2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）.pdf

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1、圆锥曲线中的圆锥曲线中的“设而不求设而不求”一、一、考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.二、二、解题秘籍(一)(一)“设而不求设而不求”的实质及注意事项的实质及注意事项1.1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题

2、设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求2.2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多3.3.“设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1 1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的长轴长为

3、4，F1，F2为C的左、右焦点，点P x0,y0y00在C上运动，且cosF1PF2的最小值为12.连接PF1，PF2并延长分别交椭圆C于M，N两点.(1)求C的方程；(2)证明：SOPF1SOMF1+SOPNSOF2N为定值.12024年高考数学专项复习圆锥曲线中的年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求设而不求”（解析版）（解析版）2 2(20232023届江苏省连云港市高三上学期届江苏省连云港市高三上学期1010月联考月联考)已知椭圆中有两顶点为A-1,0，B 1,0，一个焦点为F 0,1.(1)若直线l过点F且与椭圆交于C，D两点，当 CD=3 22时，求直线l的方程；(2)若直线l过

4、点T 0,tt0且与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AD与直线BC交于点Q，当点P异A，B两点时，试问OP OQ 是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二二)设点的坐标设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3 3(20232023 届湖南省郴州市高三上学期质量监测届湖南省郴州市高三上学期质量监测

5、)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，过坐标原点 O 的直线交椭圆 E 于 P,A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC.当C为椭圆的右焦点时，PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.24 4(20232023 届江苏省南通市如皋市高三上学期期中届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线 l 与椭圆 C:x24+y29=1 交于 A,B两点，且P2,3 22在直线l的左上方.(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直

6、线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；(2)证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.(三三)设参数设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5 5(20222022届湖南省益阳市高三上学期月考届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为F1,F2,其离心率为32,P为椭圆C上一动点,F1PF2面积的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得QA QB 为定值？若存在,求出点Q

7、的坐标；若不存在,请说明理由.3(四四)中点弦问题中的设而不求中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标 P x1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6 6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：该曲线经过点A 2,3；该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q 1,1能否作直线l,使l与此双曲线相

8、交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.4三、三、跟踪检测1(20232023届河南省洛平许济高三上学期质量检测届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F，离心率为12，上顶点为 0,3(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若MP=PF，MQ=QF，判断+是否为定值？并说明理由2(20232023届江西省南昌市金太阳高三上学期届江西省南昌市金太阳高三上学期1010月联考月联考)如图，长轴长为4的椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左顶点为A，过原点O的直

9、线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA与y轴分别交于M，N两点，当直线PQ的斜率为22时，PQ=2 3.(1)求椭圆C的方程.(2)试问是否存在定点T，使得MTN=90恒成立？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由.53(20232023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P 4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.4(2

10、0232023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期1010月联考月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点 2,-3，两条渐近线的夹角为60，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M m,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.65(20232023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F 1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2

11、)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率kMB，kMF，kMA构成等差数列，求m的值.6(20232023届福建省福州华侨中学高三上学期考试届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A77(202320

12、23届河南省安阳市高三上学期届河南省安阳市高三上学期1010月月考月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.8(20232023届浙江省浙里卷天下高三上学期届浙江省浙里卷天下高三上学期1010月测试月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于

13、A,B两点，ABF2的周长为8.(1)若ABF2的面积为12 27，求直线AB的方程；(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.89(20232023届江苏省南京市六校高三上学期届江苏省南京市六校高三上学期1010月联考月联考)已知双曲线：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点F分别作斜率为k1,k2的两直线l1与l2，直线l1交双曲线于A,B两点，直线l2交双曲线于C,D两点，设M,N分别为AB与CD的中点，若k1k2=-1，试求OMN与FMN的面积之比.10(20222

