专题13 解三角形-2024高考数学母题题源解密（全国通用）含解析.docx

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1、专题13 解三角形-2024高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题13 解三角形考向一 正余弦定理及三角形面积公式【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】 在中，（1）求； （2）若，且的面积为，求的周长【试题解析】【小问1详解】解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，所以，的周长为.【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现试题难度不大，多为低档题，重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面

2、积公式等.【得分要点】（1） 一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；（2） 应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；（3） 注意边或角的限制范围.考向二 正余弦定理的综合应用【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）若，求C； （2）证明：【试题解析】【小问1详解】由，可得，而，所以，即有，而，显然，所以，而，所以【小问2详解】由可得，再由正弦定理可得，然后根据余弦定理可知，化简得：，故原等式成立【命题意图】本题考查三角形内角和定理及两角差的正弦公式.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的热

3、点常见的命题角度有：（1）正弦定理及其变形；（2）余弦定理及其变形；（3）三角形面积公式；（4）正余弦定理的综合应用.【得分要点】（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；（2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；（3）注意边或角的限制范围.一、单选题1（北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题）在中，若，则实数的取值范围是（）ABCD2（2022江西赣州市第三中学模拟预测（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（）ABC3D3（2022河南模拟预测（文）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则（）AB5C8D4（2022甘肃白银

4、三模（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（）ABC1D25（2022四川遂宁模拟预测（文）在ABC中，“”是“ABC是锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（2022江西赣州市第三中学模拟预测（理）已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（）ABCD7（2022上海黄浦模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，边上的高的取值范围为（）.ABCD8（2022山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是

5、巧妙，可以回避现代测量器械的应用现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（）ABCD二、填空题9（2022浙江湖州模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为_10（2022全国模拟预测（文）若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则_11（2022河南安阳模拟预测（理）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则_12（2

6、022湖北鄂南高中模拟预测）的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为_.三、解答题13（2022上海华师大二附中模拟预测）设，.(1)求的单调递增区间；(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若，求面积的最大值.14（2022湖北天门市教育科学研究院模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的值； (2)若，求的面积.15（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.16（2022上海虹口二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和

7、为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.(1)若，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？专题13 解三角形考向一 正余弦定理及三角形面积公式【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】 在中，（1）求； （2）若，且的面积为，求的周长【试题解析】【小问1详解】解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，所以，的周长为.【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.【

8、命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现试题难度不大，多为低档题，重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面积公式等.【得分要点】（4） 一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；（5） 应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；（6） 注意边或角的限制范围.考向二 正余弦定理的综合应用【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）若，求C； （2）证明：【试题解析】【小问1详解】由，可得，而，所以，即有，而，显然，所以，而，所以【小问2详解】由可得，再由正弦定理可得，然后根据余弦定理可知，化简得：，故原等式成立【命题意图】

9、本题考查三角形内角和定理及两角差的正弦公式.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）正弦定理及其变形；（2）余弦定理及其变形；（3）三角形面积公式；（4）正余弦定理的综合应用.【得分要点】（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；（2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；（3）注意边或角的限制范围.一、单选题1（北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题）在中，若，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围.【详解】由，故.故选：A2（2022江西赣

10、州市第三中学模拟预测（文）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（）ABC3D【答案】A【解析】【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值.【详解】，.故选：A.3（2022河南模拟预测（文）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则（）AB5C8D【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案【详解】由题意可知， ，得 ，由余弦定理可得： 整理得： ， 故选：A4（2022甘肃白银三模（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（）ABC1D2【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理可求得

11、，再根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以的面积为.故选：C.5（2022四川遂宁模拟预测（文）在ABC中，“”是“ABC是锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由不能得到是锐角三角形，但是锐角三角形,则，根据必要不充分条件的定义，即可求解.【详解】由正弦定理可知，不能得到是锐角三角形,但是锐角三角形,则.故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件，故选:B6（2022江西赣州市第三中学模拟预测（理）已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（）ABCD【答案】A【解析】【分

12、析】由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积【详解】因为，由正弦定理得，所以（舍去），三角形周长为5，则，由等腰三角形性质知边上的高为，所以三角形面积为故选：A7（2022上海黄浦模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，边上的高的取值范围为（）.ABCD【答案】C【解析】【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可.【详解】因为为锐角三角形，设边上的高为，所以，解得由正弦定理可得，所以，因为，所以因为，所以，所以，所以，所以高的取值范围为.故选：C.8（2022山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著

13、作，其中第一题是测量海岛的高一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.【详解】连接FD，并延长交AB于M点，如图，因为在中，所以；又因为在中，所以，所以，所以，即，故选：A二、填空题9（2022浙江湖州模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这

14、就是著名的“秦九韶-海伦公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为_【答案】【解析】【分析】将三边长分别代入公式即可求解.【详解】解：由题意得故答案为：10（2022全国模拟预测（文）若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则_【答案】或【解析】【分析】利用正弦定理求出或，即得解.【详解】解：由正弦定理及，可得，因为，所以，又，所以，所以或，所以或故答案为：或11（2022河南安阳模拟预测（理）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则_【答案】【解析】【分析】由正弦定理角化边，即可得到，从而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：

15、因为，即，由正弦定理可得，又，即，即，由余弦定理，即，所以，所以；故答案为：12（2022湖北鄂南高中模拟预测）的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，进而可得，即得.【详解】，则，由正弦定理，得，故，展开化简得：，故，即，外接圆直径，故外接圆半径为.故答案为：.三、解答题13（2022上海华师大二附中模拟预测）设，.(1)求的单调递增区间；(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若，求面积的最大值.【答案】(1)和(2)【解析】【分析】（1）化简，结合与正弦函数的单调性令或，求解即可；（2）结合锐角三角形及可得，利用余弦定理可得，再根据

16、基本不等式求得的范围，进而由三角形面积公式求解.(1)由题意，因为，所以，由正弦函数的单调性可知，当或，即或时，函数递增，所以的单调递增区间是和.(2)由题意，所以，因为锐角，则，故，由余弦定理，故，由基本不等式，故，当b=c时等号成立因此，当时，面积取得最大值.14（2022湖北天门市教育科学研究院模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的值； (2)若，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由三角形的内角和结合二倍角公式可得出答案.（2）由正弦定理可得，再由余弦定理代入可求出的值，最后由三角形的面积公式可求出答案.(1)由得: ，解得：或.又因为，所以，则.(2)

17、由正弦定理及已知条件可得，即，由余弦定理：，得：，所以，所以，所以.15（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.【答案】(1) (2)6或【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理(1)，则，即，则(2)ABC的面积为，则，根据题意得，则或若，则ABC为等边三角形，的周长为6；若，则，即，的周长为的周长为6或16（2022上海虹口二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿

18、化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.(1)若，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得的大小，再根据正弦定理可得，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积（2）设，根据直角三角形中的关系可得关于的表达式，从而得到平行四边形的面积表达式，从而根据三角函数的最值求解即可(1)由余弦定理，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积(2)设，则，故，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小