2024年高考数学专项复习常考二级结论及其应用（含答案）.pdf

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1、常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的,不仅如此,试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了“题型+模型”的全新教学法,本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以便同学们在解答高考题时做到准确、快

2、捷.结论一图2-11.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:ABAB=AAB=BA IB=IAB=I,其中I为全集.(1)当A=B时,显然成立;(2)当AB时,V e n n图如图2-1所示,结论正确.2.子集个数的问题:若一个集合A含有n(n N*)个元素,则集合A的子集有2n个,非空子集有2n-1个.真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.理解:A的子集有2n个,从每个元素的取舍来理解,例如每个元素都有两种选择,则n个元素共有2n种选择.该结论需要掌握并会灵活应用.!1 设集合A=(x,y)x24+y21 6=1,B=(x,y)|y=3x,则AB的子集的个数是().A.4B.3C.2

3、D.1变式1 已知集合A=x|x2-3x+2=0,x R,B=x|0 x0且a1)互为反函数,两函数图像在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0,f(x0)与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图像上.!5 设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=l n(2x)上,则|P Q|的最小值为().A.1-l n 2B.2(1-l n 2)C.1+l n 2D.2(1+l n 2)变式1 若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2 l o g2(x-1)=5,则x1+x2=().A.52B.3C.72D.4结论五函数周期性问题:已知定义在R上的函数f(x),若

4、对任意的xR,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(2)如果f(x+a)=1f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.证明:(1),(2),(3)略.(4)若f(x)=f(x+

5、a)+f(x-a)则f(x+a)=f(x+2a)+f(x)+得,f(x)+f(x+a)=f(x+a)+f(x-a)+f(x+2a)+f(x),即f(x-a)+f(x+2a)=0,f(x+2a)=-f(x-a),所以f(x+6a)=f(x+4a)+2a=-f(x+4a)-a=-f(x+3a)=-f(x+a)+2a=f(x+a)-a=f(x).故f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.!6 已知函数f(x)满足:f(5)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y R),则f(2 0 1 5)=.变式1 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=l o g2(1-x)(x0)f(

6、x-1)-f(x-2)(x0),则f(2 0 1 7)=().A.-1B.0C.1D.2变式2 已知定义在R上的函数f(x)满足f x+32=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 0 1 6)+f(2 0 1 7)=().A.-2B.-1C.0D.1常考二级结论及其应用?4结论六复合函数单调性:已知函数y=fg(x)是定义在D上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=fg(x)在D上是增函数;若f(x)与g(x)的单调性相反,则y=fg(x)在D上是减函数,即“同增异减”.特别地,若f(x)是 定义域D上的单调函数,且方程ff

7、(x)=x在D上有解为x0,则f(x0)=x0.!7 对于定义域为0,1的连续函数f(x),如果同时满足以下3个条件:(1)对任意的x0,1总有f(x)0;(2)f(1)=1;(3)若x10,x20,x1+x21,都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为理想函数.若函数f(x)为理想函数,假定存在x00,1,使得f(x0)0,1,且ff(x0)=x0.求证:f(x0)=x0.变式1 设函数f(x)=ex+x-a(a R,e为自然对数的底数).若曲线y=s i nx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0)=y0,则a的取值范围是().A.1,eB.e-1,1C.1,1+

8、eD.e-1,e+1变式2 若函数y=l o ga(x2-a x+1)(a0且a1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是.结论七二次函数解析式的三种表达式.二次函数f(x)=a x2+b x+c(一般式)a x+b2a2+4a c-b24a(a0,x R)(顶点式)a(x-x1)(x-x2)(双根式).二次函数的性质.(1)当a0时,f(x)在-,-b2a上为减函数,在-b2a,+上为增函数,且在x=-b2a处取得最小值为f-b2a=4a c-b24a,无最大值;(2)当a0,则x0满足关于x的方程a x=b的充要条件是().A.x R,12a x2-b x12a x20-b x0B.