14、022届北京市海淀区高三上学期期末届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1在椭圆C：x23+y2b2=1上.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l：y=k x-1(其中k1)与椭圆C交于不同两点E,F,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N.当AMN的面积为3 3 时,求k的值.911(20222022届天津市第二中学高三上学期届天津市第二中学高三上学期1212月月考月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的长轴长是4,且过点B 0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=k x+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.12(202

15、22022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1 1月模拟月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4 2.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.1013(20222022届河北省高三上学期省级联测届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3

16、)和F2(0,3),直线y=3 与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为ABC的重心,求ABC的面积.14(20222022届广东省佛山市高三上学期期末届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(tR R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.1115(20222022届江苏省盐城市、南京市高三上学期届江苏省盐城市、南京市高三上学期1 1月模拟月模拟)设

17、双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为2 63.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知APAQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.1216(20222022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C1:x24+y23=1,椭圆C2:y29+x24=1,A-2,0、B 2,0.P为椭圆C2上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C1于E、F两点,连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BHPA.(1)证明：kBFkBG为定值；(2)证明直线G

18、F过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为xP、xQ,证明：xPxQ为定值.1317(20222022届湖北省新高考联考协作体高三上学期届湖北省新高考联考协作体高三上学期1212月联考月联考)已知圆O：x2+y2=2,椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab2的离心率为22,P是C上的一点,A是圆O上的一点,PA的最大值为6+2.(1)求椭圆C的方程；(2)点M是C上异于P的一点,PM与圆O相切于点N,证明：PO2=PM PN.18已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长为8,离心率e=54.(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的

19、中点坐标为A 8,3,求直线l的方程.14圆锥曲线中的圆锥曲线中的“设而不求设而不求”一、一、考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.二、二、解题秘籍(一一)“设而不求设而不求”的实质及注意事项的实质及注意事项1.1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大

20、限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求2.2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多3.3.“设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1 1(20232023届山西省临汾市等联考高三上学期期中届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C:x2a

21、2+y2b2=1 ab0的长轴长为4，F1，F2为C的左、右焦点，点P x0,y0y00在C上运动，且cosF1PF2的最小值为12.连接PF1，PF2并延长分别交椭圆C于M，N两点.(1)求C的方程；(2)证明：SOPF1SOMF1+SOPNSOF2N为定值.【解析】【解析】(1)由题意得a=2，设 PF1，PF2的长分别为m，n，m+n=2a=4则cosF1PF2=m2+n2-4c22mn=m+n2-4c2-2mn2mn=2b2mn-12b2m+n22-1=2b2a2-1，当且仅当m1=n时取等号，从而2b2a2-1=12，得b2a2=34，b2=3，则椭圆的标准方程为x24+y23=1；

22、(2)由(1)得F1-1,0，F21,0，设M x1,y1，N x2,y2，设直线PM的方程为x=x0+1y0y-1，直线PN的方程为x=x0-1y0y+1，由x=x0+1y0y-1x24+y23=1，得3 x0+12y02+4y2-6 x0+1y0y-9=0，则y0y1=-93 x0+12y02+4=-9y023 x0+12+4y02=-9y023x02+4y02+6x0+3=-3y022x0+5，y1=-3y02x0+5，同理可得y2=-3y05-2x0，所以SOPF1SOMF1+SOPNSOF2N=12OF1y012OF1y1+12OF2y0+y212OF2y2=-y0y1+y0y2+1

23、=-y0-3y02x0+5+y0-3y05-2x0+1=133.所以SOPF1SOMF1+SOPNSOF2N为定值133.2 2(20232023届江苏省连云港市高三上学期届江苏省连云港市高三上学期1010月联考月联考)已知椭圆中有两顶点为A-1,0，B 1,0，一个焦点为F 0,1.(1)若直线l过点F且与椭圆交于C，D两点，当 CD=3 22时，求直线l的方程；(2)若直线l过点T 0,tt0且与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AD与直线BC交于点Q，当点P异A，B两点时，试问OP OQ 是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.2【解析】【解析】(1)椭圆的焦点在y轴

