2024【高中数学】学科公式总结2023.docx

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1、优能个性化产品研发中心高三数学公式大全一、乘法公式3二、二次函数3三、不等式41、解一元二次不等式42、含绝对值不等式53、根式不等式54、指数、对数不等式55、分式不等式66、基本不等式6四、集合与常用逻辑用语71、常用数集及其记法72、集合间的基本关系73、集合间的基本运算84、四种命题及相互关系85、充分条件和必要条件86、简单的逻辑联结词97、全称量词与特称量词9五、函数与导数101、幂的运算及指数的运算102、对数的运算103、指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质114、导数的运算13六、三角函数与解三角形141、弧度制（弧长及扇形面积）142、任意角的正弦、余弦、正切的定义143

2、、同角三角函数的基本关系144、诱导公式155、两角和与差的正弦、余弦、正切公式156、正弦定理、余弦定理、面积公式167、利用正弦、余弦定理解三角形17七、数列181、等差数列182、等比数列203、数列求通项214、数列求和21八、平面向量231、公式法231 / 41优能个性化产品研发中心2、三角形“五心”向量形式表示24九、复数251、复数的基本概念、复数相等的条件252、复数代数形式的四则运算法则253、常见的运算规律26十、空间向量与立体几何261、棱柱、棱锥、球的表面积和体积262、空间向量的坐标计算263、空间向量距离公式、中点公式、重心公式274、利用空间向量解决立体几何问题

3、27十一、平面解析几何初步291、直线的倾斜角、斜率、表达式292、直线的位置关系293、点点距离、点线距离、线线距离304、圆的标准方程与一般方程305、直线与圆、两圆的位置关系（ d 表示圆心到直线的距离）31十二、圆锥曲线与方程321、椭圆322、双曲线333、抛物线34十三、统计351、简单随机抽样352、分层抽样和系统抽样353、频率分布表，直方图，折线图，茎叶图354、样本数据的数字特征365、用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征36十四、排列、组合、二项式定理371.排列组合372.二项式定理37十五、随机变量391、古典概型、几何概型、条件概

4、率392、离散型随机变量的分布列392 / 41优能个性化产品研发中心一、乘法公式必须记住的乘法公式（1）平方差公式a2- b2= (a + b )(a - b )（2）完全平方公式(a b )2= a 2 2ab + b2（3）立方和公式a3+ b3= (a - b)(a2 - ab + b2 )（4）立方差公式a3 - b3= (a + b)(a2 - ab + b2 )（5）三数和平方公式(a + b + c )2 = a 2 + b2 + c2 + 2 (ab+bc + ac )（6）两数和立方公式(a+b )3= a3 +3a 2 b + 3ab2 +b3（7）两数差立方公式(a -

5、 b )3= a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3二、二次函数1、二次函数的表达式（1）一般式： f (x ) = ax2 + bx + c (a, b, c为常数，a 0)（2）顶点式 f (x) = a (x - h)2 + k (a 0)（3）零点式： f (x ) = a (x - x1 )(x - x2 )(a 0)2、一元二次方程的根与系数的关系若 ax2 + bx + c=0 (a, b, c R，a 0, D 0) 的两根是 x1 , x2 , 则x1 + x2 = - bax x = c12a3 / 41优能个性化产品研发中心三、不等式1、解一元二次不等式判别式 D

6、= b2 - 4acD 0D = 0D 0)的图象有两个相异实数根一元二次方程x=-b D有两个相等实数根ax2 + bx + c = 0 (a 0)的根1,22ax1 = x2 = - b没有实数根(x1 0)的解集-b+2a Dx2a-b -b+2+ bx + c0D一元二次不等式 axD x2ax2a(a 0)的解集4 / 41优能个性化产品研发中心2、含绝对值不等式当 a 0 时，有 x a x2 a 2 -a x a x2 a 2 x a 或 x g (x) g (x) 0 f (x) g (x) f (x ) 0(x ) 0 f (x ) g (x ) g(x ) g(x )2 f

7、 f (x ) 0 f (x ) 0(x ) g (x )2 f f (x ) 0或 g (x ) 1 时，a f (x ) a g (x ) f (x ) g (x ) f (x ) 0loga f (x ) loga g (x ) g (x ) 0 f (x ) g (x )当 0 a a g (x ) f (x ) 0loga f (x ) loga g (x ) g (x ) 0 f (x ) 0 f (x ) 0 f (x ) 0; 或 g (x )g (x ) 0g (x ) 0f (x ) 0 f (x ) 0 f (x ) g (x ) 0; 或 g (x )g (x ) 0f

