押题预测卷03（2024年新高考九省联考题型）含答案.pdf

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1、决胜2024年高考数学押题预测卷03数数 学学（新（新高考高考九省九省联联考考题题型型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共8 8小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共4040分在每小题给出的四个选项中，只

2、有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的1已知向量(2 2)a=,r，(1)bx=,r，若/abrr，则|b=r（）A.1B.2C.3D.22已知集合 1,0,2A=-，21Bx x=，则下列结论正确的是（）A.AB=B.ABC.ABB=D.1,0AB=-3已知5ln2a=，0.3log 1.5b=，0.525c-=，则（）A.bcaB.bacC.cabD.cba4已知样本数据12,nx xxL的平均数为x，则数据12,nx xx xL（）A.与原数据的极差不同B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同5在梯形ABCD中，/AD,2

3、222BCABCBCADAB=，以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A.23B.43C.53D.26甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以1A，2A分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.1A，2A互斥B.157P B A=C.217P A B=D.1321P B=7已知函数 f x的定义域为R，exyf x=+是偶函数，3exyf x=-是奇函数，则 f x的最小值为（）A.eB.2 2C.2 3D.2e8双曲线C

4、：22221(0,0)xyabab-=的左、右焦点分别是1F，2F，离心率为62，点11(,)P x y是C的右支上异于顶点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是M，|2MO=，若C上一点T满足125FT F T=uuur uuur，则T到C的两条渐近线距离之和为（）A.2 2B.2 3C.2 5D.2 6二、选择题：本题共二、选择题：本题共3 3小题，每小题小题，每小题6 6分，共分，共1818分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部全部选对的得选对的得6 6分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得0

5、0分分.9已知复数12,z z是关于x的方程210(22,)xbxbbR+=-的图象与直线32y=相邻的三个交点，且,0312BCABf-=-=，则（）A.4=B.9182f=C.函数 f x在,3 2上单调递增D.若将函数 f x的图象沿x轴平移q个单位，得到一个偶函数的图像，则q的最小值为2411如图，正方体1111ABCDABC D-的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面11BCC B内（含边界）一点，则（）A.若1D P 平面11AC D，则点P与点B重合B.以D为球心，2 63为半径的球面与截面1ACD的交线的长度为33C.若P为棱BC中点，则平面1D EP截正方体所得截面的面积为

6、7 176D.若P到直线11AB的距离与到平面11CDDC的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧三、填空题：本题共三、填空题：本题共3 3小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共1515分分.1292xx-的展开式中的常数项为_（用数字作答）13.在ABCV中，3tantan3BC=，1b=，则tan BC+=_；=a_14.已知点A为抛物线22yx=上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形ADFE为菱形，若点P、Q分别在边DA、EA上，DPDAl=uuu ruuu r，EQEAm=uuu ruuu r，若

7、52,2lm+=则FP FQuuu r uuu r的 最 小 值 为 _，1R4tFAFEtFAFE t-+-uuu ruuu ruuu ruuu r的最小值为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共5 5小题，共小题，共7777分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设13()ln122f xaxxx=+-+，曲线()yf x=在点(1,(1)f处取得极值.(1)求a；(2)求函数()f x的单调区间和极值.16如图，四棱锥VABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD=o，平面VBD 底面ABCD.（1）求证：ACVD；（2）若2VB

8、=，且四棱锥VABCD-的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值.17现有标号依次为1，2，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，依次进行到从n1-号盒子里取出2个球放入n号盒子为止（1）当2n=时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当3n=时，求3号盒子里的红球的个数x的分布列；（3）记n号盒子中红球的个数为nX，求nX的期望nE X18已知P为曲线22:1(1)4xyCnn+=上任意一点，直线,PM PN与圆221xy+=相切，且分别与C交于,M N两点，O

