2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）.pdf

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1、三角恒等变换4种常见考法归类三角恒等变换4种常见考法归类高频考点高频考点考点一考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三考点三辅助角公式的应用考点四考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三)三角恒等变换的综合问题解题策略解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正

2、切公式(和角、差角公式)C(-)cos(-)=cos cos+sin sin C(+)cos(+)=cos_cos_-sin_sin_记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(-)sin(-)=sin_cos_-cos_sin_(异名相乘、加减一致)S(+)sin(+)=sin_cos_+cos_sin_(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T(-)tan(-)=tan-tan1+tantan；(两式相除、上同下异)变形：tan-tan=tan(-)(1+tan tan)tan tan

3、=tan-tantan(-)-112024年高考数学专项三角恒等变换年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）种常见考法归类（解析版）T(+)tan(+)=tan+tan1-tantan；(两式相除、上同下异)变形：tan+tan=tan(+)(1-tan tan)tan tan=1-tan+tantan(+)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：2是4的2倍，3是32的2倍.S2sin 2=2sin_cos_；变形：sincos=12sin2，cos=sin22sin，1sin2=sin2+cos22sincos=(sincos)2C2cos 2=cos

4、2-sin2=2cos2-1=1-2sin2；变形：cos2=1+cos22，sin2=1-cos22T2tan 2=2tan1-tan2(k+2且k2+4，kZ)2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin2=1-cos22.cos2=1+cos22.sincos=12sin2.(2)升幂公式1+cos=2cos22.1-cos=2sin22.1+sin=sin2+cos22.1-sin=sin2-cos22.注：1+cos2=2cos2；1cos2=2sin2；1+sin2=(sin+cos)2；1sin2=(sincos)2(3)万能公式sin=2tan21+tan22,cos=1-tan

5、221+tan22,tan=2tan21-tan22(4)其他常用变式sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2；cos2=cos2sin2sin2+cos2=1tan21+tan2；cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x3.辅助角公式(同角异名1次)asin+bcos=a2+b2sin(+)，其中cos=aa2+b2，sin=ba2+b2，或tan=ba.其中称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2=1-cos2.2(2)cos2=1+cos2.(3)tan2=1-cos

6、1+cos=sin1+cos=1-cossin.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15=45-30=60-45=302.(2)=-a-，=(+)-=-(-)，2=(+)+(-)，=12(+)+(-)=+2-2=(+2)-(+).-=(-)+(-)(3)3-=2-6+，6-=2-3+，3+=-23-，4+=-34-.4+=2-4-6.应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 7.和、差、倍角公式的逆用和变形用的应

7、用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sin sin+cos(+)=cos cos；cos sin+sin(-)=sin cos；tan tan=tan()(1tan tan)；(3)倍角公式变形：降幂公式(4)tan tan，tan+tan(或tan-tan)，tan(+)(或tan(-)三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题 8.解决非特殊角求值问题的基本思路有：化非特殊角为特殊角；化为正负相消的项，消去后求值；化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；当有，2，3，4同时出现在一个式子中时，一般将向2，3(或4)

8、向2转化，再求关于2式子的值9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则3注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等.10.给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换常见角的变换有：=(-)+；=+2+-2；2=(+)+(-)；2=(+)-(-)(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(4)当“已知角”有一

9、个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等.必要时还要进行估算，如锐角的余弦值为35，由123522，及余弦函数在 0，2上单调递减可知 4560，从而2(90，120)，或3(135，180)等.另外，注意三种主要变换：变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2=(+)+(-)，=(+)-=(-)+等；变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；变式，根据式子的结构特征进行变形，

10、使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan4，1=sin2+cos2“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.其中角的变换居核心地位.11.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角.确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i)已知正切值

11、，常选正切函数；(ii)已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii)若角的范围是 0，2，32，常选正、余弦函数；(iv)若角的范围是2，32或-2，2，常选正弦函数；(v)若角的范围是(0，)或(，2)，常选余弦函数.)(3)结合三角函数值及角的范围求角412.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan2=sin1+cos=1-cossin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范

12、围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 sin22=1-cos2，cos22=1+cos2计算13.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立考点精析考点精析考考点一点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一一)给角求值给角

