2024年高考数学专项复习排列组合专题05 分堆问题（解析版）.pdf

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1、1专题专题 5 分堆问题分堆问题例 1现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A每人都安排一项工作的不同方法数为 54B每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为3122352533C CC CAD每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C AC A例 2我省 5

2、 名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到 A，B，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配 1 人，其中甲专家不去 A 医疗点，则不同分配种数为（）A116B100C124D90例 3现有6位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的年龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另-位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（）A10种B40种C70种D80种例 42019 年 4 月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将 5

3、个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A150 种B240 种C300 种D360 种例 5有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A分给甲乙丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法；B分给甲乙丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法；2024年高考数学专项复习排列组合专题05 分堆问题（解析版）2C分给甲乙每人各 2 本，分给丙丁每人各 1 本，有 180 种分法；D分给甲乙丙丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2160 种分法；例 6将四个不同的小球放入三个分别标有 1、2、3 号的盒子中

4、，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）.A11113213C C C CB2343C AC122342C C AD18例 7江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有 6 个名额，分配到历史类 5 个班级(每个班至少 0 个名额，所有名额全部分完).（1）共有多少种分配方案？（2）6 名学生确定后，分成 A、B、C、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？（3）6 名学生来到武汉火车站.火车站共设有 3 个“安检”入口，每个入口每次只能进 1 个旅客，求 6 人进站的不同方案种数.例 8从 6 名男医生和 3 名女医生中选出 5 人组成一个医疗小组，请解答下列问题

5、：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于 2 人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）例 9现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？例 10有 6 本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分给甲乙丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一

6、个人 3 本；3（2）分成三组，一组 4 本，另外两组各 1 本；（3）甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本.例 11（1）3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，一共有多少种不同的放法？（2）3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，恰有 2 个空盒的放法共有多少种？例 12现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）（3）现取4只球，求各

7、种颜色的球都必须取到的概率（请用数字作答）例 13现有 7 名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若 4 人被分到育才中学，2 人被分到星云中学，1 人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去 4 个人，另一所学校去 2 个人，剩下的一个学校去 1 个人，有多少种不同的分配方案？例 14如图，从左到右有 5 个空格.（1）若向这 5 个格子填入 0，1，2，3，4 五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填 0，则一共有多少不同的填法？（2）若给这 5 个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝 3 颜色可供使用，问一共有

8、多少不同的涂法？（3）若向这 5 个格子放入 7 个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？例 15学校安排 5 名学生到 3 家公司实习，要求每个公司至少有 1 名学生，则有_种不同的排法.例 16现有 7 名志愿者，其中只会俄语的有 3 人，既会俄语又会英语的有 4 人.从中选出 4 人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2 人担任英语翻译，2 人担任俄语翻译，共有_种不同的选法4例 17从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是_（用数字作答）例 18将 5 位志愿者分成

9、3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）；1专题专题 5 分分堆堆问题问题例 1现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A每人都安排一项工作的不同方法数为 54B每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为3122352533C CC CAD每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三

10、项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C AC A【解析】每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A错误，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A，即选项 B 错误，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C CC CAA）33A，即选项 C 错误，分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C AA，故有231231111324334322=C C C AC C AAC；第二种情况

11、，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C,从余下三人中安排三个岗位33A，故有2333C A；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C AC A，即选项 D 正确，2故选：D例 2我省 5 名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到 A，B，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配 1 人，其中甲专家不去 A 医疗点，则不同分配种数为（）A116B100C124D90【解析】根据已知条件，完成这件事情可分 2 步进行：第一步：将 5 名医学专家分为 3 组若分为 3,1,

12、1 的三组，有3510C 种分组方法；若分为 2,2,1 的三组，有22532215C CA种分组方法，故有10 1525种分组方法第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A医疗点，可分配到,B C医疗点中的一个，有122C 种分配方法，再将剩余的 2 组分配到其余的 2 个医疗点，有222A 种分配方法，则有2 24 种分配方法根据分步计数原理，共有25 4 100=种分配方法故选：B例 3现有6位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的年龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另-位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与寻找宝贝任

13、务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（）A10种B40种C70种D80种【解析】(1)若亮亮不参与游戏，可以分三步完成萌娃的分配：安排一位萌娃陪同亮亮，有 5 种选择：从剩下的4 个萌娃选择 2 个去近处，有246C 种选择；最后剩下的 2 个去远处，完成分配，所以有5 630种方3案(2)若亮亮参与游戏，可以分两步完成萌娃的分配：从 5 个萌娃选择 2 个和亮亮去近处，有2510C 种选择；剩下的 3 个萌娃去远处，完成分配，所以有10种方案综上，不同的寻找方案有30 1040种故选：B例 42019 年 4 月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全