9、为坐标原点.（1）若OP OMuuu r uuuu r为定值，求n的值，并说明理由；（2）若43n=，求PMNV面积的取值范围.19在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度考察如图所示的光滑曲线C：yf x=上的曲线段AB，其弧长为sD，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线Al也随着转动到B点的切线Bl，记这两条切线之间的夹角为qD（它等于Bl的倾斜角与Al的倾斜角之差）显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义KsqD=D为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即sD越小，K就越能精确刻画曲线C

10、在点A处的弯曲程度，因此定义3022lim1syKsyD D=D+q（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率（其中y，y分别表示 yf x=在点A处的一阶、二阶导数）（1）求单位圆上圆心角为60的圆弧的平均曲率；（2）求椭圆2214xy+=在13,2处的曲率；（3）定义 32 21yyy=+j为曲线 yf x=的“柯西曲率”已知在曲线 ln2f xxxx=-上存在两点11,P xf x和22,Q xf x，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求3312xx+的取值范围决胜2024年高考数学押题预测卷03数数 学学（新（新高考高考九省九省联联考考题题型型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事

11、项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共8 8小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共4040分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的1已知向量(2 2)a=,r，(1)bx=,r，若/abrr，则

12、|b=r（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】向量(2 2)a=,r，(1)bx=,r，/,22,1abxx=rrQ，22|112b=+=r.故选：B.2已知集合 1,0,2A=-，21Bx x=，则下列结论正确的是（）A.AB=B.ABC.ABB=D.1,0AB=-【答案】D【解析】由题意可知：2111Bx xxx=-，所以,A B之间没有包含关系，且 1,0AB=-，故ABC错误，D正确；故选：D.3已知5ln2a=，0.3log 1.5b=，0.525c-=，则（）A.bcaB.bacC.cabD.cba【答案】C【解析】0.30.3log1.5log10b=，50ln1lnln

13、e12a=，所以cab.故选：C4已知样本数据12,nx xxL的平均数为x，则数据12,nx xx xL（）A.与原数据的极差不同B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同【答案】D【解析】由样本数据12,nx xxL的平均数为x，可得121nxxxxn=+L，其方差为2222121nsxxxxxxn=-+-+-L，对于数据12,nx xx xL，其平均数1211nxxxxxxn+=+=+L，其方差122222221111nxxxxxnssnxxnx=-+-+-L；即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两

14、组数据的极差相同，即A错误；对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.故选：D5在梯形ABCD中，/AD,2222BCABCBCADAB=，以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A.23B.43C.53D.2【答案】B【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：其中圆柱与圆锥的底面半径都等于1AB=，圆柱的高等于1AD=，圆锥的高等于1BCAD-=，底面圆的面积为2 1=，圆锥的体积为1 133 =，圆柱的体积为 1=，所以所得几何体的体积为433+=故选：B.6甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球

15、.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以1A，2A分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.1A，2A互斥B.157P B A=C.217P A B=D.1321P B=【答案】C【解析】因为每次只取一球，故1A，2A是互斥的事件，故A正确；由题意得113P A=，223P A=，157P B A=，247P B A=，12152413373721P BP ABP A B=+=+=，故B，D均正确；因为22483721P A B=，故C错误.故选：C.7已知函数 f x的定义域为R，exyf x=+是偶函数，3exyf x

16、=-是奇函数，则 f x的最小值为（）A.eB.2 2C.2 3D.2e【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 f x的解析式，再利用基本不等式可求得 f x的最小值.【详解】因为函数 exyf x=+为偶函数，则 eexxfxf x-+=+，即 eexxf xfx-=-，又因为函数 3exyf x=-为奇函数，则 3e3exxfxf x-=-+，即 3e3exxf xfx-+-=+，联立可得 e2exxf x-=+，由基本不等式可得 e2e2 e2e2 2xxxxf x-=+=，当且仅当e2exx-=时，即当1ln22x=时，等号成立，故函数 f x的最小值为2 2.8双曲