9、x R,12a x2-b x12a x20-b x0C.x R,12a x2-b x12a x20-b x0D.x R,12a x2-b x12a x20-b x0变式1 若函数f(x)=(1-x2)(x2+a x+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是.变式2 定义m i nf(x),g(x)=f(x),f(x)g(x)g(x),f(x)g(x).若函数f(x)=x2+t x+s的图像经过两点(x1,0),(x2,0),且存在整数m,使得mx1x2m+1成立,则().A.m i nf(m),f(m+1)14C.m i nf(m),f(m+1)=14D.m i nf(m),f(m

10、+1)14变式3 设m a xf(x),g(x)=f(x),f(x)g(x)g(x),f(x)g(x),若函数h(x)=x2+p x+q(p,qR)的图像经过不同的两点(,0),(,0),且存在整数n,使得n1B.m a xh(n),h(n+1)12D.m a xh(n),h(n+1)-1),当且仅当x=0时取等号;(2)指数形式:exx+1(x R),当且仅当x=0时取等号.证明:(1)令f(x)=l n(x+1)-x(x-1),则f(x)=1x+1-1=-xx+1.令f(x)=0,解得x=0.f(x),f(x)随x的变化如表2-1所示.表2-1x(-1,0)0(0,+)f(x)+0-f(x

11、)极大值所以f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,且当x=0时,f(x)有最大值为0.即x-1,l n(x+1)-xf(0)=0,所以l n(x+1)x(x-1)恒成立,当且仅当x=0时取等号.(2)令g(x)=ex-x-1(x R),则g(x)=ex-1.令g(x)=0,解得x=0.g(x),g(x)随x的变化如表2-2所示.表2-2x(-,0)0(0,+)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数,且当x=0时g(x)有最小值为0.即x R,ex-x-1g(0)=0.所以exx+1(xR)恒成立,当且仅当x=0时取等号.常考二

12、级结论及其应用?6!9 已知函数f(x)=1l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().A.B.C.D.变式1 已知函数f(x)=ex,x R.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2 设函数f(x)=1-e-x.求证:当x-1时,f(x)xx+1.结论九函数的对称性:已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a+b2轴对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于直线x=a轴对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图像关于点a+b2,c2

13、中心对称,特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图像关于点(a,b)中心对称.!1 0 已知函数f(x)=Ac o s(x+)的图像如图2-2所示,f2=-23,则f(0)=().A.-23B.23C.-12D.12图2-2临门一脚(含密押三套卷)(理科版)7变式1 已知函数y=g(x)的图像由f(x)=s i n 2x的图像向右平移(00,0).若f(x)在区间6,2上具有单调性,且f2=f2 3=-f6,则f(x)的最小正周期为.结论十三点共线结论:设平面上O,A,B三点不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数与,使得O P=O A+O B,且

14、+=1.特别地,当P为线段A B的中点时,O P=12O A+12O B.证明:先证必要性.如图2-4所示,因为P,A,B三点共线,所以A PA B,即存在t R,使得A P=tA B,故O P-O A=tO B-O A(),所以O P=O A+tO B-tO A=(1-t)O A+tO B.设1-t=,t=,则O P=O A+O B,且+=1.再证充分性.若O P=O A+O B,且+=1,则(+)O P=O A+O B,即O P-O A=O B-O P,也即A P=P B.所以A PP B,故A,P,B三点共线.综上所述,P,A,B三点共线的充要条件是存在实数与,使得O P=O A+O B

15、,且+=1.图2-4!1 1 在A B C中,A B=c,A C=b.若点D满足B D=2D C,则AD=().A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c变式1 若在直线l上存在不同的三点A,B,C,使得关于实数x的方程x2O A+xO B+B C=0有解(点O不在直线上),则此方程的解集为().A.B.-1,0C.-1D.-1+52,-1-52变式2 已知两个单位向量a,b的夹角为6 0,c=t a+(1-t)b,若bc=0,则t=.常考二级结论及其应用?8结论十一1.若向量O A,O B不共线,且点P为线段A B的中点,则O AO B=|O P|2-|P A|

