2024年高考数学专项复习排列组合专题04 数字问题（解析版）.pdf

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1、1专题专题 4 数字问题数字问题例 1由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为()A288B360C480D600例 2罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式其中“”需要 1 根火柴，“”与“X”需要 2 根火柴，若为 0，则用空位表示.（如 123 表示为，405 表示为）如果把 6 根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A87B95C100D103例 3用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成数字不重复且大于3000，小

2、于5421的四位数有（）个A175B174C180D185例 4将数字1、1、2、2、3、3、4、4排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（）A216B72C266D274例 5从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同排法种数为（）A85B95C2040D22802024年高考数学专项复习排列组合专题04 数字问题（解析版）2024年高考数学专项复习排列组合专题04 数字问题（解析版）2例 6由 0，1，2，3，4，5，6，7

3、，8，9 组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（）A7200B6480C4320D5040例 7将 6 个数 2，0，1，9，20，19 将任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数是（）A546B498C516D534例 82016 里约奥运会期间，小赵常看的 6 个电视频道中有 2 个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（）A6 种B24 种C36 种D42 种例 9201

4、9 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立 70 周年，举国同庆.将 2，0，1，9，10 这 5 个数字按照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为（）A72B84C96D120例 10由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（）A36个B42个C48个D120个例 11用数字2、3、4、5、6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A120B72C60D48例 12在 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被 2 整除的数的个数为（）A216B288C312D360例 13在由 0,1,2,3,4,5 所组成的

5、没有重复数字的四位数中,能被 5 整除的有()A512 个B192 个3C240 个D108 个例 14用数字 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数的个数为（）A1260B1320C1200D1140例 15一个三位自然数 abc 的百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当ab且cb时称为“凹数”；若,0,2,3,4,5a b c，且 a，b，c 互不相同，则“凹数”的个数为（）.A20B36C24D30例 16从 1，3，5，7，9 中任取 2 个不同的数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个不同的数字，组成没有重

6、复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为_.(用最简分数作答)例 17 对于数列 nx，若123nxxxx，则称数列 nx为“广义递增数列”，若123nxxxx，则称数列 nx为“广义递减数列”，否则称数列 nx为“摆动数列”.已知数列 na共 4 项，且1,2,3,41,2,3,4iai，则数列 na是摆动数列的概率为_.例 18将 6 个数 2、0、1、9、20、19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数(首位不为 0)，则产生的不同的 8 位数的个数为_.例 19由数字 0，1，2，3，4，5 可以组成_个是 3 的倍数，但不是 5 的倍数的四位数.例 20从 0，2，4，6 中

7、任取 2 个数字，从 1，3，5 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位偶数.例 21 用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有_.例 22由 0，1，2，9 十个数字组成的无重复数字的三位数共_个例 23现有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315 是从小到大排列的第几个数？4（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大

8、到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？例 24用 0，1，2，3，4 这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被 3 整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比 210 大的三位数？1专题 4 数字问题例 1由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为()A288B360C480D600【解析】根据题意，末位数字可以为 1、3、5，有13A种取法，首位数字不能为 0，有14A种取法，再选3 个数字，排在中间，有34A种排法，则五位奇数共有113344288A A A，故选：A例

9、2罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式其中“”需要 1 根火柴，“”与“X”需要 2 根火柴，若为 0，则用空位表示.（如 123 表示为，405 表示为）如果把 6 根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A87B95C100D103【解析】用 6 根火柴表示数字，所有搭配情况如下：1 根火柴和 5 根火柴：1 根火柴可表示的数为 1；5 根火柴可表示的数为 8，和 0 一起，能表示的数共有 4 个（108,180,801,810）.2根火柴和4根火柴：2根火

10、柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有1248C 个.3 根火柴和 3 根火柴：3 根火柴可表示的数为 3、4、6、9，和 0 一起，能表示的数分为 2 类：除 0 外的两个数字相同，可表示的数有1248C 个；除 0 外的两个数字不同，则有24424C 个，所以共有82432个.21 根火柴、1 根火柴和 4 根火柴：即有 1、1、7 组成的数，共有 3 个（117,171,711）.1 根火柴、2 根火柴和 3 根火柴：即由 1,2 或 5 中的一个，3、4、6、9 中的一个数字组成的三位数，共有11324 32 4 3 248C C A 个.2 根火柴、2