17、线C：22221(0,0)xyabab-=的左、右焦点分别是1F，2F，离心率为62，点11(,)P x y是C的右支上异于顶点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是M，|2MO=，若C上一点T满足125FT F T=uuur uuur，则T到C的两条渐近线距离之和为（）A.2 2B.2 3C.2 5D.2 6【答案】A【解析】设半焦距为c，延长2F M交1PF于点N，由于PM是12FPF的平分线，2F MPM，所以2NPFV是等腰三角形，所以2|PNPF=，且M是2NF的中点根据双曲线的定义可知12|2PFPFa-=，即1|2NFa=，由于O是12FF的中点，所以MO是12NFFV

18、的中位线，所以11|22MONFa=，又双曲线的离心率为62，所以3c=，1b=，所以双曲线C的方程为221.2xy-=所以1(3,0)F-，2(3,0)F，双曲线C的渐近线方程为20 xy=，设(,)T u v，T到两渐近线的距离之和为S，则|2|2|33uvuvS+-=+，由22212(3)(3)35FT F Tuuvuv=-+=+-=uuur uuur，得228uv+=，又T在C：2212xy-=上，则2212uv-=，即2222uv-=，解得26u=，22v=，所以|2|uv，故2|2 23uS=，即距离之和为2 2.故选:A二、选择题：本题共二、选择题：本题共3 3小题，每小题小题，

19、每小题6 6分，共分，共1818分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部全部选对的得选对的得6 6分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得0 0分分.9已知复数12,z z是关于x的方程210(22,)xbxbbR+=-的两根，则（）A.12zz=B.12zRzC.121zz=D.若1b=，则33121zz=【答案】ACD【解析】解：240bD=-的图象与直线32y=相邻的三个交点，且,0312BCABf-=-=，则（）A.4=B.9182f=C.函数 f x在,3 2上单调递增D.若将函数 f x的图象沿x轴平移

20、q个单位，得到一个偶函数的图像，则q的最小值为24【答案】AD【解析】令 3sin2f xxwj=+=得，2 3xkwj+=+或22 3xkwj+=+，Zk，由图可知：2 3Axkwj+=+，2+23Cxkwj+=+，22 3Bxkwj+=+，所以123CBBCxxw=-=-+，1 3BAABxxw=-=，所以12233BCABw=-=-+，所以4=，故A选项正确，所以 sin 4f xxj=+，由012f-=得sin03j-+=，所以2 3kj-+=+，Zk，所以42 3k=+j，Zk，所以 44sin 42 sin 4sin 4333f xxkxx=+=+=-+，991sin8232f=-

21、+=-，故B错误.当,3 2x时，54,2333x+，因为sinyt=-在5,233t+为减函数，故 f x在,3 2上单调递减，故C错误；将函数 f x的图象沿x轴平移q个单位得 sin 443g xxq=-+，（0q时向左平移），g x为偶函数得432kq+=+，Zk，所以244kq=+，Zk，则q的最小值为24，故D正确.故选：AD.11如图，正方体1111ABCDABC D-的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面11BCC B内（含边界）一点，则（）A.若1D P 平面11AC D，则点P与点B重合B.以D为球心，2 63为半径的球面与截面1ACD的交线的长度为33C.若P为棱BC中

22、点，则平面1D EP截正方体所得截面的面积为7 176D.若P到直线11AB的距离与到平面11CDDC的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧【答案】ABC【解析】正方体1111ABCDABC D-中，BC平面11DCC D，1DC 平面11DCC D，BC1DC，正方形11DCC D中，11DCDC，1,DC BC 平面1BCD，1DCBCC=，则1DC 平面1BCD，1D B 平面1BCD，1DC 1D B，同理，1DA 1D B，11,DA DC 平面11AC D，11DADCD=，1D B 平面11AC D，若点P不与B重合，因为1D P 平面11AC D，则11/D P D B，与111D