16、2=|O P|2-|P B|2=|O P|2-A B22;2.在矩形A B C D所在平面内,向量|O A|2+|O C|2=|O B|2+|O D|2(点O为平面内一点).证明:1.如图2-5所示,在O A B中,因为点P为线段A B的中点,所以P A+P B=0,故O AO B=O P+P A()O P+P B()=O P+P A()O P-P A()=|O P|2-|P A|2=|O P|2-|P B|2=|O P|2-A B22.2.如图2-6所示,设矩形A B C D的对角线A C与B D的交点为点P,则点P为A C和B D的中点.因为O A+O C=2O P,O A-O C=C A

17、,则(O A+O C)2+(O A-O C)2=4|O P|2+|C A|2,即2(|O A|2+|O C|2)=4|O P|2+|C A|2,所以|O A|2+|O C|2=2|O P|2+|C A|22.同理,|O B|2|O D|2=2|O P|2+|B D|22.又|A C|=|B D|,所以|O A|2+|O C|2=|O B|2+|O D|2.图2-5图2-6!1 2 在A B C中,点M是B C的中点,AM=3,B C=1 0,则A BA C=.变式1 在A B C中,设点P0是A B边上一定点,满足P0B=14A B,且对于A B边上任一点P,恒有P BP CP0BP0C,则(

18、).A.A B C=9 0 B.B A C=9 0 C.A B=A CD.A C=B C变式2 点P是棱长为1的正方体A B C D A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则P AP C1的取值范围是().A.-1,-14B.-12,-14C.-1,0D.-12,0变式3 已知圆M:x2+(y-1)2=1,圆N:x2+(y+1)2=1,直线l1,l2分别过圆心M,N,且l1与圆M相交于A,B两点,l2与圆N相交于C,D两点,点P是椭圆y24+x23=1上的任意一动点,则P AP B+P CP D的最小值为.!1 3 在平面上,A B1A B2,O B1=O B2=1,A P=A B1+

19、A B2.若O P0且b1,b,r为常数)的图像上,求r的值.变式1 已知等比数列an的前n项和Sn=t5n-2-15,n N*,则实数t=().A.4B.5C.45D.15变式2 设f(n)=3+33+35+37+32n+9n(),则f(n)=.结论十五已知数列an的前n项和为Sn,前n项乘积为Tn.(1)若an为等差数列,公差为d,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等差数列,公差为n2d;(2)若an为等比数列,公比为q,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(当n为偶数时,q-1),公比为qn;(3)若an为等比数列,公比为q,则Tn,T2nTn,T3nT2n,仍为等

20、比数列,公比为qn2.临门一脚(含密押三套卷)(理科版)1 1 !1 8 设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=().A.2B.73C.83D.3变式1 设等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,S4=1 5,则S6=().A.3 1B.3 2C.6 3D.6 4变式2 设Sn是等差数列an的前n项和,若S4S8=13,则S8S1 6=().A.31 0B.13C.19D.18结论十六1.已知圆O的方程为(x-m)2+(y-n)2=R2,点P(a,b),直线l:(a-m)(x-m)+(b-n)(y-n)=R2.(1)若点P在圆O上,则直线l与圆O相切,点P为切点,l为切

21、线.(2)若点P在圆O外,则直线l与圆O相交,两交点分别为过点P作圆的两切线的切点,l为切点弦所在的直线.(3)若点P在圆O内(不是圆心),则直线l与圆O相离,圆心到直线l的距离d满足R2=|O P|d.2.过圆或圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程.(1)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.(2)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 xa2+y0yb2=1.(3)过抛物线C:y2=2p x(p0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).3.已知点M(

22、x0,y0),抛物线C:y2=2p x(p0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中点M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.理解:(1)求过圆锥曲线上(或外)一点的切线方程时,可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题套路(联立方程,看判别式).(2)在求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程时,应注意理解如下两点:所求切线一定有两条;设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.!1 9

23、过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线A B的方程为().A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0变式1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线a x+b y=1与圆O的位置关系是().A.相切B.相交C.相离D.不确定变式2 若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点1,12作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B两点,直线A B恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .常考二级结论及其应用?1 2 结论十七图2-1 01.在椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)中.(1)如图2-7所示,

