若22 cosabcB，且31,2ACCD，则AB _.16.若函数 2lnxf xaxx有两个极值点，则实数a的取值范围为_.三三解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.（本小题满分 12 分）已知数列 na满足：1*12444,nn

8、naaannN.（1）求数列 na的通项公式；（2）若12231111113mma aa aa a，求正整数m的最大值.18.（本小题满分 12 分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得 10 分，负者得-5 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6，各项目的比赛结果相互独立.甲乙获得冠军的概率分别记为12,p p.（1）判断甲乙获得冠军的实力是否有明显差别（若22121220.15pppp，则认为甲乙获得冠军的实力有明显差别，否则

9、认为没有明显差别）；（2）用X表示教师甲的总得分，求X的分布列和数学期望.19.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD 平面ABCD，点E是PA的中点，F是线段PB上（包括端点）的动点，2PDAD.（1）求证：PC平面EBD；（2）若直线EF与平面PBC的夹角为60，求PFBF的值.20.（本小题满分 12 分）过抛物线2:2(0)C ypx p焦点F的直线l交C于,M N两点，若直线l垂直于x轴，则OMN的面积为 2，其中O为原点.（1）求抛物线C的方程；（2）抛物线C的准线上是否存在点P，使得当PMPN时，OMN的面积为2 2.若存在，求出点P的坐标；若不存在，

10、请说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数 ln13exf xaxxx.（1）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（2）若函数 f x存在零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.考生从考生从 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为5cos4,5sin3xy（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设,M N是曲线C

11、上的两点，且OMON，求OMN面积的最大值.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 122f xxx.（1）求不等式 9f x 的解集；（2）记函数 f x的最小值为M，若正数,a b c满足1235Mabc，证明：3223abc.铜川市铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试年高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准数学（理科）试题参考答案及评分标准一一选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1

12、.A 【解析】依题意13Bxx，由ABB，可得mB，当0m 时，符合题意，应选A项；当1m 或 2 时，不符合集合中元素的互异性，从而排除B,C项；当3m 时，mB，从而排除D项.2.D 【解析】复数4i1 i4i22i,i 11 i1 iz 复数z在复平面内对应的点位于第四象限.故选D 项.3.A 【解析】易知0m，令220yxm，解得ymx ，故2m，即2m ，从而123c，从而C的焦点坐标为3,0.故选 A 项.4.D 【解析】10.2-9.8=0.4，10.5-9.6=0.90.4，故 A 正确；19.8 10.0 10.0 10.0 10.210.05x 甲，1(9.69.7 10.

13、0 10.2 10.5)10.05xx乙甲，故 B 正确；甲种的样本中位数为 10.0，乙种的样本中位数为 10.0，故 C 正确.222(9.8 10)(10.2 10)5s甲，22222(9.6 10)(9.7 10)(10.2 10)(10.5 10)5s乙，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故 D 错误.5.C 【解析】函数312,1,log,1aaxa xyx x在R上单调递减，310,01,312log 1,aaaaa 解得1153a.故选 C 项.6.A 【解析】313coscossincossin32262，21sin 2sin 2cos 21 2sin662662 .故选

14、 A.7.C 【解析】若1ab，根据糖水不等式可得11aabb，充分性得证；若11aabb，则ababab，即ab，故1ab，必要性得证.8.C 【解析】依题意 2sin 24f xx，则函数 f x的最大值为2，最小值正周期为，从而可排除A,B选项.,1,24848ff ，即48ff，故 f x在区间,4 4上不可能单调递增，应选 C 项.2sin 22sin 22cos28842fxxxx 为偶函数，从而88fxfx，从而可排除 D 选项.9.D 【解析】1f x为奇函数，11fxf x ，又 f x为偶函数，11,11fxf xf xf x ，故 A 项错误.即 2,42,f xf xf

