押题预测卷05（2024年新高考九省联考题型）含答案.pdf

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1、决胜2024年高考数学押题预测卷05数数 学学（新高考九省联考题型）（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的

2、四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的1某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（）A.290B.295C.300D.3302已知复数z满足1i1zz-=+，则z=（）A.iB.14C.12D.13 若20201918219200121920(2)abx ax a bx a bx abx b-=+L，则19x=（）A.20-B.1920 2-C.192-D.1920 24已知1,1a=r，,1bm=-r，m为实数，若aab-rrr，则

3、向量ar在br上的投影向量为（）A.1 3,5 5B.1 3,5 5-C.3 1,5 5D.31,55-5已知圆22:4O xy+=，弦AB过定点1,1P，则弦长AB不可能的取值是（）A.2 2B.2 3C.4D.2 56若242xy-=，x，Ry，则xy-的最小值为（）A.12B.32C.54D.47在ABCV中，角,A B C所对的边分别为,a b c，2 sinsin3 sinaAbBcC-=，若S表示ABCV的面积，则2Sb的最大值为（）A.74B.106C.2 33D.528已知22()32ln,1,1,(),1,2,3,4f xaaxx ag xbxx b=+-=-，使()()f

4、xg x恒成立的有序数对(,)a b有（）A.2个B.4个C.6个D.8个二、选择题：本题共二、选择题：本题共3 3小题，每小题小题，每小题6 6分，共分，共1818分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得6 6分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得0 0分分.9若11zz-=+，则（）A.RzB.11zz-=+C.0zz+=D.2z zz=10如图，在正四棱台1111ABCDABC D-中，111224,ABABAAP=为棱1CC上一点，则（）A.不存在点P，使得直线BPP平面11AB DB

5、.当点P与1C重合时，直线1CC 平面BPDC.当P为1CC中点时，直线BP与AD所成角的余弦值为7 1326D.当P为1CC中点时，三棱锥111AAB D-与三棱锥PBCD-的体积之比为1:211已知函数 ,f xg x的定义域均为R，112fxgx-+=，22g xfx-=，42gxfx-=，且当0,1x时 21f xx=+，则（）A.20242g=B.20241()0ig i=C.函数 f x关于直线3x=对称D.方程2024fxx+=有且只在3个实根三、填空题：本题共三、填空题：本题共3 3小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共1515分分.12甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参

6、加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选安全防范服务”，则P A B=_.13.已知0,4xp，3 5sincos5xx+=，则3 tan4xp-=_.14.抛物线22(0)xpy p=与椭圆221(0)4xymm+=有相同的焦点，12,F F分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是12PFF的内心，PI交y轴于M，且2PIIM=uuruuu r，点*,nnxynN是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为1,0nx+，若28x=，则

7、2024x=_四、解答题：本题共四、解答题：本题共5 5小题，共小题，共7777分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15如图，在直四棱柱1111ABCDABC D-中，BCCD，ABDCP，12244DCBCCCAB=（1）证明：111ACB D；（2）求二面角11DBCD-平面角的余弦值16某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮 3 次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每

8、人每次投篮结果互不影响.若甲乙两位同学组成一个小组参赛，且甲乙同学的投篮命中率分别为2 1,3 2.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数4n n 为多少时，对该小组更有利？的17.设函数()ln(1)(2)f xxa xx=+-，其中a为实数（1）当1a=时，求()f x的单调区间；（2）当()f x在定义域内有两个不同的极值点12,x x时，证明：1259ln916f xf x+18设动点,M x y与定点22,0F的距离和它到定直线2:2l x=的距离之比等于2，记点

9、M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）设1(2,0)F-过点2F的直线与C的右支相交于A，B两点，I是1F ABV内一点，且满足111|0FB IABA IFAFIB+=uu ruuruu rr，试判断点I是否在直线l上，并说明理由19若无穷数列 na的各项均为整数且对于*,i jN，ij，使得kjijiaa aaa=-，则称数列 na满足性质P（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由nan=，1n=，2，3，；2nbn=+，1n=，2，3，（2）若数列 na满足性质P，且11a=，求证：集合*3nna=N为无限集；（3）若周期数列 na满足性质P，求数列 na的通项公式决胜2024

