2024 年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（五）数学含答案.pdf

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1、数学试题 第 1 页（共 4 页）2024 年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（五）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设i 21i2z，则|zA1B2C56D582已知命题p：8a，命题q：样本数据 15，9，9，3

2、，8，7，a的中位数为 8，则命题p是命题q的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3设集合1|1|xxA，12|axaxB，若BBA，则a的取值范围是A),0 B),0(C 1,0D 1,0(4已知函数axxxfee)(2的图象关于直线23x对称，则aA1B21C21D15已知椭圆1:2222byaxC)0(ba的右顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，且|7|AFAB，则C的离心率为A51B41C31D21A6已知ABC的面积为24，且22tanA，17BC，则 ACABA7B8C9D10数学试题 第 2 页（共 4 页）7深度学习是人工智能的一种具有代表性的学习方法

3、，它以神经网络为出发点在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGDLL，其中L表示衰减后的学习率，0L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，0G表示衰减速度 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.8，衰减速度为 12，且当训练迭代轮数为 12 时，学习率衰减为 0.5则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：0301.02lg）A34B35C36D378已知圆O的半径为 1，线段AB与圆O不相交，当点P在圆O上运动时，BPPA 的最小值为 1，最大值为 9，则|ABA11B17C22D102二、选择题：本题共 3 小题，每小题

4、 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9已知函数)32cos(2)32sin()(xxxf，则A)(xf的最大值为 3B)4()(xfxfC)(xf是偶函数D)(xf在区间),(单调递增10随机事件A，B满足31)(AP，41)(BP，21)(BAP，则A121)(ABPB事件A，B相互独立C41)|(BAPD41)|(ABP11已知函数xaxfx e)(有 2 个零点1x，)(212xxx，函数axbxaxgxln2e)(，若0)(1xg，则A2bB211xxC)(xg的零点个数可能为 2D若)(xg存

5、在大于2x的零点，则)e1,e2(2a数学试题 第 3 页（共 4 页）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，虚轴长为 1，一条渐近线方程为xy2，则C的方程为13记等差数列na的公差为d，前n项和为nS，若431daad，则02420242aS14记圆台1OO的侧面积为S，体积为V已知AB为圆台的一条母线，2AB，若线段1OO上存在一点C，满足BCAC，BCAC，则23VS的取值范围为三生三世四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）记nS为数列na的前n项和，已

6、知351a，231nnaa（1）求na的通项公式；（2）若mS0242，求整数m的最小值16（15 分）袋中有 8 个除颜色外完全相同的小球，其中 1 个黑球，3 个白球，4 个红球（1）若从袋中一次性取出 2 个小球，记取到的红球个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）若从袋中不放回地取 3 次，每次取 1 个小球，取到黑球记 0 分，取到白球记 2分，取到红球记 4 分，求在最终得分为 8 分的条件下，恰取到 1 个红球的概率17（15 分）如图，四棱锥ABCDE 的底面为正方形，EDAEAD，F，G分别为线段AD，BC的中点（1）证明：平面EFG平面ABCD；（2）若CDEF，FGEG2

7、，点H与点F关于平面BCE对称，求二面角HDGE的正弦值数学试题 第 4 页（共 4 页）18（17 分）已知抛物线yxE3:2，圆17)3(:22 yxC，直线)1(6kkxy交E于A，B两点，交C于M，N两点，其中A在第二象限，N在A的上方（1）求B点横坐标的最小值；（2）证明：|BNMN；（3）若MR为C的直径，点P在C上，且|MPBP 记ANR和ANP的面积分别为1S，2S，比较1S和2S的大小关系，并求出2S的最大值19（17 分）记集合1,1),(|),(),()(bybaxaxyyxbaSx，已知函数xxxf1ln)(，1e)(xxxg（1）求)1,1()(xfS中的元素个数；（