13、求值14(2023全国高三专题练习)cos-75的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023全国模拟预测)sin20cos40+sin70sin40=()A.32B.12C.22D.116(2023广东湛江统考一模)cos70-cos20cos65=17(2023全国高三专题练习)sin220-cos220sin45cos155 1-sin40=.5(二二)给值给值(式式)求值求值18(2023江西九江统考三模)已知02，且sin=23，cos=-75，则cos(-)=()A.-115B.-1315C.-4 1415D.2 141519(江西省九江市2023届高三三模数

14、学(理)试题)已知0，且cos=13，cos-=2 23，则cos=()A.89B.79C.4 29D.020(2023陕西榆林统考模拟预测)若tan+4=15，则tan=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷)已知，为锐角，且tan=2，sin+=22，则cos=()A.-3 1010B.3 1010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tantan=2，cos+=-15，则cos-=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023全国高三专题练习)若2,34，cos-4=2

15、10，则sin+3=624【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知02，sin=13，cos(+)=-2 23，下列选项正确的有()A.sin(+)=13B.cos=-79C.cos2=-1781D.sin(-)=-232725(2023陕西商洛统考三模)已知tan(+)=3，tan+4=-3，则tan=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023江西上饶校联考模拟预测)已知、均为锐角，且sin=2sin，2cos=cos，则sin-=.(三三)给值求角给值求角27(2023全国高三专题练习)已知,都是锐角，cos=17,cos(+)=-1114，则=.2

16、8(2023全国高三专题练习)已知cos=17，cos(-)=1314，若02，则=29(2023河南校联考模拟预测)设tan，tan是方程x2+3 3x+4=0的两根，且,-2,2，则+=()A.3B.-23C.3或-23D.2330(2023全国高三专题练习)已知cos=2 55，sin=1010，且 0,2，0,2，则+的值是()A.34B.4C.74D.54731【多选】(2023全国高三专题练习)若tan+tan=3-3tantan，则+的值可能为()A.3B.6C.-23D.-5632(2023全国高三专题练习)已知02，cos+4=13(1)求sin的值；(2)若-20，cos2

17、-4=33，求-的值33(2023全国高三专题练习)已知角为锐角，2-，且满足tan2=13，sin-=7 210(1)证明：04；(2)求.34(2023全国高三专题练习)已知sin4-=-55,sin34+=1010，且4,34,0,4，求-的值为8(四四)三角函数式的化简三角函数式的化简35(2023福建厦门统考模拟预测)已知sin+sin+23=sin3-，则sin=()A.0B.217C.22D.3236(2023春山西高三校联考阶段练习)已知2sin+4=3cos，则sinsin-cos=.37(2023湖北校联考模拟预测)已知sin x+4=-35,34x54，则sinx1-ta

18、nx=()A.21100B.-21100C.7 280D.-7 28038(2023全国高三专题练习)已知k+4kZ Z，且cos2cos32-=cos-sin，则tan-4-tan22-=()A.83B.53C.-13D.-13339(2023湖南长沙长郡中学校考一模)已知,0,2,sin(2+)=2sin，则tan的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75,2sin75，b=cos15,-sin15，且(2a+b)(a-b)，则实数的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023陕西统考一模)

19、在ABC中，点D是边BC上一点，且AB=4，BD=2.cosB=1116，cosC=64，则DC=.942【多选】(2023江苏南通模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中COD=23，OC=3OA=3，动点P在CD上(含端点)，连结OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OQ=xOC+yOD，则下列说法正确的是()A.若y=x，则x+y=23B.若y=2x，则OA OP=0C.AB PQ-2D.PA PB 11243(广东省潮州

20、市2023届高三二模数学试题)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3tanAtanC=tanA+tanC+3.(1)求角B的大小；(2)求cosA+cosC的取值范围.10考点二考点二 二倍角公式二倍角公式(一一)给角求值给角求值44【多选】(2023全国高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275-cos275=32B.12sin15+32cos15=22C.sin75cos75=14D.1-tan151+tan15=3345(2023河南开封开封高中校考模拟预测)4sin40-tan40sin75-cos75sin75+cos75的值为()A.66B.12C.6