11、根火柴、2 根火柴：即由 2 或 5 组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有 2 个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有1236C 个，共有268个.综上可知，可组成的三位数共有48323488103 个.故选：D.例 3用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成数字不重复且大于3000，小于5421的四位数有（）个A175B174C180D185【解析】分以下三种情况讨论：首位数字为3或4，则后面三个数位上的数随便选择，此时，符合条件的数的个数为352120A；首位数字为5，百位数字不是4，则百位数字可以在0、1、2、3中随便选择一个，后面两个数位上的数没有限制，此时，符合

12、条件的数的个数为124448C A；首位数字为5，百位数字为4，则符合条件的数有5401、5402、5403、5410、5412、5413、5420，共7个.综上所述，大于3000，小于5421的四位数的个数为120487175.故选：A.例 4将数字1、1、2、2、3、3、4、4排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（）A216B72C266D274【解析】由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是1、2、3、4的全排列，共44A种，现考虑第一行数字的排列为1,2,3,4，则第二行数字的排列可以是：2,1,4,3、2,3,4,1、2

13、,4,1,3、3,1,4,2、3,4,1,2、3,4,2,1、34,1,2,3、4,3,1,2、4,3,2,1，共9种.由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有4499 24216A 种.故选：A.例 5从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同排法种数为（）A85B95C2040D2280【解析】根据题意，分 2 步进行分析：，先在两个集合中选出 4 个元素，要求字母 C 和数字 4，7 至少出现两个，若字母 C 和数字 4，7 都出现，需要在字母 A，B，D，E，

14、F 中选出 1 个字母，有 5 种选法，若字母 C 和数字 4 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、6、8、9 中选出 1个数字，有 5735 种选法，若字母 C 和数字 7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、6、8、9 中选出 1个数字，有 5735 种选法，若数字 4、7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 2 个字母，有 C5210 种选法，则有 5+35+35+1085 种选法，将选出的 4 个元素全排列，有 A4424 种情况，则一共有 85242040 种不同排法；故选：C例 6由 0，

15、1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（）A7200B6480C4320D5040【解析】第一类，偶数数字取 0先从 1，3，5，7，9 中取 3 个奇数，从 2，4，6，8 中取 1 个偶数，有315440C C 中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位选一个出来排 0，剩下 3 个数字全排列，即有11333354A A A 种排法所以本类满足条件的五位数有40 54=2160个4第二类，偶数数字不取 0，先从 1，3，5，7，9 中取 3 个奇数，从 2，4，6，8 中取 2 个偶数，有325460C

16、C 中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下 4 个数字全排列，即有143472A A 种排法所以本类满足条件的五位数有60 72=4320个综上：这样的五位数个数为2160+4320=6480故选：B例 7将 6 个数 2，0，1，9，20，19 将任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数是（）A546B498C516D534【解析】解：将 2，0，1，9，20，19 的首位不为 0 的排列的全体记为A，记为A为A的元素全数，则555600AA，将A中的 2 的后一项是 0，且 1 的后一项是 9 的排列的全体记为B，A中 2 的后一项是 0，但 1

17、的后一项不是 9 的排列的全体记为C，A中 1 的后一项是 9，但 2 的后一项不是 0 的排列的全体记为D，则454454,4BABCABDA，可得24,96,72BCD，由 B 中排列产生的每一个 8 位数，恰对应 B 中的2 24 个排列（这样的排列中，20 可与“2，0”互换，19 可与“1，9”互换），类似地，由 C 或 D 中排列产生的每个 8 位数，恰对应 C 或 D 中的 2 个排列，因此满足条件的 8 位数的个数为：42BCDABCD342BCDA600 1848 36498，故选：B例 82016 里约奥运会期间，小赵常看的 6 个电视频道中有 2 个频道在转播奥运比赛，若

18、小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第5三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（）A6 种B24 种C36 种D42 种【解析】解：第一步从 4 个没转播的频道选出 2 个共有24A种，再把 2 个报道的频道选 1 个有12A种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A 种故选：B例 92019 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立 70 周年，举国同庆.将 2，0，1，9，10 这 5 个数字按照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为（）A

19、72B84C96D120【解析】先选择一个非 0 数排在首位，剩余数全排列，共有144496CA种，其中 1 和 0 排在一起形成 10 和原来的 10 有重复，考虑 1 和 0 相邻时，且 1 在 0 的左边，和剩余数字共有 4！=24 种排法，其中一半是重复的，故此时有 12 种重复.故共有961284种.故选：B.例 10由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（）A36个B42个C48个D120个【解析】分两类：一、若五位数的个位数是0，则有14 3 2 124n 种情形；二、若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有32 16 种情