14、顺利地进行，某部门将 5 个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A150 种B240 种C300 种D360 种【解析】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把 5 个安保小组分成三组，有两种分法：按照 1、1、3 分组或按照 1、2、2 分组；若按照 1、1、3 分组,共有113354332260C C CAA种分组方法；若按照 1、2、2 分组,共有122354232290C C CAA种分组方法，根据分类计数原理知共有 60+90=150 种分组方法.故选：A.例 5有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A

15、分给甲乙丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法；B分给甲乙丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法；C分给甲乙每人各 2 本，分给丙丁每人各 1 本，有 180 种分法；D分给甲乙丙丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2160 种分法；【解析】4对A，先从 6 本书中分给甲 2 本，有26C种方法；再从其余的 4 本书中分给乙 2 本，有24C种方法；最后的 2本书给丙，有22C种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C 种，故A正确；对B，先把 6 本书分成 3 堆:4 本、1 本、1 本，有46C种方法；再分给甲乙丙三人，所以不同的分配方法有43

16、6390C A 种，故B正确；对C，6 本不同的书先分给甲乙每人各 2 本，有2264C C种方法；其余 2 本分给丙丁，有22A种方法.所以不同的分配方法有222642180C C A 种，故C正确；对D，先把 6 本不同的书分成 4 堆:2 本、2 本、1 本、1 本，有221164212222C CC CAA种方法；再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有221146421422221080C CC CAAA种，故D错误.故选：ABC.例 6将四个不同的小球放入三个分别标有 1、2、3 号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）.A11113213C C C CB23

17、43C AC122342C C AD18【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有 13 号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有 1 个中放 2个球，剩下的 2 个盒子中各放 1 个，有 2 种解法：（1）分 2 步进行分析：先将四个不同的小球分成 3 组，有24C种分组方法；将分好的 3 组全排列，对应放到 3 个盒子中，有33A种放法；则没有空盒的放法有2343C A种；（2）分 2 步进行分析：5在 4 个小球中任选 2 个，在 3 个盒子中任选 1 个，将选出的 2 个小球放入选出的小盒中，有1234C C种情况；将剩下的 2 个小球全排列，放入剩下的 2 个小盒中，有22A种放

18、法；则没有空盒的放法有122342C C A种；故选：BC例 7江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有 6 个名额，分配到历史类 5 个班级(每个班至少 0 个名额，所有名额全部分完).（1）共有多少种分配方案？（2）6 名学生确定后，分成 A、B、C、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？（3）6 名学生来到武汉火车站.火车站共设有 3 个“安检”入口，每个入口每次只能进 1 个旅客，求 6 人进站的不同方案种数.【解析】（1）由题意得：问题转化为不定方程12345=6xxxxx的非负整数解的个数，方程又等价于不定方程12345=11xxxxx的正整数解的个数，利用隔板

19、原理得：方程正整数解的个数为410210C，共有210种分配方案.（2）先把 6 名学生按人数分成没有区别的 4 组，有 2 类：1 人，1 人，1 人，3 人和 1 人，1 人，2 人，2人，再把每一类中的人数分到 A、B、C、D 四个小组.第一种分法：1 人，1 人，1 人，3 人，有3464480C A 种方法；第二种分法：1 人，1 人，2 人，2 人，有221146421422221080C CC CAAA种方法.共有480 10801560种方法.（3）每名学生有 3 种进站方法，分步乘法计数原理得 6 人进站有63729种不同的方案.6例 8从 6 名男医生和 3 名女医生中选出

20、 5 人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于 2 人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）【解析】(1)由题可能的情况有男医生 3 人女医生 2 人和男医生 2 人女医生 3 人,共3223636375C CC C种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共488765701 234C 种,其中只有男医生的情况数有455C,不可能存在只有女医生的情况.故共有7

21、0565种不同的建组方案.(3)由题,男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为375935512618CC.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为51311818.例 9现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【解析】（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C 种情况，即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意 1 人，都

22、有 3 种分法，则 5 本不同的书有53 3 3 3 33243 种；7（3）根据题意，分 2 步进行分析：将5本书分成3组，若分成 1、1、3 的三组，有31522210C CA种分组方法，若分成 1、2、2 的三组，有1225422215C C CA种分组方法，则有10 1525种分组方法；将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A 种情况，则有25 6150种分法.例 10有 6 本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分给甲乙丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；（2）分成三组，一组 4 本，另外两组各 1 本；（3）甲得 1 本，乙得 1