21、3D.146(2023重庆统考模拟预测)式子2sin18 3cos29-sin29-1cos6+3sin6化简的结果为()A.12B.1C.2sin9D.247(2023全国高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18，若m2+n=4，m n2cos227-1=.48(2023全国高三专题练习)若sin160+tan20=3，则实数的值为()A.4B.4 3C.2 3D.4 33(二二)给值给值(式式)求值求值49【多选】(2023山西校联考模拟预测)已知sinx=35，其中x2,，则(

22、)A.tanx=-43B.cosx2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-4=-2101150(2023福建泉州校考模拟预测)已知cos=-35,2，则cos 2+4=51(2023秋湖南衡阳高三衡阳市一中校考期中)已知sin-cos=-23，则sin2=52【多选】(2023全国高三专题练习)已知cos+=-55，cos2=-45，其中，为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2=35B.cos-=-2255C.coscos=510D.tantan=1353(2023春山西太原高三山西大附中校考阶段练习)已知 0,，cos=-35，则cos22+4=54(2023秋辽宁葫芦岛高

23、三统考期末)已知 0,2，sin2=cos4-，则cos2的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023全国高三专题练习)已知sinsin3-=3cossin+6，则cos 2+3=()A.-32B.-1C.12D.3256(2023全国高三专题练习)已知cos24+=45，则sin2=()A.35B.-35C.15D.-1512(三三)给值求角给值求角57(2023全国高三专题练习)已知tan=13,tan=-17,且,(0,)，则2-=()A.4B.-4C.-34D.-34或458(2023全国高三专题练习)若 0,，cos2=sin22-cos22，则=(四四)与同角三角函数的

24、基本关系综合与同角三角函数的基本关系综合59(2023全国高三专题练习)已知4,2，且sin2=45，则3sin-cos4sin+2cos=60(2023海南校联考模拟预测)已知tan=2，则1-3cos2sin2=61(2023秋四川成都高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan=2，则sin2sin2+sincos-cos2-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五五)与诱导公式的综合与诱导公式的综合62(2023春江西南昌高三统考开学考试)已知tan(-)=2 2，则sin2=()A.4 29B.2 29C.-2 29D.-4 2963(2023全国高三专题练习)若cos3-2

25、x=-78，则sin x+3的值为().A.14B.78C.14D.781364(2023河北统考模拟预测)已知sin-6=-25，则cos 2+53=()A.825B.1725C.2 55D.5565(2023湖北武汉统考二模)已知sin+3=35，则sin 2+6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六六)利用二倍角公式化简求值利用二倍角公式化简求值66(2023全国高三专题练习)已知tan=3，则sin-4cos+4sin2=67(2023全国高三专题练习)若sin1-cos=2，则1+2sin2+3cos21-2sin2+3cos2=()A.5B.43C.2D.468

26、(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=sin2x+cos2x-2sin-xcos+xsin92-x-cos132+x(1)求 f12的值；(2)已知 f=23，求sin2的值14考点三考点三 辅助角公式的应用辅助角公式的应用69(2023全国高三专题练习)函数y=cosx+cos x-3xR R的最大值为，最小值为.70(2023陕西铜川统考二模)已知函数 f x=cos x+2cos x+4，若x-4,4，则函数f x的值域为.71(2023山东泰安统考二模)已知sin+3cos=2 33，则sin56-2=.72(2023湖北荆门荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2+6+co

27、s2=-3，则tan=.73(2023辽宁丹东统考二模)若cos0,2(sin2+5cos)=1+cos2，则tan2=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋福建莆田高三校考期中)已知函数 f(x)=2 3sinxcosx-2cos2x+1.(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数 f(x)在区间-512,6的值域；15考点四考点四 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换(一一)半角公式的应用半角公式的应用75(2023秋河北石家庄高三统考期末)已知1+cossin=33，则tan2=.76(2023全国高三专题练习)若 0,2，sin2-cos=tan2

28、，则tan=()A.33B.3C.34D.6277(2023全国高三专题练习)若cos=-45，是第三象限的角，则1-tan21+tan2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023浙江校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C为半圆O上一点，CHAB，垂足为H，记COB=，则由tanBCH=BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tan2=sin1-cosB.tan2=sin1+cosC.tan2=