20、形，依据分步计数原理可得23 618n 种情形由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为1224 1842nnn，应选答案 B 例 11用数字2、3、4、5、6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A120B72C60D48【解析】由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在2、4、6种任选一个数，有13C种选择，6其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为14343 2472C A .故选：B.例 12在 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被 2 整除的数的个数为（）A216B288C312D360【解析】由能够被 2 整除，可知该六

21、位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论：当末位数字为 0 时，其余五个数为任意全排列，即有55A种；当末位数字为 2 或 4 时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有11424 4C C A，综上可知，共有5114524 45 4 3 2 12 4 4 3 2 1120 192312AC C A 个.故选：C.例 13在由 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,能被 5 整除的有()A512 个B192 个C240 个D108 个【解析】试题分析：由于能被 5 整除的数，其个位必为 0 或 5，由此分两类：第一类：个位为 0 的，有个；第二类：个位为 5

22、的，再分两小类：第 1 小类：不含 0 的，有个，第 2 小类：含 0 的，有个，从而第二类共有 48 个；故在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的个数有 60+48=108 个，故选 D例 14用数字 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数的个数为（）A1260B1320C1200D1140【解析】当没有偶数时，这样的四位数的个数为45120A 当含有一个偶数时这个偶数为 0 时，这样的四位数的个数为1335180A A 当这个偶数为2,4,6,8其中一个时，这样的四位数的个数为113

23、445960C A A 7即满足题意的四位数的个数为120 1809601260故选：A例 15一个三位自然数 abc 的百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当ab且cb时称为“凹数”；若,0,2,3,4,5a b c，且 a，b，c 互不相同，则“凹数”的个数为（）.A20B36C24D30【解析】根据题意，分 2 步进行分析：（1）在0,2,3,4,5五个数中任取 3 个数，来组成“凹数”，有3510C 种取法，（2）将取出的 3 个数中最小的数放在十位，其余 2 个数放在百位，个位，有222A 种情况，则“凹数”的个数为10 220个.故选：A例 16从 1，3，5，7，9

24、 中任取 2 个不同的数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为_.(用最简分数作答)【解析】若选出的4个数中有0，则组成的四位无重复的数字共有21135333540C C C A 个，其中奇数有2112253222240C C C C A 个；若选出的4个数中无0，则组成的无重复数字的四位数有224534720C C A 个，其中奇数有22135323360C C C A 个，所以，组成的四位数为奇数的概率为240+36060010=540+720126021P.故答案为：1021.例17 对于数列 nx，若123nxxxx，

25、则称数列 nx为“广义递增数列”，若123nxxxx，则称数列 nx为“广义递减数列”，否则称数列 nx为“摆动数列”.已知数列 na共 4 项，且1,2,3,41,2,3,4iai，则数列 na是摆动数列的概率为_.【解析】根据题意可知，1,2,3,41,2,3,4iai，则四位数字组成的数列有以下四类：（1）由单个数字组成：共有 4 个数列；8（2）由 2 个数字组成：则共有246C 种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由 1 个数字和 3 个相同数字组成 4 个数的数列（如 1222,2111 等），则有1248C 个数列；分别由 2 个相同数字组成的 4 个数的数列（如 1122

26、等）共有 6 个数列，因而此种情况共有248684C种；（3）由 3 个数字组成：共有344C种数字搭配（如 1123 等），相同数字有 3 种可能，则共有4 3 12144 个数列；（4）由 4 个数字组成：共有444 3 2 124A 个数列.因而组成数列的个数为484 14424256个数列.其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为：（1）由单个数字组成：4 个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有 4 个数列；（2）由 2 个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为2422236C 个；（3）由 3 个数字组成：114 3224C C 个；

27、（4）由 4 个数字组成：则有 2 个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为66个.所以“摆动数列”的个数为25666190个，因而数列 na是摆动数列的概率为19095256128，故答案为：95128.例 18将 6 个数 2、0、1、9、20、19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数(首位不为 0)，则产生的不同的 8 位数的个数为_.【解析】2、0、1、9、20、19 的首位不为 0 的排列的全体记为 A.易知|A|=55！=600(这里及以下，|X表示有限集 X 的元素个数).将 A 中 2 的后一项是 0，且 1 的