24、上，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0)，由已知得b=1，c=1，所以a=2，椭圆的方程为y22+x2=1，当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C x1,y1，D x2,y2，将直线l的方程代入椭圆的方程化简得 k2+2x2+2kx-1=0，则x1+x2=-2kk2+2，x1x2=-1k2+2，CD=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k2-2kk2+22+41k2+2=2 2(k2+1)k2+2=3 22，解得k=2.直线l的方程为y=2x+1；(2)当lx轴时，ACBD，不符合题意，当l与x轴不垂直时，设l：y=kx+t，则P-tk,0，设C x1

25、,y1，D x2,y2，联立方程组y=kx+tx2+y22=1 得 2+k2x2+2ktx+t2-2=0，x1+x2=-2kt2+k2，x1x2=t2-22+k2，又直线AD：y=y2x2+1(x+1)，直线BC：y=y1x1-1(x-1)，由y=y2x2+1(x+1)y=y1x1-1(x-1)可得y2x2+1(x+1)=y1x1-1(x-1)，即kx2+tx2+1(x+1)=kx1+tx1-1(x-1)，kx2+tx1-1(x+1)=kx1+tx2+1(x-1)，kx1x2-kx2+tx1-tx+1=kx1x2+kx1+tx2+tx-1，k x1+x2+t x2-x1+2tx=2kx1x2-

26、k x2-x1+t x1+x2，k-2kt2+k2+t x2-x1+2tx=2kt2-22+k2-k x2-x1+t-2kt2+k2，4t2+k2+t x2-x1x=-4k2+k2-k x2-x1，即t42+k2+x2-x1x=-k42+k2+x2-x1，得x=-kt，Q点坐标为Q-kt,yQ，OP OQ=-tk,0-kt,yQ=-tk-kt+0yQ=1，所以OP OQ=1为定值.3(二二)设点的坐标设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系

27、(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3 3(20232023 届湖南省郴州市高三上学期质量监测届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为22，过坐标原点 O 的直线交椭圆 E 于 P,A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC.当C为椭圆的右焦点时，PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】【解析】(1)椭圆离心率e=ca

28、=22，c2=12a2，则b2=a2-c2=12a2，当C为椭圆右焦点时，PC=b2a=12a；SPAC=2SPOC=212c12a=12ac=24a2=2，解得：a2=4，b2=2，椭圆E的方程为：x24+y22=1.(2)由题意可设直线AP:y=kx k0，P x0,kx0，B x1,y1，则A-x0,-kx0，C x0,0，kAC=kx0 x0+x0=k2，直线AC:y=k2x-x0；由y=k2x-x0 x24+y22=1 得：k2+2x2-2k2x0 x+k2x20-8=0，-x0+x1=2k2x0k2+2，则x1=2k2x0k2+2+x0，y1=k2x1-x0=k22k2x0k2+2

29、+x0-x0=k3x0k2+2，B2k2x0k2+2+x0,k3x0k2+2；PB=2k2x0k2+2,-2kx0k2+2，又PA=-2x0,-2kx0，PA PB=-2x02k2x0k2+2+-2kx0-2kx0k2+2=0，则PAPB，4APB为定值90.4 4(20232023 届江苏省南通市如皋市高三上学期期中届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线 l 与椭圆 C:x24+y29=1 交于 A,B两点，且P2,3 22在直线l的左上方.(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；(2)证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上

30、.【解析】【解析】(1)设A x1,y1，B x2,y2，AB中点坐标为 x0,y0，AB:y=32x+m所以有x0=x1+x22y0=y1+y22，联立x24+y29=1y=32x+m，得9x2+6mx+2m2-18=0，得=6m2-49 2m2-180，得m2b0的左右焦点分别为F1,F2,其离心率为32,P为椭圆C上一动点,F1PF2面积的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得QA QB 为定值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.5【解析】【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c,因离心率为32,则ca