29、1-cossinD.tan2=1+cossin(二二)三角恒等式的证明三角恒等式的证明79(2023全国高三专题练习)已知，0,2，且满足sinsin=cos+(1)证明：tan=sincos1+sin2；(2)求tan的最大值1680(2023高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213+cos217-sin13cos17；sin215+cos215-sin15cos15；sin218+cos212-sin18cos12；sin2-18+cos248-sin-18cos48；sin2-25+cos255-sin-25cos55(1)请依据式求出这个常

30、数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论81(2023春江苏宿迁高三校考阶段练习)已知ABC为斜三角形(1)证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；(2)若ABC为锐角三角形，sinC=2sinAsinB，求tanA+tanB+tanC的最小值17(三三)三角恒等变换的综合问题三角恒等变换的综合问题82(2023春北京高三清华附中校考期中)已知函数 f x=sinx+cosx2-2sin2x.(1)求函数 f x的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数 f x在区间 0,2上的最大值和最小值，并求相应的x的值.83(2023上海浦东新统

31、考三模)已知向量a=3sinx,cosx，b=sin x+2,cosx.设 f x=ab.(1)求函数y=f x的最小正周期；(2)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若 f A=1，b=4，三角形ABC的面积为2 3，求边a的长.1884(2023浙江绍兴统考模拟预测)在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足a+b+ca+b-c=3ab.(1)求角C的大小；(2)若ABC是锐角三角形，求a+2bc的取值范围.85(2023春四川成都高三成都外国语学校校考期中)已知向量a=sin x+6,cos2x，b=cosx,-1设函数 f x=2ab+12，xR R(1)求函

32、数 f x的解析式及其单调减区间；(2)若将y=f x的图像上的所有点向左平移4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x的图像当x m,m+2(其中m 0,2)时，记函数h x的最大值与最小值分别为h xmax与h xmin，设 m=h xmax-h xmin，且使对m 0,2都有k m成立，求实数k的最小值1986(2023春四川成都高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好 社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某

33、市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，EF分别在ABAC上，CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，EDF=90，记CDF=.(1)若=30，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？20三角恒等变换三角恒等变换4 4种常见考法归类种常见考法归类高频考点高频考点考点一考点一两角和与差的正弦、余弦和正

34、切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三考点三辅助角公式的应用考点四考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三)三角恒等变换的综合问题解题策略解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(-)cos(-)=cos cos+sin sin C(+)cos(+)=cos_c

35、os_-sin_sin_记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(-)sin(-)=sin_cos_-cos_sin_(异名相乘、加减一致)S(+)sin(+)=sin_cos_+cos_sin_(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T(-)tan(-)=tan-tan1+tantan；(两式相除、上同下异)变形：tan-tan=tan(-)(1+tan tan)tan tan=tan-tantan(-)-11T(+)tan(+)=tan+tan1-tantan；(两式相除、上同下异)

36、变形：tan+tan=tan(+)(1-tan tan)tan tan=1-tan+tantan(+)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：2是4的2倍，3是32的2倍.S2sin 2=2sin_cos_；变形：sincos=12sin2，cos=sin22sin，1sin2=sin2+cos22sincos=(sincos)2C2cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2；变形：cos2=1+cos22，sin2=1-cos22T2tan 2=2tan1-tan2(k+2且k2+4，kZ)2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin2=1-cos

37、22.cos2=1+cos22.sincos=12sin2.(2)升幂公式1+cos=2cos22.1-cos=2sin22.1+sin=sin2+cos22.1-sin=sin2-cos22.注：1+cos2=2cos2；1cos2=2sin2；1+sin2=(sin+cos)2；1sin2=(sincos)2(3)万能公式sin=2tan21+tan22,cos=1-tan221+tan22,tan=2tan21-tan22(4)其他常用变式sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2；cos2=cos2sin2sin2+cos2=1tan21+tan2；cos4x-s

38、in4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x3.辅助角公式(同角异名1次)asin+bcos=a2+b2sin(+)，其中cos=aa2+b2，sin=ba2+b2，或tan=ba.其中称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2=1-cos2.2(2)cos2=1+cos2.(3)tan2=1-cos1+cos=sin1+cos=1-cossin.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15=45-30=60-45=302.(2)=-a-，=(+)-=-(-)，2=(+)+(-)，=12(+)+(-)=+2-2=(+2)-(+