28、后一项是 9 的排列的全体记为 B；A 中 2 的后一项是 0，但 1 的后一项不是 9 的排列的全体记为 C；A 中 1 的后一项是 9，但 2 的后一项不是 0 的排列的全体记为 D.易知|B|=4！，|B|+|C|=5！，|B|+|D|=44！，即|24B，|96C，|72D.由 B 中排列产生的每个 8 位数，恰对应 B 中的 22=4 个排列(这样的排列中，20 可与“2，0”互换，19 可与“1，99”互换)类似地，由 C 或 D 中排列产生的每个 8 位数，恰对应 C 或 D 中的 2 个排列因此满足条件的 8 位数的个数为|()|42BCDABCD3|422BCDA600 18

29、48 36498.例 19由数字 0，1，2，3，4，5 可以组成_个是 3 的倍数，但不是 5 的倍数的四位数.【解析】一个数是 3 的倍数需满足各位数之和是 3 的倍数，一个数是 5 的倍数需满足个位是 0 或者 5，从数字 0，1，2，3，4，5 中选四个数字出来，其中满足四个数字是 3 的倍数的有：0123，0135，0234，0345，1245当选择的数字是 0123 时，能够组成33318A 个数，其中个位数是 0 的有6个，所以满足题意的有18612个当选择的数字是 0135 时，能够组成33318A 个数，其中个位数是 0 或 5 的有6410个，所以满足题意的有18 108个

30、当选择的数字是 0234 时，能够组成33318A 个数，其中个位数是 0 的有6个，所以满足题意的有18612个当选择的数字是 0345 时，能够组成33318A 个数，其中个位数是 0 或 5 的有6410个，所以满足题意的有18 108个当选择的数字是 1245 时，能够组成4424A 个数，其中个位数是 5 的有6个，所以满足题意的有24618个综上：共有128 128 1858 个故答案为：58例 20从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，从 1，3，5 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位偶数.【解析】当用 0 时，0 只能在个位，十位，百位三个位置之一.10当

31、个位为 0 时，从 2,4,6 中再取 1 个数字(3 种方法），从 1,3,5 中任取 2 个数字（即排除 1 个，有 3 种不同的方法），将这取得的 3 个数字在十百千位任意排列，共有 3!=6 中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有 336=54 种方法；当十位或百位为 0 时（2 种不同方法），从 2,4,6 中再取 1 个数字放置在个位(3 种方法），然后从 1,3,5 中任取 2 个数字（即排除 1 个，有 3 种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有 2!=2 中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有 2332=36 种方法；当没有用 0 时，从 2，4，6 中任取 1

32、个数字放置在个位(有 3 中不同的方法）；在从其余的 2 个非零偶数字中任取一个数字(2 种不同方法），从 1，3，5 中任取 2 个数字（有 3 种不同方法)，将这 3 个数字在除个位之外的十百千 3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3236=108 种根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数 54+36+108=198 个，故答案为：198.例 21用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有_.【解析】用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，共有55120A 个；三个奇数中仅有两个相邻；

33、其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与 2 和 4 全排列共有333336AA个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入 2 和 4 形成的三个空内共有232312AA个；故符合条件的有120123672；故答案为：72例 22由 0，1，2，9 十个数字组成的无重复数字的三位数共_个【解析】因为百位不能为0，所以百位共有9种情况，再在剩下的9个数中，任选2个安排在十位与个位，有2972A 种情况，根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有9 72648个.故答案为：648.例 23现有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 共十个数字.11（1

34、）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315 是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有12999 72648A A 个；（2）当百位为 1 时，共有299 872A 个数；当百位为 2 时，共有299 872A 个数；当百位为 3 时，共有118412AA个数，所以 315 是第7272

35、 12156个数；（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为 0,2,4,6,8，千位上不能为 0，当个位上为 0 时，共有39504A 个数；当个位上是 2,4,6,8 中的一个时，共有1218841792A A A 个数，所以无重复的四位偶数共有504 17922296个数；（4）当选出的偶数为 0 时，共有1335180A A 个数，当选出的偶数不为 0 时，共有134454960C C A 个数，所以这样的四位数共有960 1801140个数；（5）当挑出两个数时，渐减数共有210C个，当挑出三个数时，渐减数共有310C个，当挑出十个数时，渐减数共有1010C个，所以这样的数共有23101

36、001101010101021013CCCCC个.例 24用 0，1，2，3，4 这五个数字，可以组成没有重复数字的：12（1）三位偶数有多少个？（2）能被 3 整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比 210 大的三位数？【解析】（1）个位是0时，有2412A 个；个位是2时，有3 39 个；个位是4时，有3 39 个.故共有30个三位偶数.（2）能被 3 整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况.共有：12123322223320CACAAA个.（3）当百位是2时，共有112328AA个；当百位是3时，共有2412A 个；当百位是4时，共有2412A 个；故共有32个.