24、若直线y=k x(k0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l,有ll,设其斜率为k0,则k0k=-b2a2.(2)如图2-8所示,若直线y=k x与椭圆E交于A,B两点,点P为椭圆上异于A,B的点,若直线P A,P B的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2=-b2a2.(3)如图2-9所示,若直线y=k x+m(k0且m0)与椭圆E交于A,B两点,点P为弦A B的中点,设直线P O的斜率为k0,则k0k=-b2a2.注:(1)常变形为:椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点(x0,y0)处的切线方程为x0 xa2+y0yb2=1;(3)常变形为:椭圆x2a2+y2b2=1内

25、以任意一点(x0,y0)为中点的弦A B的斜率k=-b2a2x0y0.图2-7 图2-8 图2-92.在双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,类比上述结论有:(1)k0k=b2a2;(2)k1k2=b2a2;(3)k0k=b2a2.3.在抛物线C:y2=2p x(p0)中类比1(3)的结论有k=py0(y00).证明:1.(1)首先由椭圆的对称性知ll.设A(x1,y1),B(x2,y2),由结论十六3知,直线l的方程为x1xa2+y1yb2=1,则k0=-b2x1a2y1.又k=y1x1,则k0k=y1x1-b2x1a2y1=-b2a2(切线问题).(2)设A(x0,y0),则B

26、(-x0,-y0),P(x,y),xx0,则x20a2+y20b2=1,x2a2+y2b2=1,则x2-x20a2+y2-y20b2=0,所以k1k2=y-y0 x-x0y+y0 x+x0=y2-y20 x2-x20=-b2a2(中心弦问题).(3)如图2-1 0所示,联结B O并延长,交椭圆E于另一点Q,联结A Q,因为点P为A B的中点,由椭圆的对称性知点O为B Q的中点,则O P为B A Q的中位线,所以k0=kA Q.又k=kA B,所以由结论十七1(2)知,kA QkA B=-b2a2,即k0k=-b2a2(中点弦问题).2.双曲线与抛物线中的相关结论请读者们自己证明.临门一脚(含密

27、押三套卷)(理科版)1 3 !2 0 直线m与椭圆x22+y2=1分别交于点P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线O P的斜率为k2,则k1k2的值为().A.2B.-2C.12D.-12变式1 过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线相交于P,Q两点,那么线段P Q中点的轨迹方程是().A.y2=2x-1B.y2=2x-2C.y2=-2x+1D.y2=-2x+2!2 1 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若A B的中点坐标为(1,-1),则E的方程为().A.x24 5+y23 6=1B.x2

28、3 6+y21 8=1C.x22 7+y21 8=1D.x21 8+y29=1变式1 椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线P A2的斜率的取值范围是-2,-1,那么直线P A1的斜率的取值范围是().A.12,34B.38,34C.12,1D.34,1变式2 如图2-1 1所示,在平面直角坐标系xO y中,过坐标原点的直线交椭圆x24+y22=1于P,A两点,其中点P在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为点C,联结A C,并延长交椭圆于点B,设直线P A的斜率为k.对任意k0,求证:P AP B.图2-1 1结论十八在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,

29、曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线P A与直线P B的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线A B的斜率为定值.(1)如图2-1 2所示,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),定点P(x0,y0)(x0y00)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,且满足kP A+kP B=0,则直线A B的斜率kA B为定值b2x0a2y0.(2)如图2-1 3所示,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a,b0),定点P(x0,y0)(x0y00)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,

30、且满足kP A+kP B=0,则直线A B的斜率kA B为定值-b2x0a2y0.(3)如图2-1 4所示,已知抛物线y2=2p x(p0),定点P(x0,y0)(x0y00)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,且满足kP A+kP B=0,则直线A B的斜率kA B为定值-py0.常考二级结论及其应用?1 4 图2-1 2 xyPBAO图2-1 3 xPBAOy图2-1 4下面以双曲线为例给出证明,椭圆与抛物线中的相关证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线P A的方程为y=k(x-x0)