10、年高考数学押题预测卷05数数 学学（新高考九省联考题型）（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，

11、只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的1某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（）A.290B.295C.300D.330【答案】B【解析】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288，290，300，360，8 75%6=，所以75%分位数为2903002952+=.故选：B2已知复数z满足1i1zz-=+，则z=（）A.iB.14C.12D.1【答案】D【解析】11 ii1ii1 i1 i11 izzzzzz-+=-=+-=

12、+=+-，故2221 i1 i12i+i2ii1 i1 i 1 i1 i2z+=-+-，故iz=-，故1z=.故选：D3 若20201918219200121920(2)abx ax a bx a bx abx b-=+L，则19x=（）A.20-B.1920 2-C.192-D.1920 2【答案】B【解析】因为20(2)ab-的展开通项公式为20202020C22C020,NrrrrrrrrTababrr-=-=-，则1919191920(2)C20 2x=-=-，故B正确故选：B4已知1,1a=r，,1bm=-r，m为实数，若aab-rrr，则向量ar在br上的投影向量为（）A.1 3,

13、5 5B.1 3,5 5-C.3 1,5 5D.31,55-【答案】D【解析】根据题意可知1,2abm-=-rr，由aab-rrr可得111 20aabm-=-+=rrr，解得3m=，所以3,1b=-r；所以向量ar在br上的投影向量为3 11155101031,5a bbbbbb-=rrrrrrr.故选：D5已知圆22:4O xy+=，弦AB过定点1,1P，则弦长AB不可能的取值是（）A.2 2B.2 3C.4D.2 5【答案】D【解析】圆22:4O xy+=的半径2r=，因为221124+=，所以2242 42 244yyyy+=所以5444 24x y-=，即54xy-当且仅当244yy

14、=，242xy=+，即14y=，32x=时等号成立，所以xy-的最小值为54故选：C7在ABCV中，角,A B C所对的边分别为,a b c，2 sinsin3 sinaAbBcC-=，若S表示ABCV的面积，则2Sb的最大值为（）A.74B.106C.2 33D.52【答案】D【解析】因为2 sinsin3 sinaAbBcC-=，由正弦定理得22223abc-=，所以2221322abc=+，由余弦定理得22222cos24bcabcAbcbc+-=，所以222224222422421(sin)sin(1 cos)1182()(1)4464bcAScAcAccbbbbbb-=-+-，令22

15、ctb=，则22215()(181)644Sttb=-+-，当且仅当9t=，即3cb=时取等号，所以252Sb，故选：D.8已知22()32ln,1,1,(),1,2,3,4f xaaxx ag xbxx b=+-=-，使()()f xg x恒成立的有序数对(,)a b有（）A.2个B.4个C.6个D.8个【答案】B【解析】由题得函数定义域为(0,)+，要想()()f xg x恒成立，即2232lnaaxxbxx+-恒成立，只需232 lnaaxbxx+-恒成立，只需232 lnaxaxbx+恒成立，设223(3)()()2 ln(0),()axa xah xxax xh xxx+-=+=，所

16、以当1a=-时，则min()(3)42ln3h xh=-，使()()f xg x恒成立的b可取1；所以当1a=，则min()(1)4h xh=，使()()f xg x恒成立的b可取1，2，3，所以(,)a b一共有(1,1),(1,1),(12),(1,3)-共4种.故选：B二、选择题：本题共二、选择题：本题共3 3小题，每小题小题，每小题6 6分，共分，共1818分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得6 6分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得0 0分分.9若11zz-=+，则（）A.Rz

17、B.11zz-=+C.0zz+=D.2z zz=【答案】BC【解析】利用复数的几何意义知在复平面内，z对应的点在 1,0,1,0-对应线段的中垂线即y轴上，所以z不一定是实数，所以A错误；因为z与z关于实轴对称，且在y轴上，所以B，C正确；取iz=，则21,1z zz=-，所以D错误故选：BC.10如图，在正四棱台1111ABCDABC D-中，111224,ABABAAP=为棱1CC上一点，则（）A.不存在点P，使得直线BPP平面11AB DB.当点P与1C重合时，直线1CC 平面BPDC.当P为1CC中点时，直线BP与AD所成角的余弦值为7 1326D.当P为1CC中点时，三棱锥111AA