31、=32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F1F2的距离最大,则有 SF1PF2max=122cb=bc,于是得bc=3,又a2=b2+c2,联立解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆C的方程为：x24+y2=1.(2)由(1)知,点F23,0,当直线斜率存在时,不妨设l:y=k(x-3),A x1,y1,B x2,y2,由y=k(x-3)x2+4y2=4 消去y并整理得,(1+4k2)x2-8 3k2x+12k2-4=0,x1+x2=8 3k21+4k2,x1x2=12k2-41+4k2,假定在x轴上存在定点Q满足条件,设点Q(t,0),则QA QB=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x

32、2-t(x1+x2)+t2+k2(x1-3)(x2-3)=(1+k2)x1x2-(3k2+t)(x1+x2)+t2+3k2=(1+k2)12k2-41+4k2-(3k2+t)8 3k21+4k2+t2+3k2=(4t2-8 3t+11)k2+t2-41+4k2,当t2-4=4t2-8 3t+114,即t=9 38时,QA QB=t2-4=-1364,当直线l斜率不存在时,直线l：x=-3 与椭圆C交于点A,B,由对称性不妨令A3,12,B3,-12,当点Q坐标为9 38,0时,QA=-38,12,QB=-38,-12,QA QB=-38,12-38,-12=-1364,所以存在定点Q9 38,

33、0,使得QA QB 为定值-1364.(四四)中点弦问题中的设而不求中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标 P x1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6 6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：该曲线经过点A 2,3；该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q 1,1能否作直线l,使l与此双

34、曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.6【解析】【解析】(1)设双曲线E的标准方程为x2a2-y2b2=1 ab0.选：由题意可知,双曲线E的两个焦点分别为F1-2,0、F22,0,由双曲线的定义可得2a=AF1-AF2=42+32-3=2,则a=1,故b=c2-a2=3,所以,双曲线E的标准方程为x2-y23=1.选：圆x2-8x+y2+4=0的标准方程为 x-42+y2=12,圆心为 4,0,半径为2 3,双曲线E的渐近线方程为y=bax,由题意可得4ba1+ba2=2 3,解得ba=3,即b=3a,因为c=a2+b2=2a=2,则a=

35、1,b=3,因此,双曲线E的标准方程为x2-y23=1.选：由勾股定理可得 PF12+PF22=4c2=16=PF1-PF22+2 PF1 PF2=4a2+2 PF1 PF2,所以,PF1 PF2=2 c2-a2=2b2,则SF1PF2=12PF1 PF2=b2=12324,则b=3,故a=c2-b2=1,所以,双曲线E的标准方程为x2-y23=1.(2)假设满足条件的直线l存在,设点Q1x1,y1、Q2x2,y2,则x1+x2=2y1+y2=2,由题意可得x21-y213=1x22-y223=1,两式作差得 x1-x2x1+x2=y1-y2y1+y23,所以,直线l的斜率为k=y1-y2x1

36、-x2=3,所以,直线l的方程为y-1=3 x-1,即y=3x-2.联立y=3x-2x2-y23=1,整理可得6x2-12x+7=0,=122-467b0的右焦点为F，离心率为12，上顶点为 0,3(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若MP=PF，MQ=QF，判断+是否为定值？并说明理由7【解析】【解析】(1)由题意可得b=3e=ca=12a2=b2+c2 ，解得a=2b=3c=1，故椭圆C的方程x24+y23=1.(2)+为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0，由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y=k x-1,P x1,y1,Q x2

37、,y2，则M 0,-k，联立方程y=k x-1x24+y23=1，消去y得 4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0，则=-8k22-4 4k2+34k2-12=144 k2+10,x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3，MP=x1,y1+k,PF=1-x1,-y1,MQ=x2,y2+k,QF=1-x2,-y2，MP=PF，MQ=QF，则x1=1-x1x2=1-x2，可得=x11-x1=x21-x2，+=x11-x1+x21-x2=x1+x2-2x1x21-x1+x2+x1x2=8k24k2+3-2 4k2-124k2+31-8k24k2+3+4k2-124k2+3=