31、+y0,令m=y0-k x0,联立方程y=k x+mx2a2-y2b2=1,整理得(b2-a2k2)x2-2a2k mx-a2m2-a2b2=0,则x1x0=-a2m2+a2b2b2-a2k2,解得x1=-a2(y0-k x0)2+a2b2(b2-a2k2)x0,同理x2=-a2(y0+k x0)2+a2b2(b2-a2k2)x0.故直线A B的斜率kA B=y2-y1x2-x1=(-k x2+y0+k x0)-(k x1+y0-k x0)x2-x1=2k x0-k(x1+x2)x2-x1=-b2x0a2y0为定值.!2 2 已知椭圆C:x24+y23=1,点A为椭圆上的定点,若其坐标为A1,

32、32,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线A E的斜率与A F的斜率互为相反数.求证:直线E F的斜率为定值,并求出这个定值.变式1 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线P A,P B的斜率分别为kP A,kP B,且满足kP A+kP B=0.求证:直线A B的斜率kA B为定值,并求出该定值.临门一脚(含密押三套卷)(理科版)1 5 结论十九AA1xyOB图2-1 5若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.具体结论及证明如下:(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上异于右顶点的两动点A,B,

33、以A B为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lA B过定点a2-b2a2+b2a,0.同理,当以A B为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lA B过定点-a2-b2a2+b2a,0.(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上异于右顶点的两动点A,B,以A B为直径的圆经过右顶点(a,0),则 直 线lA B过 定 点a2+b2a2-b2a,0.同 理,对 于 左 顶 点(-a,0),则 定 点为-a2+b2a2-b2a,0.(3)对于抛物线y2=2p x(p0)上异于顶点的两动点A,B,若O AO B=0,则弦A B所在直线过定点(2p,0).同理,抛物线x2=2p y(p0)

34、上异于顶点的两动点A,B,若O AO B,则弦A B过定点(0,2p).下面以椭圆为例给出证明,双曲线和抛物线的证明方法可参考本结论后面的例题和变式.证明:如图2-1 5所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(a,0),设直线l的方程为x=t y+m(ma).联立x2a2+y2b2=1x=t y+m,消x得(a2+b2t2)y2+2b2m t y+b2m2-a2b2=0,=(2b2m t)2-4(a2+b2t2)(b2m2-a2b2)0y1+y2=-2b2m ta2+b2t2y1y2=b2(m2-a2)a2+b2t2 (*)因为以A B直径的圆过椭圆的右顶点A1,所以A1AA1B=0

35、,即(x1-a,y1)(x2-a,y2)=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0,(t y1+m)(t y2+m)-at(y1+y2)+2m+a2+y1y2=0,整理得(t2+1)y1y2+(m-a)t(y1+y2)+(m-a)2=0.将式(*)代入上式得(t2+1)b2(m2-a2)a2+b2t2+(m-a)t-2b2m ta2+b2t2+(m-a)2=0,化简得m=(a2-b2)aa2+b2,因此直线l过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理可证,若以A B为直径的圆过左顶点(-a,0),则l过定点-a(a2-b2)a2+b2,0.类比椭圆,对于双曲线x2a2-y2b2=1

36、(a,b0)上异于右顶点的两动点A,B,若以A B为直径的圆过右顶点(a,0),则lA B过 定 点a(a2+b2)a2-b2,0.同 理,若 该 圆 过 左 顶 点(-a,0),则lA B过 定点-a(a2+b2)a2-b2,0.下面以一道例题和三道变式题来说明一下该结论.常考二级结论及其应用?1 6 !2 3 已知椭圆x24+y23=1,直线l:y=k x+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以A B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.变式1 已知抛物线y2=2p x(p0)上异于顶点的两动点A,B满足以A B为直径的圆过顶点.求证:A B所在的

37、直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2 如图2-1 6所示,点O为坐标原点,直线l在x轴上的截距为a(a0),且交抛物线y2=2p x(p0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,当a=2p时,求MON的大小.图2-1 6变式3 已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得A C B=9 0,则a的取值范围为.临门一脚(含密押三套卷)(理科版)1 7 结论二十A B是过抛物线y2=2p x(p0)焦点F的弦(焦点弦),过点A,B分别作准线l:x=-p2的垂线,垂足分别为点A1,B1,点E为A1B1的中点.(1)如图2-1 7所示,以A B为直径的圆与准线l相切于点