23、 PD BD=I矛盾，故当1D P 平面11AC D时，点P与B重合，故A正确；1DADCDD=，11ACADCD=，三棱锥1DACD-为正三棱锥，故顶点D在底面1ACD的射影为1ACD的中心H，连接DH，由11D ACDDACDVV-=，得111132222 22 232322DH =，所以23DH=，因为球的半径为2 63，所以截面圆的半径222 622333r=-=，所以球面与截面1ACD的交线是以H为圆心，23为半径的圆在1ACD内部部分，如图所示，1362 2323HN=，所以222 36233MF=-2 63=.222HFHMMF+=，所以2MHF=，同理，其余两弦所对圆心角也等于

24、2，所以球面与截面1ACD的交线的长度为223232333-=，故B正确；对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接1D M、1DG，分别交侧棱1CC于点N，交侧棱1A A于点H，连接EH和NP，如图所示：则截面为五边形1D HEPN，1GAAEEBBPPCCM=，2GEEPPM=，3 2GM=2211113DGD MD DDM=+=，23HA=，133GH=，1cosDGM=113226GMDG=，故117sin26DGM=，所以11173 17133 22226D GMS=，122GEHS=V1317173626=，所以五边形1D HEPN的面积13 17177 172

25、2266D GMGEHSSS=-=-=，故C正确；因为11AB 平面11BCC B，1PB 平面11BCC B，所以111PBAB，点P到直线11AB的距离即点P到点1B的距离，因为平面11BCC B 平面11CDDC，故点P到平面11CDDC的距离为点P到1CC的距离，由题意知点P到点1B的距离等于点P到1CC的距离，故点P的轨迹是以1B为焦点，以1CC为准线的抛物线在侧面11BCC B内的部分，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共三、填空题：本题共3 3小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共1515分分.1292xx-的展开式中的常数项为_（用数字作答）【答案】672-【解析】9

26、2xx-的展开式的通项公式为9 3921992()(2)rrrrrrrTCxCxx-+=-=-，令9302r-=，得3r=，故常数项为339(2)672C-=-故答案为：672-.13.在ABCV中，3tantan3BC=，1b=，则tan BC+=_；=a_【答案】.3 .3【解析】由3tantan3BC=，0,2BC=，可得6BC=；所以可得3BC+=，所以23A=，即tan3BC+=；易知1sin2B=，3sin2A=，由正弦定理可得sin3sinAabB=；故答案为：3，314.已知点A为抛物线22yx=上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF的中垂线交准线l于

27、点D，交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形ADFE为菱形，若点P、Q分别在边DA、EA上，DPDAl=uuu ruuu r，EQEAm=uuu ruuu r，若52,2lm+=则FP FQuuu r uuu r的 最 小 值 为 _，1R4tFAFEtFAFE t-+-uuu ruuu ruuu ruuu r的最小值为_【答案】.3 .212【解析】对于第一个空：因为四边形ADFE为菱形，所以ADDF=,/ADEF,又由抛物线的定义知，ADAF=，所以60,60AFDAFx=oo,1,02F,所以AF的方程为132yx=-，由21322yxyx=-=联立得，2122030 xx-+=，得

28、1231,26xx=，由分析知，3,32A，所以1,32D-,5,02E,1,02F,2,0DA=uuu r,1,3DF=-uuur,2,0FE=uuu r,1,3EA=-uuu r,21,3FPDPDFDADFll=-=-=-uuu ruuu ruuuruuu ruuur,2,3FQFEEQFEEAmmm=+=+=-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，又52,2lm+=520,22lm=-，01m所以1,12m,2512123123322FP FQlmmmmmmm=-+=-+=-+uuu r uuu r，1,12m,当12m=时，FP FQuuu r uuu r取最小值3.对

29、于第二个空：1,3,2,0FAFE=uuu ruuu r,11,3,2,342tFAFEtttFAFEtt-=-=-uuu ruuu ruuu ruuu r,22221132342tFAFEtFAFEtttt-+-=-+-+uuu ruuu ruuu ruuu r表示的是点,3P tt到点1,02F和2,0N的距离之和，,3P tt在直线3yx=上，设2,0N关于直线3yx=对称的点00,Nxy,由00003233222yxxy=-+=得0013xy=-=，所以1,3N-，212PFPNPFPNFN+=+=，当且仅当,N F P三点共线时，等号成立.故14tFAFEtFAFE-+-uuu ru