18、B D-与三棱锥PBCD-的体积之比为1:2【答案】BCD【解析】连接AC交BD于O，因为正四棱台1111ABCDABC D-，所以以OA为x轴，OB为y轴，垂直于平面ABCD为z轴建立如图所示坐标系，设点1A在底面投影为E，则2AEOAOE=-=，22112AEAAAE=-=，即正四棱台1111ABCDABC D-的高为2，则2 2,0,0A，0,2 2,0B，2 2,0,0C-，10,2,2B，12,0,2C-，10,2,2D-，所以12 2,2,2AB=-uuur，12 2,2,2AD=-uuuu r，12,0,2CC=uuuu r，2 2,2 2,0BC=-uuu r，因为P为棱1CC

19、上一点，所以12,0,201CPCCllll=uuu ruuuu r，所以2 22,2 2,2BPBCCPll=+=-+-uuu ruuu ruuu r，设平面11AB D的法向量111,xny z=r，则111111112 22202 2220AB nxyzAD nxyz=-+=-+=uuurruuuu rr，令11x=可得平面11AB D的一个法向量为1,0,2n=r，令2 222 20n BPll=-+=r uuu r解得23l=，故存在点P，使得直线BPP平面11AB D，A说法错误；当点P与1C重合时即2,0,2P-，0,2 2,0D-，2,2 2,2BP=-uuu r，0,4 2,

20、0BD=-uuu r，设平面BPD的法向量222,mxyz=ur，则222222 2204 20BP mxyzBD my=-+=-=uuu rruuu rr，令21x=可得平面BPD的一个法向量为1,0,1m=ur，因为12CCm=uuuu rur，所以当点P与1C重合时，直线1CC 平面BPD，B说法正确；当P为1CC中点时，即3 22,2 2,22BP=-uuu r，2 2,2 2,0AD=-uuur，所以687 13cos,26134BP ADBP ADBP AD+=uuu r uuuruuu r uuuruuu r uuur，所以直线BP与AD所成角的余弦值为7 13cos,26BP

21、AD=uuu r uuur，C说法正确；设正四棱台1111ABCDABC D-的高为h，当P为1CC中点时，三棱锥111AAB D-的体积1 1111112 22 223323A B DVSh=V，三棱锥PBCD-的体积211124 24 4323223BCDhVS=V，所以三棱锥111AAB D-与三棱锥PBCD-的体积之比为1:2，D说法正确；故选：BCD11已知函数 ,f xg x的定义域均为R，112fxgx-+=，22g xfx-=，42gxfx-=，且当0,1x时 21f xx=+，则（）A.20242g=B.20241()0ig i=C.函数 f x关于直线3x=对称D.方程20

22、24fxx+=有且只在3个实根【答案】ACD【解析】对于A：由 11242fxgxgxf x-+=-=，可得 2242f xgxgxf x+-=-=，所以(2)(4)4gxgx-+-=所以2(2)4(2)4gxgx-+-=，即()(2)4g xg x+=所以(2)(4)4g xg x+=，得()(4)g xg x=+，故 g x为周期函数，且周期为4，又 11222fxgxg xf x-+=-=，可得 2222f xgxg xf x+-=+-=，故(2)(2)4gxg x-+=，令0 x=可得 22g=，令()(2)4g xg x+=中的0 x=可得 02g=所以 202402gg=，A正确；

23、对于B：因为当0,1x时，21f xx=+，所以 12f=，由112fxgx-+=得 112fg+=，所以 10g=由 42gxf x-=得 312gf-=，所以 34g=，又 402gg=，所以 20241()506123450602424048ig igggg=+=+=，B错误；对于C：由 11242fxgxgxf x-+=-=，可得 2242fxg xg xfx-+=-=，故(2)(4)0fxfx-+-=，即(2)()f xf x+=-，(4)()f xf x+=，由 11222fxgxg xf x-+=-=，可得112112fxgxgxf x-+=+-=，故(1)(1)0fxf x-+