8、 (x ) f (x ) g (x ) 0 ( 0) 0 ( 0) g (x )0g (x ) f (x ) a f (x ) -ag (x ) 0 g (x ) f(x )- ag (x ) 0.g (x )g (x )6、基本不等式重要不等式如果 a , b R ，那么 a 2 + b 2 2ab （当且仅当 a = b 时取“=”）.基本不等式如果 a, b R+ ，那么 a + b 2ab （当且仅当 a = b 时取“=”）.基本不等式的几种变形形式 a + b 2a2+ b2(a, b R);ab 222a + ba 2 + b2(a ,b R+);ab 1122+abba + b

9、a 2 （ a, b 同号，当且仅当 a = b 时取“=”）；a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (a ,b,c R ).6 / 41优能个性化产品研发中心四、集合与常用逻辑用语1、常用数集及其记法常用数集一览表掌握打常用数集简称记法全体非负整数组成的集合非负整数集(或自然数集)N所有正整数组成的集合正整数集N * / N +全体整数组成的集合整数集Z全体有理数组成的集合有理数集Q全体实数组成的集合实数集R2、集合间的基本关系子集、真子集、集合相等名称子集真子集集合相等记号A B (或 B A )A B (或 B A )A = BA B ，且 B 中至少有一元A 中的任一元素

10、都属于意义A 中的任一元素都属于 BB ， B 中的任一元素都属素不属于 A于 A(1) A A(1) A ( A 为非空集合)(2) A(2)若 A B 且 B C ,则(1) A B性质(3)若 A B 且 B C ,则 A C(2) B A(4)若 A B 且 B A ,则 A = BA C示意图或7 / 41优能个性化产品研发中心3、集合间的基本运算名称交集并集补集记号A BA BCU A意义x | x A ,且 x Bx | x A ，或 x Bx | x U ，且 x A(1)A A = A(1)A A = A(1)A (CU A) = (2)A = (2)A = A性质(3)A

11、B A(3)A B AA (CU A) = U(2)A B BA B B示意图4、四种命题及相互关系(1)“若 p ，则 q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题原命题： p q逆命题： q p否命题： p q逆否命题： q p(2)四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若 p 则 q若 q 则 p互否互否互为逆否互否否命题互逆逆否命题若 p 则 q 若 q 则 p5、充分条件和必要条件（1）充分条件：若 p q ，则 p 是 q 的充分条件（2）必要条件：若 p q ，则 p 是 q 的必要条件（3）充要条件：若 p q ，则 p 是 q 的充要条件8 / 41优能个性化产品研发中心6、简单

12、的逻辑联结词（1）或： p q（2）且： p q（3）非： p（4） p q ， p q 的真假：pqp qp q真真真真真假真假假真真假假假假假（5） p 的真假：pp真假假真7、全称量词与特称量词（1）全称量词： （2）全称命题： x M , p (x )成立（3）存在量词： $（4）特称命题： $x0 M , p (x0 )成立（5）全称命题的否定： p : x M , p (x ) p : $x0 M , p (x0 )（6）特称命题的否定： p : $x0 M , p (x0 ) p : x M , p (x )9 / 41优能个性化产品研发中心五、函数与导数1、幂的运算及指数的运算

13、ar as = ar +s (a 0, r , s Q )ar as = ar -s (a 0,r , s Q )( ar )s = ars (a 0,r , s Q )( ab)r = ar br (a 0, b 0, r Q) b rbr(a 0, b 0, r Q) =ar a m()a= nama 0, m, n N * , 且n 1nm1 1 m-n*an = (a 0, m, n N, 且n 1)n am a ( na )n = a （ a 必须使 na 有意义， n N * ，且 n 1 ）a0 = 1(a 0 ), a1 = a, a -1 = 1a (a 0 )2、对数的运算

14、（1）对数的性质：几何恒等式（ a，N，b 都是正数，且 a，b 1）aloga N= Nloga N = logb N （换底公式）logb alogan bm = mn log a blog a 1 = 0（2）对数的运算法则（ a 0且a 1, Mlog a (MN ) = log a M + log a N ； logam M = m1 loga M（3）常用对数： log10 N = lg Nloga aN = Nloga b =1logb alog a a = 1log1 = -1a a 0, N 0，n N *且n 2 ）M = log a M - log a Nloga Mn=