38、E;(2)如图2-1 8所示,以A1B1为直径的圆与弦A B相切于点F,且E F2=A1AB B1;(3)如图2-1 9所示,以A F为直径的圆与y轴相切.图2-1 7 图2-1 8 图2-1 9证明:(1)如图2-1 7所示,由抛物线的定义知,AA1=A F,B B1=B F,设点P为弦A B的中点,则E P=AA1+B B12=A B2,故点E在以A B为直径的圆上.又E PA A1,所以E PA1B1,故准线与圆P相切,切点为E.(2)如图2-1 8所示,联结A1F,B1F,由抛物线定义知,A A1=A F,所以A A1F=A F A1.同理B B1F=B F B1.又因为A A1B B

39、1,所以B1B F+A1A F=1 8 0,故2 A F A1+2 B F B1=1 8 0,即B1F A1=9 0,亦即A1FB1F.因此点F在以A1B1为直径的圆上,则E A1=E F=E B1,所以B F E=E F B1+B F B1=E B1F+B B1F=9 0,即E FB F,所以E FA B,故以A1B1为直径的圆与弦A B相切于点F.结合本结论(1)可知,A EB E.又在R t A E B中,E FA B,所以R t B E F R t E A F,即B FE F=E FA F,所以E F2=A FB F=AA1B B1.(3)如图2-1 9所示,设准线与x轴的交点为F1,

40、A F的中点为P,过点P作P Qy轴,垂足为点Q,延长P Q交准线l于点P1,则由点P为A F的中点知,P P1=A A1+F F12=A A12+p2,即P Q=A A12=A F2,所以点Q在以A F为直径的圆上.又P Qy轴,所以以A F为直径的圆与y轴相切,切点为Q.!2 4 已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB=0,则k=().A.12B.22C.2D.2变式1 过抛物线y2=2p x(p0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N两常考二级结论及其应用?1 8 点,自点M,N向直线l:x=-a作垂线

41、,垂足分别为点M1,N1.当a=p2时,求证:AM1AN1.结论二十一图2-2 0焦点三角形的面积:(1)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则P F1F2的面积SP F1F2=b2t a n2,其中=F1P F2;(2)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则P F1F2的面积SP F1F2=b2t a n2,其中=F1P F2.证明:(1)若P F1F2为一般三角形,如图2-2 0所示,则SP F1F2=12|P F1|P F2|s i n(用表示F1P F2).由余弦定理得|P F1

42、|2+|P F2|2-2|P F1|P F2|c o s=|F1F2|2.又|P F1|+|P F2|=2a,|F1F2|=2c,所以(|P F1|+|P F2|)2-2|P F1|P F2|(1+c o s)=4c2,所以2|P F1|P F2|(1+c o s)=4a2-4c2=4b2,|P F1|P F2|=2b21+c o s,所以SP F1F2=12|P F1|P F2|s i n=b2s i n1+c o s=2b2s i n2c o s22 c o s22=b2t a n2.(2)双曲线中的相关结论请同学们自己证明.!2 5 如图2-2 1所示,F1,F2是椭圆C1:x24+y2

43、=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形A F1B F2为矩形,则C2的离心率是().A.2B.3C.32D.62 图2-2 1 临门一脚(含密押三套卷)(理科版)1 9 变式1 已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且P F1P F2.若P F1F2的面积为9,则b=.变式2 已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且MF1MF2=0,则点M到x轴的距离为().A.43B.53C.2 33D.3变式3 已知椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x2m2-y2n2=1有相同的焦点F1和F2

44、,它们的一个交点为P,设F1P F2=2,求证:t a n=nb.常考二级结论及其应用?第二篇 常考二级结论及其应用!1解析 由题意知,集合A为椭圆x24+y21 6=1上所有点的集合,集合B是指数函数y=3x图像上所有点的集合.如图2-2 2所示,由图知集合AB中有2个元素,故AB的子集个数是22=4.故选A.图2-2 2例1变式1解析 由题意知A=1,2,B=1,2,3,4,因为ACB,所以集合C是集合1,2 与集合3,4 的任意一个真子集的并集,即求集合3,4 的真子集的个数,故集合C的个数为22-1=3.故选C.!2解析 如图2-2 3所示,若NIM=,则NM,所以MN=M.故选A.图