24、-=，即()()f xfx=-，所以(2)()f xf xfx+=-=-故()f x为奇函数，关于1x=对称，且周期为4，又当0,1x时 21f xx=+，作出()f x的图象如下：由图可知函数 f x关于直线3x=对称，C正确；对于D：方程2024f xx+=，即 f xx=，由图可知，函数 f x的图象和yx=的图象有3个交点，即方程2024f xx+=有3个实根，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共三、填空题：本题共3 3小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共1515分分.12甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人

25、服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选安全防范服务”，则P A B=_.【答案】332【解析】事件AB：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同，所以其它4名同学排列在其它4个项目，且互不相同，为44A，事件B：甲同学选安全防范服务，所以其它4名同学排列在其它4个项目，可以安排在相同项目，为44，44545A354325P ABP A BP B=.故答案为：332.13.已知0,4xp，3 5sincos5xx+=，则3 tan4xp-=_.【答案】3【解析】方法一：因为29(sincos)12sin cos5xx

26、xx+=+=，所以2sin cos5xx=，21(cossin)12sincos5xxxx-=-=，因为0,4xp，所以5cossin5xx-=，sin13 tan1sincoscostan3sin41tancossin1cosxxxxxxxxxxxp+-=-.方法二：由223 5sincossincos15xxxx+=+=及0,4xp，解得52 5sincos55xx=，所以1tan2x=，113 tan12tan3.141tan12xxxp+-=-故答案为：314.抛物线22(0)xpy p=与椭圆221(0)4xymm+=有相同的焦点，12,F F分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一

27、点，I是12PFF的内心，PI交y轴于M，且2PIIM=uuruuu r，点*,nnxynN是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为1,0nx+，若28x=，则2024x=_【答案】201912【解析】22(0)xpy p=焦点在y轴上，故椭圆221(0)4xymm+=的焦点在y轴上，故4m，I是12PFF的内心，连接2F I，则2F I平分12FF P，在2PF I中，由正弦定理得222sinsinPIPFPF IPIF=，在2MF IV，由正弦定理得222sinsinMIMFMF IMIF=，其中22MIFPIF+=，故22sinsinMIFPIF=，又22sinsinPF

28、 IMF I=，式子与相除得22PIPFMIMF=，故222PFMF=，同理可得112PIPFIMFM=，121222PFPFFMF M+=+，由椭圆定义可知1224PFPFa+=，122FMF Mc+=，24,1acc=，即焦点坐标为0,1，所以抛物线方程为24xy=，12yx=，故24xy=在,nnxy处的切线方程为12nnnyyxxx-=-，即21122nnnyyx xx-=-，又214nnyx=，故12nnyx xy=-，所以24xy=在点,nnxy的切线为：22nnx xyy=+，令212240,2nnnnnnxyxyxxx+=，又1282xx=，即116x=，所以 nx是首项16，

29、公比12的等比数列，202320192024111622x=故答案为：201912四、解答题：本题共四、解答题：本题共5 5小题，共小题，共7777分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15如图，在直四棱柱1111ABCDABC D-中，BCCD，ABDCP，12244DCBCCCAB=（1）证明：111ACB D；（2）求二面角11DBCD-平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）2 23【解析】（1）法一：连接11AC，交11B D于点H，在梯形1111DCBA中，111,AB=1 12B C=，114C D=，所以1111111112A

30、BBCBCC D=，又11111190ABCBC D=，所以111111ABCBC DVV，则111111B ACC B D=，因为11111190B ACAC B+=，所以11111190C B DAC B+=，则1190C HB=，即1111B DAC直四棱柱1111ABCDABC D-中，1AA 平面1111DCBA，因为11B D 平面1111DCBA，所以111B DAA因为1AA、1AC 平面11AAC，1111AAACA=，所以11B D 平面11AAC因为1AC 平面11AAC，所以111ACB D法二：以1,CD CB CCuuu r uuu r uuuu r为正交基底，建立