30、uu ruuu ruuu r的最小值为212.故答案为：3，212.四、解答题：本题共四、解答题：本题共5 5小题，共小题，共7777分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设13()ln122f xaxxx=+-+，曲线()yf x=在点(1,(1)f处取得极值.(1)求a；(2)求函数()f x的单调区间和极值.【答案】（1）2 （2）单调递减区间1(0,)3和(1,)+,单调递增区间1(,1)3,极大值为(1)0f=，极小值为1()22ln3.3f=-【解析】13(1)()ln122f xaxxx=+-+Q，则213()22afxxx=-，

31、又(1)0f=Q，故可得20a-=，解得2a=；(2)由(1)可知，13()2ln122f xxxx=+-+，2(31)(1)()2xxfxx-=-，令()0fx=，解得113x=，21x=，又Q函数定义域为(0,)+，故可得()f x在区间1(0,)3和(1,)+单调递减，在区间1(,1)3单调递增.故()f x的极大值为(1)0f=，()f x的极小值为1()22ln3.3f=-16如图，四棱锥VABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD=o，平面VBD 底面ABCD.（1）求证：ACVD；（2）若2VB=，且四棱锥VABCD-的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值.

32、【答案】（1）证明见解析 （2）105【解析】（1）平面VBD 底面ABCD，平面VBDI底面ABCDBD=，底面ABCD是边长为2的菱形，ACBD，AC底面ABCD，则有AC 平面VBD，又VD 平面VBD，所以ACVD.（2）底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD=o，BADV为等边三角形，2BD=，12 2 sin6032ABDS=o，平面VBD 底面ABCD，平面VBDI底面ABCDBD=，过V点作BD的垂线，垂足为O，则VO 底面ABCD，四棱锥VABCD-的体积为2，则11223233ABDSVOVO=V，解得3VO=，则22431BOVBVO=-=-=，所以O为BD中点，即O为

33、AC和BD交点，224 13AOOCABBO=-=-=，以O为原点，,OA OB OV所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0O，3,0,0A，0,1,0B，3,0,0C-，0,0,3V，3,1,0AB=-uuu r，0,1,3VB=-uur，3,0,3VC=-uuu r，设平面VAB一个法向量,nx y z=r，则有3030AB nxyVB nyz=-+=-=uuu rruurr，令1x=，则3y=，1z=，即1,3,1n=r，的3310cos,565VC nVC nVC n-=-uuu rruuu rruuu rr，所以直线VC与平面VAB所成角的正弦值为1

34、05.17现有标号依次为1，2，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，依次进行到从n1-号盒子里取出2个球放入n号盒子为止（1）当2n=时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当3n=时，求3号盒子里的红球的个数x的分布列；（3）记n号盒子中红球的个数为nX，求nX的期望nE X【答案】（1）23 （2）分布列见解析 （3）2nE X=【解析】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为112224C C2C3P=；（2）由题可知x可取1,2,3，2211232222222

35、24444CCC CC71CCCC36Px=+=，221123222222224444CCC CC73CCCC36Px=+=11211318PPPxxx=-=-=，所以3号盒子里的红球的个数的分布列为x123P7361118736（3）记1na-为第2n n 号盒子有三个红球和一个白球的概率，则116a=，1nb-为第2n n 号盒子有两个红球和两个白球的概率，则12211318，=bb，则第2n n 号盒子有一个红球和三个白球的概率为111nnab-，且1222221113322nnnnnbbaabn-=+-，化解得121162nnbb-=+，得12131331565515nnbbb-=-=