15、 xf xf x 函数 f x的周期为 4，即 C 项错误.由11fxf x ，令0 x，得 10,3110,20251 506 410fffffff，即 B 项错误.又 033,03,20240506 403ffffff，故选 D 项.10.D 【解析】如图，过点G作EF的平行线交1BB于点J，过点J作FG的平行线交11AB于点I，过点I作EF的平行线交11AD于点H，易知点,J I H都在截面EFG内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为2 2的正六边形，所求面积162 22 2sin6012 32S.故选 D.11.C 【解析】如图，分别过点,A B作EF的垂线，垂足分别为,G H

16、，连接,DG CH，则4212EG，故2222213AGAEEG.取AD的中点O，连接GO，又,AGGDGOAD，则2222ADGOAG.由对称性易知，过正方形ABCD的中心1O且垂直于平面ABCD的直线必过线段EF的中点2O，且所求外接球的球心O在这条直线上，如图.设球O的半径为R，则22211ROOAO，且22222ROOEO，从而22122OOOO，即12122OOOOOOOO，当点O在线段12OO内（包括端点）时，有122OOOOGO，可得122OOOO，从而12OO，即球心O在线段EF的中点，其半径2R.当点O在线段12OO外时，2212222,22OOOOOO，解得20OO（舍）.

17、故所求外接球的体积343233RV.故选C项.12.A 【解析】由已知及平面几何知识可得圆心12O O在12PFF的角平分线上.如图，设圆12O O与x轴的切点分别为,A B，由平面几何知识可得，直线2PF为两圆的公切线，公切点D也在12PFF的角平分线上，则1122PFFFc，由椭圆的定义知122PFPFa，则222PFac，222221,2F DPFacF AF BF Dac，11222F AFFF Acacac，112223FBFFF Bcacca.又圆1O与圆2O的面积之比为9,圆1O与圆2O的半径之比为 3，2O B12111,FBO BO AF AO A，即313caac，故椭圆C

18、的离心率12e.二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.240 【解析】先从 5 名学生中选 2 人组成一组，有25C10种方法，然后将 4 组学生分配到 4 个景点，有4424A 种方法，由分步计数原理知共有10 24240种不同的游玩方式.14.12 【解析】由0OAOBCO ，得OAOBOC ，由O为ABC外接圆的圆心，得OAOBOC ，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且60CAO，故120ACB.故1cos,2AC BC .15.7 【解析】22 cos,2sinsin2sin cosabcBABCB

19、，又sinsinsin coscos sinABCBCBC，12sin cossin0,cos2BCBC.CD为ABC的一条中线，12CDCACB ，222124CDCACBCA CB ，即231112 1442aa ，解得2a，或1a （舍）.由余弦定理得222212cos212 1 272ABcababC .16.410,6e【解析】21 ln2xfxaxx，令 0fx，得3ln12xax.令 3ln12xg xx，则 443ln2xgxx.令00gx，则03ln4x，即04ln3x，即340ex.当00 xx时，0,gxg x单调递增；当0 xx时，0,gxg x单调递减.0max034

20、4041ln113()22e6exg xg xx，又当0 x时，g x；当x 时，0g x，当4106ea时，方程3ln12xax有两个正根，从而函数 f x有两个极值点.三三解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.解：（1）当1n 时，1144a，当2n时，112444nnnaaan，21121441 4nnnaa

21、an，两式相减，得111441 4431nnnnnannn，31nan，显然14a 也符合上式，数列 na的通项公式为31nan.（2）由（1）知11111131 343 3134mma ammmm，122311111 1111113 477103134mma aa aa amm1 1113 43413m，解得16m.正整数m的最大值为 15.18.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,A B C，则教师甲获得冠军的概率1pP ABCP ABCP ABCP ABC0.4 0.6 0.60.6 0.6 0.60.4 0.4 0.60.4 0.6 0.40.552，则教师乙获得冠军的

22、概率2110.448pp，22121220.104,0.10.3765pppp，22121220.15pppp，甲乙获得冠军的实力没有明显差别.（2）易知X的所有取值为15,0,15,30，150.6 0.4 0.40.096P X，00.6 0.4 0.60.6 0.6 0.40.4 0.4 0.40.352P X，150.4 0.6 0.40.4 0.4 0.60.6 0.6 0.60.408P X，300.4 0.6 0.60.144P X，则X的分布列为：X-1501530P0.0960.3520.4080.14415 0.0960 0.352 15 0.40830 0.1449E X