45、2-2 3例2变式1解析 由题意知A=1,5,若AB=B,则BA.若B=,则a=0;若B,则1B或5B,即a-1=0或5a-1=0,解得a=1或a=15.故集合C=0,1,15.故选C.评注 求解本题要注意A.!3解析 因为AB=b,所以UA()(UB)=U(AB)=a,c,d.例3变式1解析 因为UA()(UB)=U(AB),即集合U(AB)中有n个元素.又全集U中有m个元素,所以AB中有m-n个元素.故选D.评注 本题若结合V e n n图求解会更快捷.例3变式2解析(1)因为(pq)=(p)(q),即(pq):A0且B0.(2)因为(pq)=(p)(q),即(pq):A0或B0.评注(1

46、)pq:A=0或B=0A B=0,(pq):A B0A0且B0.(2)pq:A=0且B=0A2+B2=0,(pq):A2+B20A0或B0.!4解析 f(x)=(x+1)(x-4)+t a nxx2-4=1+t a nx-3xx2-4,设g(x)=t a nx-3xx2-4.因为g(-x)=t a n(-x)+3xx2-4=-g(x),即g(x)为定义域上的奇函数.所以g(x)m a x+g(x)m i n=0,故M+m=g(x)+1m a x+g(x)+1m i n=2+g(x)m a x+g(x)m i n=2.例4变式1解析 令g(x)=l n1+9x2-3x(),xR,则g(-x)=l

47、 n1+9x2+3x().因为g(x)+g(-x)=l n1+9x2-3x()+l n1+9x2+3x()=l n(1+9x2-9x2)=l n 1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.又l g12=-l g 2,所以g(l g 2)+gl g12=0,f(l g 2)+fl g12=g(l g 2)+1+gl g12+1=2.故选D.例4变式2解析 令g(x)=as i nx+b x,xR,则g(-x)=as i n(-x)-b x=-g(x),即g(x)是定义在R上的奇函数.故g(-1)+g(1)=0,所以f(1)+f(-1)=1 6 0 临门一脚(含密押三套卷)(理科版)g(1)+c+

48、g(-1)+c=2c.又cZ,所以f(1)+f(-1)=2c为偶数,故一定不可能是1和2.故选D.!5解析 由题意知函数y=12ex与y=l n(2x)互为反函数,其图像关于直线y=x对称,如图2-2 4所示.两曲线上点之间的最小距离?P0Q0?恰好是y=x与y=12ex上点的最小距离的2倍,设y=12ex上点P0(x0,y0)处的切线与y=x平行,有12ex0=1,解得x0=l n 2,y0=1,所以y=x与y=12ex上点的最小距离,即为点P0到直线y=x的距离,且为22(1-l n 2),故?P Q?的最小值为22(1-l n 2)?2=2(1-l n 2).故选B.图2-2 4例5变式

49、1解析 因为2x+2x=5,所以x+2x-1=52.同理x+l o g2(x-1)=52,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=32的解,t2是t+l o g2t=32的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图2-2 5所示,t1为函数y=2t与y=32-t图像交点P的横坐标,t2为函数y=l o g2t与y=32-t图像交点Q的横坐标,所以P(t1,2t1),Q(t2,l o g2t2).因为函数y=2t与y=l o g2t互为反函数,所以点P,Q关于直线y=x轴对称,即t1=l o g2t2,t2=2t1,所 以t1+t2=t1+2t1=t1+32-t1=32.所以x1+x2=t

50、1+1+t2+1=32+2=72.故选C.图2-2 5!6解析 因为f(5)=14,且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR),所以令y=5,则f(x)=f(x+5)+f(x-5)故f(x+5)=f(x+1 0)+f(x)由+得f(x+1 0)+f(x-5)=0,即f(x+1 0)=-f(x-5),得f(x+1 5)=-f(x),T=3 0.因此f(2 0 1 5)=f(5+3 0?6 7)=f(5)=14.例6变式1解析 当x 0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2)同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1)+得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x).