39、).-=(-)+(-)(3)3-=2-6+，6-=2-3+，3+=-23-，4+=-34-.4+=2-4-6.应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 7.和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sin sin+cos(+)=cos cos；cos sin+sin(-)=sin cos；tan tan=tan()(1tan

40、 tan)；(3)倍角公式变形：降幂公式(4)tan tan，tan+tan(或tan-tan)，tan(+)(或tan(-)三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题 8.解决非特殊角求值问题的基本思路有：化非特殊角为特殊角；化为正负相消的项，消去后求值；化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；当有，2，3，4同时出现在一个式子中时，一般将 向2，3(或4)向2转化，再求关于2式子的值9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则3注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等.10.给值(式)

41、求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换常见角的变换有：=(-)+；=+2+-2；2=(+)+(-)；2=(+)-(-)(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等

42、.必要时还要进行估算，如锐角的余弦值为35，由123522，及余弦函数在 0，2上单调递减可知4560，从而2(90，120)，或3(135，180)等.另外，注意三种主要变换：变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有 2=(+)+(-)，=(+)-=(-)+等；变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan4，1=sin2+cos2“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.其中角的变换居核心地位.11.已知三角函数值求角的解题步骤

43、(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角.确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i)已知正切值，常选正切函数；(ii)已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii)若角的范围是 0，2，32，常选正、余弦函数；(iv)若角的范围是2，32或-2，2，常选正弦函数；(v)若角的范围是(0，)或(，2)，常选余弦函

44、数.)(3)结合三角函数值及角的范围求角12.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan2=sin1+cos=1-cossin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin22=1-cos2，cos22=1+cos2计算13.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简4(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子(3

45、)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立考点精析考点精析考考点一点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一一)给角求值给角求值14(2023全国高三专题练习)cos-75的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos-75=cos 45-120后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos-75=co

46、s 45-120=cos45cos120+sin45sin120=22-12+2232=6-24，故选：C.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023全国模拟预测)sin20cos40+sin70sin40=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20cos40+cos20sin40=sin 20+40=32.故选：A16(2023广东湛江统考一模)cos70-cos20cos65=【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角

47、和的余弦公式，可得：cos70-cos20cos65=cos(90-20)-cos20cos65=sin20-cos20cos 45+20=sin20-cos20cos45cos20-sin45sin20=-2.故答案为：-2.17(2023全国高三专题练习)sin220-cos220sin45cos155 1-sin40=.5【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin220-cos220=sin20-cos20sin20+cos20，cos155=-cos25=-cos 45-20，1-sin40=cos220+sin220-2sin20cos20=cos20-s

48、in20=cos20-sin20，所以sin220-cos220sin45cos155 1-sin40=cos20+sin2022cos 45-20=cos20+sin2022 cos45cos20+sin45sin20=cos20+sin2012cos20+sin20=2故答案为：2.(二二)给值给值(式式)求值求值18(2023江西九江统考三模)已知02，且sin=23，cos=-75，则cos(-)=()A.-115B.-1315C.-4 1415D.2 1415【答案】A【分析】先根据02，sin=23，cos=-75求出cos，sin，再利用两角差的余弦公式求cos(-)【详解】解析

49、：02，sin=23，cos=-75，cos=1-sin2=1-29=73，sin=1-cos2=1-725=3 25，cos(-)=coscos+sinsin=73-75+233 25=-115，故选：A.19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0，且cos=13，cos-=2 23，则cos=()A.89B.79C.4 29D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：0，cos=13，sin=2 23，又-0,cos-=2 23-2-0，sin-=-13，cos=cos-=coscos-+sinasin-6=132 23+2 23-

50、13=0，故选：D解法二：0，cos=13，sin=2 23，cos-=sin，即cos-=cos2-0-，02-4因为，为锐角，4，所以4+，又sin(+)=22，所以+=34，故cos=cos34-=cos34cos+sin34sin=1010故选：D.22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tantan=2，cos+=-15，则cos-=()7A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sinsin,coscos，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tantan=sinsincoscos=2cos+=cosc