15、 n loga Mlog a N logan=1loga MMn自然对数： loge N = ln N （ e = 2.71828）10 / 41优能个性化产品研发中心3、指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（1）指数函数的图像与性质a 10 a 0, a x 1;x 0, 0 a x 1 ;x 0, 0 a x 1x 1（2）对数函数的图像与性质a 10 a 1, log ax 0 ；x 1, log ax 0 ；0 x 1, log a x 00 x 0（3）幂函数的图像与性质幂函数的图像与性质函y = x1特数y = x2y = x3y = x-1y = x2性征质RRR0, +)定义

16、域xx R且x 0R0, +)R0, +)值域yy R且y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇x 0, +)时，增x (0, +) 时，减单调性增x (-, 0时，减增增x (-, 0) 时，减定点(0, 0), (1,1)(1,1)五种幂函数的图象比较12 / 41优能个性化产品研发中心4、导数的运算(1)基本初等函数的运算公式：公式 1：若 f (x) = c ，则 f (x) = 0公式 2：若 f (x) = xn ，则 f (x) = nxn-1公式 3：若 f (x) = sin x ，则 f (x) = cos x公式 4：若 f (x) = cos x ，则 f (x) = -sin x

17、公式 5：若 f (x) = ax ，则 f (x) = a x ln a(a 0且a 1)公式 6：若 f (x) = e x ，则 f (x) = e x公式 7：若 f (x) = loga x ，则 f (x) = x ln1 a (a 0且a 1) 公式 8：若 f (x) = ln x ，则 f ( x) = 1x(2)导数的运算法则：13 / 41优能个性化产品研发中心 f (x) g(x) = f (x) g(x) f (x) g(x) = f (x) g(x) + f (x) g(x)f (x)f =(x) g (x) - f(x) g (x)(g(x) 0)g2(x) g

18、(x) Cf (x) = Cf (x) ( C 为常数) f j (x) = f (m)j(x) (其中 m=j(x) ) 六、三角函数与解三角形1、弧度制（弧长及扇形面积）（1）弧度与角度互化： 2p rad = 360, p rad =180, 1rad = (180p) 5718, 1 = (180p)rad .（2）弧长，扇形面积公式：设扇形的弧长为 l ，圆心角大小为a(rad ) ，半径为 r ，弧长公式： l = ar ；扇形的面积公式： S = 12 ar 2 .2、任意角的正弦、余弦、正切的定义(1)设a 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y )，那么： sin

19、 a = y,cosa = x,tana = xy(2)设点 A (x , y ) 为角a 终边上任意一点，那么：（设 r = x2 + y2 ）sin a = ry ， cos a = rx ， tan a = xy3、同角三角函数的基本关系（1）平方关系： sin2 a + cos2 a =1 ，14 / 41优能个性化产品研发中心（2）商数关系： tan a= cossinaa .（3） sin x + cos x ; sin x - cos x ; sin x cos x 三个关系间的关系(sin x + cos x)2 = (sin x - cos x)2 + 4sin x cos

20、x ;(sin x - cos x)2 = (sin x + cos x)2 - 4sin x cos x ;2sin x cos x = (sin x + cos x) 2 -1 =1 -(sin x -cos x) 24、诱导公式诱导公式格式： k p2 a (k Z )（1）a 可以为任意角，但是一般设a 为锐角.（2）诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.首先判断角所在象限；其次根据角所在象限判断符号奇变偶不变（ k 是奇数，变函数名，即 sin cos ； k 是偶数，不变函数名）（3）在角 k p2 a (k Z ) 中，若 k p2 a (k Z ) 不在0, 2p ) 内，

21、在计算时可以直接加上或者减去 2p 的整数倍后在进行计算.5、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）和角和差角公式sin(a b )= sin a cos b sin b cosacos(a b )= cos a cos bsin b sin atan(a b )= tan a tan b1tan a tan ba sin a + b cosa = a 2 + b 2 sin(a +j)（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2a =2sin a cosasin 2a = cos2 a -sin 2 a =2 cos2 a -1=1 - 2sin 2 atan 2a =2 tan a1 - tan 2 a（3）升幂公式15 / 41优能个性化产品研发中心1 + cos a = 2 cos 2 a21 - cos a = 2sin 2 a21 sin a = (sin 2 a2 cos 2 a2 ) 2（4）降幂公式sin a cosa = 1 sin 2a2121cos2 a = 2 (1+ cos 2a)6、正弦定理、余弦定理、面积公式（1）正弦定理定理：a=b=c= 2R ，（ R 为 ABC 外接圆半径）sin Asin Bsin Ca = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C ；sin A : sin B : sin