23、 .19.解：（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接EO，四边形ABCD是正方形，O为AC的中点，E是PA的中点，EOPC，EO 平面,EBD PC 平面,EBDPC平面EBD.（2）易知,DA DC DP两两垂直，以D为原点，,DA DC DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1BCPE.2,0,0,2,2,2,1,0,1CBPBPE ，设PFPB ，则01.2,2,21,0,121,2,12EFPFPE .设平面PBC的法向量为,nx y z，则0,0,n CBn PB 即20,2220,xxyz令1y，则0,1,1n.2222

24、11cos,|2(21)(2)(1 2)2 641n EFn EFnEF 又直线EF与平面PBC的夹角为60，21322 641，解得13.12PFBF.20.解：（1）根据抛物线概念易知,02pF，直线l垂直于x轴，不妨设00,22ppMyNy，代入22(0)ypx p，可得0yp，2MNp.11|22222OMNpSOFMNp，解得2p.抛物线C的方程为24yx.（2）由（1）易知抛物线C的准线方程为1,1,0 xF，设点11221,PmM x yN xy，当直线l的斜率等于 0 时，不符合题意；故可设直线l的方程为：1xty，联立24,1,yxxty消去x得2440yty，216160t

25、，得tR，由韦达定理得12124,4yyt y y，1122,1,1,0PMPNPM PNxymxym ，121211xxymym2121212121x xxxy ym yym 21222212121211164y yyyy ym yym 2212212121212121164y yyyy yy ym yym 2211(4)81 444tmtm 22244(2)0tmtmtm，2tm.222222121212114116164 1MNtyytyyy yttt，原点O到直线l的距离211dt，221114 12 2221OMNSd MNtt，解得1t .2m.存在点1,2P ，符合题目要求.21

26、.解：（1）当1a 时，ln13exf xxxx，2ln1xfxx.312,11eff，所求切线方程为 11yfx，即31eyx.（2）函数 f x存在零点，等价于方程ln130exaxxx有正根，即23ln1exxax 有解，令 23ln1exxg xx，则 332ln1exxgxx.令 32ln1eh xxx，则 32eh xx，令 320eh xx，得02e3x，当2e03x时，0,h xh x单调递减；当2e3x 时，0,h xh x单调递增；2e2e1 2ln33h xh，当0 x时，h x；当x 时，h x，又 2e2e31 2ln0,11033ehh ，存在1021xxx，使得

27、120h xh x.1132ln10exx，即1113ln1lnexxx ，当10 xx时，0,gxg x单调递增；当12xxx时，0,gxg x单调递减；当2xx时，0,gxg x单调递增.又111122113ln1lne0 xxxg xxx，当0 x时，g x；当x 时，0g x，0a，即0a.实数a的取值范围为0,.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.考生从考生从 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（1）曲线C的参数方程为5cos4,5sin3xy（为参数），消去参数可得22(4)(3)25xy

28、，即22860 xyxy，又由222cos,sin,xyxy可得28 cos6 sin0，曲线C的极坐标方程为8cos6sin.（2）由（1）易知曲线C的标准方程为22(4)(3)25xy，曲线C是以4,3C为圆心，半径为 5 的圆，且过原点O，又,OMONMN过圆心，且OMN为直角三角形.222100OMONMN.22112524OMNSOMONOMON，当5 2OMON时，等号成立.OMN面积的最大值为 25.23.解：（1）33,2,1225,21,33,1,xxf xxxxxxx 不等式 9f x 等价于2,33 9,xx或21,5 9,xx 或1,33 9,xx解得42x 或21x 或12x.不等式 9f x 的解集为4,2.（2）由（1）易知min()3f xM，即1238abc，方法一：1 12332328abcabcabc1262963438bcacabaabbcc126926108bacacbabacbc12692610222238bacacbabacbc当且仅当33334abc时，等号成立.方法二：21231233232168 3abcabcabcabc，即3223abc，当且仅当33334abc时，等号成立.