31、如图所示的空间直角坐标系Cxyz-，则0,0,0C，4,0,0D，0,2,0B，1,2,0A，10,0,2C，14,0,2D，10,2,2B，11,2,2A的 因为11,2,2AC=-uuuu r，114,2,0B D=-uuuur，所以 1111,2,24,2,04400ACB D=-=-+=uuuu r uuuur，所以111ACB Duuuu ruuuur，即111ACB D（2）设平面1BCD与平面11BCD的一个法向量分别为111,mx y z=r与222,nxyz=r，因为10,2,2CB=uuur，14,0,2CD=uuuu r，4,0,0CD=uuu r，由1mCBmCDuuu

32、rruuu rr得111122040m CByzm CDx=+=uuurruuu rr，则10 x=，令11y=得11z=-，所以0,1,1m=-r由11nCBnCDuuurruuuu rr得122112220420n CByzn CDxz=+=+=uuurruuuu rr，令21x=，则12z=-，22y=，所以1,2,2n=-r所以 2222220 1 1 2122 2cos,3011122m nm nm n+-=+-+-r rr rr r，由图可知二面角11DBCD-的平面角为锐角，所以二面角11DBCD-的平面角的余弦值为2 2316某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局

33、比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮 3 次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲乙两位同学组成一个小组参赛，且甲乙同学的投篮命中率分别为2 1,3 2.（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数4n n 为多少时，对该小组更有利？【答案】（1）2027 （2）详见解析【解析】（1）设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A，则 23

34、332 222 2 22 2 12 2 220C1+C3+13 333 3 33 3 33 3 327P A=-=；（2）设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B，则 23331 111 1 11 1 11 1 11C1+C3+12 222 2 22 2 22 2 22P B=-=，甲、乙同学都获得好投手的概率为：2011027227P=，比赛设置n局，甲乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，则10,27XB n:，且33310103C12727nnP X-=-，设 3331=1010C2727nnf n-，则 11f nf nf nf n+-，则 33323313334331101010

35、10C1C12727272710101010C1C127272727nnnnnnnn-+-，即 17212717327nnnn-+-，即 7.18.1nn，又*Nn，则 8n=，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.17.设函数()ln(1)(2)f xxa xx=+-，其中a为实数（1）当1a=时，求()f x的单调区间；（2）当()f x在定义域内有两个不同的极值点12,x x时，证明：1259ln916f xf x+【答案】（1）()f x的单调递增区间为10,(1,)2+，单调递减区间为1,12 （2）证明见解析【解析】（1）()f x的定义域为(0,)+，21231()(

36、23)xxfxxxx-+=+-=，令 2110 xxfxx-=，得12x=或1x=，10,(1,)2x+时，()0fx，1,12x时，()0fx=-，解得89a，因为2212121212ln34f xf xx xa xxa xxa+=+-+2121212127ln234ln 214x xaxxx xa xxaaa=+-+=-+-，设7()ln(2)14g aaa=-+-，89a，则7174()044ag aaa-=-=，故()g a在8,9+上单调递增，又816559()lnln999916g ag=-+=+，故1259ln916f xf x+18设动点,M x y与定点22,0F的距离和它到

37、定直线2:2l x=的距离之比等于2，记点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）设1(2,0)F-过点2F的直线与C的右支相交于A，B两点，I是1F ABV内一点，且满足111|0FB IABA IFAFIB+=uu ruuruu rr，试判断点I是否在直线l上，并说明理由【答案】（1）221xy-=（2）点I在直线l上，理由见解析【解析】（1）由动点(,)M x y与定点22,0F的距离和它到定直线2:2l x=的距离之比等于2，可得222222xyx-+=-，化简得221xy-=，故所求曲线C的方程为221xy-=（2）点I在直线l上因为12,0F-，设点,I A B的坐标分别是 1

38、122,x yx yxy，由题设得111122,2,0,0FB xx yyBAxyAFxx yy-+-+-=，解得1112112FB xF A xABxFBABAF+-=+，当ABx轴时，122xx=，113,2FBF AAB=，代入有6 22 2282x-=，所以点I在直线l上，当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是2yk x=-，因为曲线C的渐近线的斜率为1，且直线AB与曲线C的右支相交于两点，所以1k，联立方程组2221yk xxy=-=，整理得222212 2210kxk xk-+-+=，此时0D，可得221212222 221,11kkxxx xkk-+=-，则2222111111