8、2）若存在实数b，使得存在),(11yx，),(),()(22baSyxxg，且112 yy，求a的取值范围；（3）记),(),(),()()()()(baSbaSbaSxgxfxgxf，对于给定的正整数n)2(n，判断是否存在正整数i，j)1(nji，使得存在直线myl:，满足)0,()()(iSlxgxf，且)0,()()(jSlxgxf若存在，求出正整数对),(ji的个数（用n表示）；若不存在，说明理由圆梦杯第五届参考答案一、选择题1234567891011ABAADACDBDACDBCD二、填空题12.16x2-4y2=1或y2-4x2=1；13.20252；14.(16,18 2)；

9、三、解答题15.3(an+1-1)=an-1；an-1是首项为23，公比为13的等比数列；an-1=23n；an=23n+1.S2024=2024+2(3-1+3-2+3-2024)=2024+213(1-3-2024)1-13=2025-3-2024(2024,2025)m=202516.X的可能取值为0，1，2P(x=0)=C24C04C28=314；P(x=1)=C14C14C28=47；P(x=2)=C4C24C28=314；X的分布列如下：X012P31447314E(x)=034+147+2314=1记事件A：恰取到1个红球，事件B：最终得分为8分P(AB)=C14C23C38=3

10、14；P(B)=C14C23+C11C24C38=928；P A|B=P(AB)P(B)=23圆梦杯学习交流群：83574514317.EDA=EAD，EA=AD，AF=DF，EFAD，FGAD，AD平面EFG.AD面ABCD，平面EFG平面ABCDEFCD，EFAD，EF平面ABCD，EG=2GF，EF=FG，设EF=2,取EG中点T，FTEG，且FT面EFGFTBC，FT平面BCE，而H与F关于平面BCE对称，FT=TH，如图建系ED=(1,0,-2)，DG=(-1,2,0)，GH=(0,0,2)设平面EDG，平面DGH的一个法向量分别为m，nm=(2,1,1)，n=(2,1,0)cos=

11、mn|m|n|=306，sin=1-cos2=6618.y=kx+6x2=3y x2-3kx-18=0 x1,x2是方程x2-3kx-18=0的解.A(x1,y1)，B(x2,y2)，x2=3k+3 k2+82，x2关于k单调增，而k1，x26y=kx+6x2+(y-3)2=17(1+k2)x2+6kx-8=0 xm=-3k-17k2+81+k2，xn=-3k+17k2+81+k2证17k2+8-k1+k2k+k2+82而k2+k2+822，只需17k2+8-k1+k22而17k2+8 5k2+2k2+k成立！作PJBM，比较S1，S2的大小比较PJ，RN的大小，而J为MB中点，MJ=MB2M

12、N，PJ=PM2-MJ2，RN=RM2-MN2，而PMRM，MJMNRNPJ，S1S2作DKMN，RN=2DK，S1=2SADN=3(|xN|+|xA|)由(1)可知，k增大，|xA|，|xN|EDCGBAFHTxyzOCMNKJPRxyA圆梦杯学习交流群：835745143k=1时，S1有最大值12S212，当k=1时，S2=12，故S2的最大值为1219.f(x)=-lnxx2，f(x)在(0,1)(1,+)且 f(1)=1Sf(x)(1,1)表示点 x0,f(x0)，且x01,2，f(x0)1,2，而 f(x0)1，f(x0)=1，x0=1，只有一个元素(1,1)g(x)=(1-x)e1

13、-x，g(x)在(-,1)，(1,+)且g(x)g(1)=1当a0时，x1,x2 a,a+1，此时y10，y21，y2-y11矛盾！当a0时，记h(x)=f(x+1)-f(x)-1，h(x)=e-x(ex-x-e)h(x)在-,ee-1，ee-1,+，且h(0)=0，当x0时，h(x)h(0)=0必存在x2-x1ln(n+1)+1时，x0(eln(n+1),n+1)，此时i=ln(n+1)，j=eln(n+1)-1,n共n+ln(n+1)种而和有两个(1,2)(2,3)重复，且(1,1)(2,2)不成立1个，n=22个，n=32n+ln(n+1)-5个，n3，nN+圆梦杯学习交流群：835745143圆梦杯学习交流群：835745143