38、-83(定值).2(20232023届江西省南昌市金太阳高三上学期届江西省南昌市金太阳高三上学期1010月联考月联考)如图，长轴长为4的椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA与y轴分别交于M，N两点，当直线PQ的斜率为22时，PQ=2 3.(1)求椭圆C的方程.(2)试问是否存在定点T，使得MTN=90恒成立？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由.【解析】【解析】(1)由题意可知2a=4,a=2，则椭圆方程C:x2a2+y2b2=1 ab0即x24+y2b2=1，当直线PQ的斜率为22时，PQ=2 3，

39、故设P x0,22x0，x20+22x02=3，解得x20=2，8将P x0,22x0代入x24+y2b2=1得x024+x022b2=1，即24+22b2=1，故b2=2，所以椭圆的标准方程为x24+y22=1；(2)设P(x0,y0),x0-2,2，则Q(-x0,-y0)，则x204+y202=1,x20+2y20=4，由椭圆方程x24+y22=1可得A(-2，0)，直线PA方程为y=y0 x0+2(x+2)，令x=0 可得 M 0,2y0 x0+2，直线QA方程为：y=y0 x0-2(x+2)，令x=0得N 0,2y0 x0-2，假设存在定点T，使得MTN=90，则定点T必在以MN为直径

40、的圆上，以MN为直径的圆为 x2+y-2x0y0 x02-42=16y02x20-42,即 x2+y2-4x0y0 x20-4y+4y20 x20-4=0，x20+2y20=4，即x20-4=-2y20,x2+y2+2x0y0y-2=0，令y=0，则x2-2=0，解得x=2，以MN为直径的圆过定点(2,0)，即存在定点T(2,0)，使得MTN=90 3(20232023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P 4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交

41、于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.【解析】【解析】(1)由双曲线y22-x2=1得焦点 0,3，得b=3，由题意可得b=3a2=b2+c2e=ca=12 ，解得a=2，c=1，故椭圆C的方程为；x24+y23=1.(2)设直线l:y=k x-4，点A x1,y1,B x2,y2，则点E x2,-y2.由y=k x-4x24+y23=1，得 4k2+3x2-32k2x+64k2-12=0，=32k22-4 4k2+364k2-120，解得-129k0，x1+x2=4k2k2-3，x1x2=4k2+3k2-3，MA MB=x1-m

42、x2-m+y1y2=x1x2-m x1+x2+m2+k2x1x2-2 x1+x2+4=1+k2x1x2-2k2+mx1+x2+4k2=4k2+31+k2k2-3-4k22k2+mk2-3+m2+4k2=0，4k2+31+k2-4k22k2+m+m2+4k2k2-3=0，整理可得：k2m2-4m-5+3-3m2=0，由m2-4m-5=03-3m2=0 得：m=-1；10当m=-1时，MA MB=0恒成立；当直线l斜率不存在时，l:x=2，则A 2,3，B 2,-3，当M-1,0时，MA=3,3，MB=3,-3，MA MB=0成立；综上所述：存在M-1,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点.方法二

43、：当直线l斜率为0时，l:y=0，则A-1,0，B 1,0，M m,0，MA=-1-m,0，MB=1-m,0，MA MB=m2-1=0，解得：m=1；当直线l斜率不为0时，设l:x=ty+2，A x1,y1，B x2,y2，由x=ty+2x2-y23=1 得：3t2-1y2+12ty+9=0，3t2-10=12 3t2+30，y1+y2=-12t3t2-1，y1y2=93t2-1，MA MB=x1-mx2-m+y1y2=x1x2-m x1+x2+m2+y1y2=ty1+2ty2+2-m ty1+2+ty2+2+m2+y1y2=t2+1y1y2+2t-mty1+y2+4-4m+m2=9 t2+1