39、22112F Axyxxx=+=+-=+，同理 12121212,121222FBxABxxxx=+=-+-+=-+于是221112222 282 22 211kkFBABAFxxkk-+=+=-，111221121221212222FB xF A xABxxxxxx+-=+-+12121212122 22 222 22 2xxx xxxx xxx=+-+=-+2222222222212 2214 22 22 22 2111111kkkkkkkkkk-+-=+=+=-，所以22224 221821kkxkk-=-，所以点I在直线l上.19若无穷数列 na的各项均为整数且对于*,i jN，ij，

40、使得kjijiaa aaa=-，则称数列 na满足性质P（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由nan=，1n=，2，3，；2nbn=+，1n=，2，3，（2）若数列 na满足性质P，且11a=，求证：集合*3nna=N为无限集；（3）若周期数列 na满足性质P，求数列 na的通项公式【答案】（1）数列 na不满足性质P；数列 nb满足性质P，理由见解析 （2）证明见解析 （3）0na=或3na=【解析】（1）对，取1i=，对,1jj*N，则11,jijaaa=，可得11jjiija aaja=-=-，显然不存在,kj k*N，使得1ka=-，所以数列 na不满足性质P；对，对于,i ji

41、j*，使得22jkijibbibjijbb=+-=-+，故数列 nb满足性质P；（2）若数列 na满足性质P，且11a=，则有：取111,1,ijjj*=N，均存在111,kj k*N，使得111111kjjaa aaa=-=-，取2121,ijjkj*=N，均存在2212,kjk k*N，使得222111kjjaa aaa=-=-，取121,ikjkk=，均存在1211,mkm*N，使得112123mkkkkaa aaa=-=，故数列 na中存在n*N，使得3na=，即3nna*=N，反证：假设3nna*=N为有限集，其元素由小到大依次为12,1lln nn n L，取1,1llijnn=+

42、，均存1,LlLknk*+N，使得11111Lllknnaa aaa+=-=-，取1,1Lijk=+，均存在111,LLLkkk*+N，使得111111LLLkkkaa aaa+=-=-，取1,LLikjk+=，均存在111,lLllnkn n*+N，使得1113lLLLLnkkkkaa aaa+=-=，即13lnnna*+=N这与假设相矛盾，故集合3nna*=N为无限集.（3）设周期数列 na的周期为1,TT*N，则对n*N，均有nn Taa+=，设周期数列 na的最大项为,1MaMMT*N，最小项为,1NaNNT*N，即对n*N，均有NnMaaa，若数列 na满足性质P：反证：假设4Ma时

43、，取,iM jMT=+，则,kMT k*$+N，使得22kMM TMM TMMaa aaaaa+=-=-，则2330kMMMMMaaaaaa-=-=-，即kMaa，这对n*N，均有NnMaaa矛盾，假设不成立；则对n*N，均有3na；反证：假设2Na -时，取,iN jNT=+，则,kNT k*$+N，使得224kNN TNN TNNaa aaaaa+=-=-，在这与对n*N，均有3na 矛盾，假设不成立，即对n*N，均有1na -；综上所述：对n*N，均有13na-，反证：假设1为数列 na中的项，由（2）可得：1,3-为数列 na中的项，1 3135-=-，即5-为数列 na中的项，这与对

44、n*N，均有13na-相矛盾，即对n*N，均有1na，同理可证：1na -，na Z，则0,2,3na，当1T=时，即数列 na为常数列时，设naa=，故对,i jij*，使得22ikijjaa aaaaaa=-=-=，解得0a=或3a=，即0na=或3na=符合题意；当2T 时，即数列 na至少有两个不同项，则有：当0,2为数列 na中的项，则0 2022-=-，即2-为数列 na中的项，但20,2,3-，不成立；当0,3为数列 na中的项，则0 3033-=-，即3-为数列 na中的项，但30,2,3-，不成立；当2,3为数列 na中的项，则2 3231-=，即1为数列 na中的项，但10,2,3，不成立；综上所述：0na=或3na=.