36、，而21313565bb-=-，则数列35nb-为等比数列,首项为131515-=b，公比为16，所以1311515 6nnb-=+，又由1221162nnnaba-=+求得：11 155 6nna=-因此1111111231322nnnnnnnE Xababab-=+-=-=18已知P为曲线22:1(1)4xyCnn+=上任意一点，直线,PM PN与圆221xy+=相切，且分别与C交于,M N两点，O为坐标原点.（1）若OP OMuuu r uuuu r为定值，求n的值，并说明理由；（2）若43n=，求PMNV面积的取值范围.【答案】（1）4n=或43n=;（2）4 32,3【解析】（1）由

37、题意设1122,P x yM xy，当直线PM的斜率不为0时，直线PM：xmyt=+，因为直线与圆相切，所以211tdm=+，即221mt+=，联立2214xmytxyn=+=，可得：2224240m nymntyntn+-=，所以22221212222424440,44mntntnmntm nntnyyyym nm n-D=-+-+=+2222121212122444tm nx xmytmytm y ymt yytm n-=+=+=+，所以22121224444m nn tnx xy yOPMm nO-+-=+=+uuu r uuuu r，因为221mt+=，所以21212243434n m

38、nx xy ynm-+-+=+，要使OP OMuuu r uuuu r为定值，则43434nnn-=，所以4n=或43n=，当直线PM的斜率为0时，因为直线与圆相切，所以1dt=，即1y=，不妨取1y=，联立22114yxyn=+=，可得2440 xn+-=,所以1244x xn=-所以121243x xy yn+=-+，也符合上式.（2）当43n=时，由（1）可知0OP OM=uuu r uuuu r，OPOM，同理OPON,即,M O N三点共线，所以2PMNPMOSSPMrPM=VV，当直线PM的斜率不为0时，由（1）可知：212122224,34mttyyyymm-+=+所以22222

39、121222 43121413PMNmtSPMmyyy ymm-+=+-=+V，因为221mt+=，所以2222222323629133PMNmmmSmmm+-+=+=+V，令233mk+=，所以22226241212421PMNkkkkSkkkk-+-=-+V，所以当3k=时，PMNS有最小值为2；当6k=时，PMNS有最小值为4 33；当直线PM的斜率为0时，由（1）可知：42 42PMNSPMn=-=V.综上:PMNV面积的取值范围4 32,3.19在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度考察如图所示的光滑曲线C：yf x=上的曲线段AB，其弧长为sD，当动点从

40、A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线Al也随着转动到B点的切线Bl，记这两条切线之间的夹角为qD（它等于Bl的倾斜角与Al的倾斜角之差）显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义KsqD=D为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即sD越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义3022lim1syKsyD D=D+q（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率（其中y，y分别表示 yf x=在点A处的一阶、二阶导数）（1）求单位圆上圆心角为60的圆弧的平均曲率；（2）求椭圆2214xy+=在13,2处的曲率；（3）定义 32

41、 21yyy=+j为曲线 yf x=的“柯西曲率”已知在曲线 ln2f xxxx=-上存在两点11,P xf x和22,Q xf x，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求3312xx+的取值范围【答案】（1）1 （2）16 749 （3）2,1e【解析】（1）313KsD=Dq（2）214xy=-，122144xxy-=-，132222211144164xxxy-=-，故332xy=-，32xy=-，故32216 749314K=+（3）ln1fxx=-，1fxx=，故 3332 22 22 21ln3 3lnyyyxxss=+j，其中3sx=，令311tx=，322tx=，则1122lnlntt

42、tt=，则1lnln1tttt=-，其中211ttt=（不妨21tt）令 lnp xxx=，1 lnxxpxp=+在10,e递减，在1,e+递增，故21110ett；令 12lnlnln11tth ttttt=+=+-，2211ln11th tttt-=-+-，令21()ln1tm ttt-=-+(1)t，则21()(1)tm tt t-=+，当1t 时，()0m t恒成立，故()m t在(1,)+上单调递增，可得()(1)0m tm=，即21ln01ttt-+，故有 2211ln011th tttt-=-+-，则 h t在1,+递增，又 1limln21th t=-，lim0th t+=，故12lnln21,0tt+-，故3312122,1exxtt+=+