44、3t2-1-12t 2t-mt3t2-1+4-4m+m2=12m-15t2+93t2-1+2-m2=0；当12m-153=9-1，即m=-1时，MA MB=0成立；综上所述：存在M-1,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点.5(20232023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F 1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m2交于点M，若直线MB，MF，M

45、A的斜率kMB，kMF，kMA构成等差数列，求m的值.【解析】【解析】(1)设点P x,y，由题，有PFx-4=12，即x-12+y2x-4=12，解得3x2+4y2=12，所以所求P点轨迹方程为x24+y23=1(2)由题，直线l1的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为y=k x-1，与曲线C联立方程组得y=k x-1x24+y23=1，解得 4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0，设A x1,y1，B x2,y2，则有x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3依题意有直线l2的斜率为-1k，则直线l2的方程为y=-1kx-1，11令x=m，则有M点的坐标为 m,-m

46、-1k，由题，kMF=m-1k 1-m=-1k，kMA+kMB=y1+m-1kx1-m+y2+m-1kx2-m=y1x1-m+y2x2-m+1km-1x1-m+m-1x2-m=k x1-1x1-m+k x2-1x2-m+1km-1x1-m+m-1x2-m=k2x1x2-1+mx1+x2+2mx1x2-x1+x2m+m2+1km-1x1+x2-2mx1x2-x1+x2m+m2=k6m-244k2+34k2-124k2+3-m8k24k2+3+m2+1km-18k24k2+3-2m4k2-124k2+3-m8k24k2+3+m2，因为2kMF=kMA+kMB，所以k6m-244k2+34k2-12

47、4k2+3-m8k24k2+3+m2+1km-18k24k2+3-2m4k2-124k2+3-m8k24k2+3+m2=-2k解得 m-4k2+1=0，则必有m-4=0，所以m=4.6(20232023届福建省福州华侨中学高三上学期考试届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A【解析】【解析】(1)设点M x,y，则d=x-12,MF=(x-2)2+y

48、2，由 MF=2d，得(x-2)2+y2=2 x-12，两边平方整理得3x2-y2=3，则所求曲线C的方程为x2-y23=1.(2)设直线m的方程为x=ty+2,P x1,y1,Q x2,y2，联立方程x=ty+2,3x2-y2=3，消去x并整理得 3t2-1y2+12ty+9=0,，因为直线m与C交于两点，故t33，此时=(12t)2-4 3t2-19=36 t2+10，所以y1+y2=-12t3t2-1,y1y2=93t2-1，而x1+x2=t y1+y2+4,x1x2=ty1+2ty2+2=t2y1y2+2t y1+y2+4.又AP=x1+1,y1,AQ=x2+1,y2，所以AP AQ=

49、x1+1x2+1+y1y2=y1y2+x1+x2+x1x2+112=t2+1y1y2+3t y1+y2+9=9t2+93t2-1-36t23t2-1+9=9-3t2+13t2-1+9=0.所以APAQ，即以P，Q为直径的圆经过点A.7(20232023届河南省安阳市高三上学期届河南省安阳市高三上学期1010月月考月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2

50、，求证：k1k2为定值.【解析】【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x,x，由x2a2+x2b2=1，得x2=a2b2a2+b2，所以2a2b2a2+b22a2b2a2+b2=487，整理得12 a2+b2=7a2b2.又a2-b2=F1F222=1，由解得a2=4，b2=3，故所求椭圆方程为x24+y23=1.(2)由已知及(1)可得M2:x28+y26=1，设点P x0,y0，则y20=6 1-x208.设过点P与M1相切的直线l的方程为y-y0=k x-x0，与x24+y23=1联立消去y整理可得 4k2+3x2+8k y0-kx0 x+4y0-kx02-3=0，令=8