23、本，丙得 4 本.【解析】（1）先将 6 本不同的书分成 1 本，2 本，3 本共 3 组，有123653C C C种，再将 3 组分配给 3 人有33A种，故共有12336533360C C C A 种；（2）只需从 6 本中选 4 本一组，其余 2 本为 2 组，即4615C 种；（3）分步处理，先从从 6 本中选 4 本给丙，其余 2 本分给甲乙各一本，即426230C A 种.例 11（1）3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，一共有多少种不同的放法？（2）3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，恰有 2 个空盒的放法共有多少种？【解析】（

24、1）根据题意，3 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，每个小球有 4 种放法，则 3 个小球有44464 种不同的放法；8（2）根据题意，分 2 步分析：将 3 个小球分成 2 组，有133C 种分组方法，在 4 个盒子中任选 2 个，分别放入分好组的两组小球，有2412A 种选法，则恰有 2 个空盒的放法有3 1236种例 12现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有多少种分堆的方法?（请用数

25、字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率（请用数字作答）【解析】（1）7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有33223322144A A A A 种方法；（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有13762270C CA种分法；（3）当取出2个红球，1个的白球，1个的黑球时，211223147C C CpC；当取出1个红球，2个白球，1个黑球时，121223247C C CpC；当取出1个红球，1个白球，2个黑球时，112223347C C CpC；211121112223223223123472435C C CC C CC C CppppC.故各种颜

26、色的球都必须取到的概率为2435例 13现有 7 名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若 4 人被分到育才中学，2 人被分到星云中学，1 人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去 4 个人，另一所学校去 2 个人，剩下的一个学校去 1 个人，有多少种不同的分配方案？【解析】9（1）根据题意，分 3 步进行分析：、在 7 人中选出 4 人，将其分到育才中学，有4735C 种选法；、在剩余 3 人中选出 2 人，将其分到星云中学，有233C 种选法；、将剩下的 1 人分到明月湾中学，有 1 种情况，则一共有35 3 105 种分配

27、方案；（2）根据题意，分 2 步进行分析：、将 7 人分成 3 组，人数依次为 4、2、1，有421731105CCC种分组方法，、将分好的三组全排列，对应 3 个学校，有336A 种情况，则一共有105 6630种分配方案.例 14如图，从左到右有 5 个空格.（1）若向这 5 个格子填入 0，1，2，3，4 五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填 0，则一共有多少不同的填法？（2）若给这 5 个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝 3 颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？（3）若向这 5 个格子放入 7 个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？【解析】（

28、1）利用排除法：545496AA种.（2）根据乘法原理得到：共有3 2 2 2 248 种涂法.（3）若分成22 1 1 1 的5组，则共有227522CCA种分法；若分成3 1 1 1 1 的5组，则共有37C种分法，故共有223575752216800CCCAA种放法.10例 15学校安排 5 名学生到 3 家公司实习，要求每个公司至少有 1 名学生，则有_种不同的排法.【解析】根据题意，分 2 步进行分析：先将 5 名学生分成 3 组，若分成 1、1、3 的三组，有1135432210C C CA种分组方法，若分成 1、2、2 的三组，有1225422215C C CA种分组方法，则有1

29、0 1525种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个公司，有336A 种情况，则有25 6150种不同的安排方式.故答案为：150.例 16现有 7 名志愿者，其中只会俄语的有 3 人，既会俄语又会英语的有 4 人.从中选出 4 人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2 人担任英语翻译，2 人担任俄语翻译，共有_种不同的选法【解析】因为英语翻译只能从多面手中选，所以有（1）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有224318C C 种选法；（2）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，1 人从事俄语翻译，所以有12134236C C C 种选法；（3）当选出的多面手 2 人从

30、事英语翻译，2 人从事俄语翻译，所以有246C 种选法；共有 18+36+6=60 种选法例 17从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是_（用数字作答）【解析】113 名骨科、1 名脑外科和 1 名内科医生，有 C33C41C5120 种，1 名骨科、3 名脑外科和 1 名内科医生，有 C31C43C5160 种，1 名骨科、1 名脑外科和 3 名内科医生，有 C31C41C53120 种，2 名骨科、2 名脑外科和 1 名内科医生，有 C32C42C5190 种，1 名骨科、2 名脑外科和 2 名内科医生，有 C31C42C52180 种，2 名骨科、1 名脑外科和 2 名内科医生，有 C32C41C52120 种，共计 20+60+120+90+180+120590 种故答案为 590.例 18将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）；【解析】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有113515CC种选法；剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有22426CC种选法，由乘法原理得分配方案有15 6=90种