【2024届新高考必刷】 圆锥曲线大题综合（解析版）.pdf

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1、【2024 2024 届新高考必刷】圆锥曲线大题综合 届新高考必刷】圆锥曲线大题综合 1.(2023(2023春春 江苏扬州江苏扬州 高三统考开学考试高三统考开学考试)已知AB为抛物线G:y2=2px(p0)的弦，点C在抛物线的准线l上.当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3.(1)求抛物线G的方程；(2)若ACB为直角，求证：直线AB过定点.2.(2023(2023江苏泰州江苏泰州 统考一模统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当PQx轴时，PA=10，PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明

2、：以PQ为直径的圆经过定点.3.(20232023 秋秋 浙江绍兴浙江绍兴 高三期末高三期末)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(-2,0),B(2,0)，直线PA与直线PB的斜率之积为-14，记动点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F两点，若EO=3OF，求证：直线l过定点4.(20232023秋秋 浙江浙江 高三期末高三期末)已知点A4 63,2 33是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，AFB=2(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点

3、P(-4,0)，与双曲线的右支交于点M，N，且直线MN经过F，求圆C的方程5.(20232023春春 广东揭阳广东揭阳 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px p0的焦点为F，点F关于直线y=12x+34的对称点恰好在y轴上(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线l:y=k x-2k6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D 6,0，求ABCD的最大值6.(20232023 湖南邵阳湖南邵阳 统考二模统考二模)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 00且1时，我们把方程x2a2+y2b2=(ab0)表示的椭圆C称为椭圆x2a2+y2b2=1(ab

4、0)的相似椭圆.(1)如图，已知F1-3,0,F23,0,M为O:x2+y2=4上的动点，延长F1M至点N，使得 MN=MF1,F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆C是椭圆C的相似椭圆，M1,N1是椭圆C的左 右顶点.点Q是C上异于四个顶点的任意一点，当=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM1与椭圆C交于点A,B，直线QN1与椭圆C交于点D,E，求 AB+DE的值.8.(20232023 湖北武汉湖北武汉 统考模拟预测统考模拟预测)过坐标原点 O 作圆 C:(x+2)2+y2=3 的两条切线，设切点为 P,Q，直线PQ恰为抛物

5、E:y2=2px,(p0)的准线.(1)求抛物线E的标准方程；(2)设点T是圆C上的动点，抛物线E上四点A,B,M,N满足：TA=2TM,TB=2TN，设AB中点为D.(i)求直线TD的斜率；(ii)设TAB面积为S，求S的最大值.9.(20232023 山东山东 潍坊一中校联考模拟预测潍坊一中校联考模拟预测)已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,OFM的面积为1(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若

6、不存在，请说明理由10.(20232023 山东菏泽山东菏泽 统考一模统考一模)如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点分别为 F1-3,0,F23,0,A为椭圆C上一点，F1AF2的面积最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)若BD分别为椭圆C的上下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于PQ(P在上方，Q在下方，且均不与B,D点重合)两点，直线PB,QD的斜率分别为k1,k2，且k2=-3k1，求PBQ面积的最大值.11.(20232023 福建泉州福建泉州 统考三模统考三模)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B直线l与C相切，且与圆O:x2+y2=4交于M

7、，N两点，M在N的左侧(1)若|MN|=4 55，求l的斜率；(2)记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2为定值12.(20232023 江苏南通江苏南通 统考模拟预测统考模拟预测)已知A x1,y1，B x2,y2，C x3,y3三个点在椭圆x22+y2=1，椭圆外一点P满足OP=2AO，BP=2CP，(O为坐标原点).(1)求x1x2+2y1y2的值；(2)证明：直线AC与OB斜率之积为定值.13.(20232023 浙江嘉兴浙江嘉兴 统考模拟预测统考模拟预测)已知抛物线C:y2=2px p0，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且 AB=AF BF.(1)求抛物线C的方

8、程；(2)若点P 4,4，直线PA，PB分别交准线l于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点.14.(20232023 江苏连云港江苏连云港 统考模拟预测统考模拟预测)已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 ab0的焦距为 2 3，且经过点P-3,12(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABMF1的最大值15.(20232023 春春 江苏常州江苏常州 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知点 P 2,-1在椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)上，C的长轴长为4

9、2，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求 QA|2+QB|2的值.16.(20232023春春 江苏苏州江苏苏州 高三统考开学考试高三统考开学考试)已知抛物线y2=a2x的焦点也是离心率为32的椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的一个焦点F(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F的直线l交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧设a=AC，b=CD，c=DB当=2时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；若存在直线l，使得a

10、，b，c成等差数列，求的范围17.(20232023秋秋 江苏无锡江苏无锡 高三统考期末高三统考期末)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点F和抛物线C2:y2=2px p0的焦点重合，且C1和C2的一个公共点是23,2 63(1)求C1和C2的方程；(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线C2于P，Q，是否存在常数，使1AB-PQ为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由18.(20232023秋秋 江苏江苏 高三统考期末高三统考期末)如图，已知椭圆x24+y2=1的左 右顶点分别为A,B，点C是椭圆上异于A,B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC

11、的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P,Q，点P,C,M在x轴的上方.(1)当 AC=5 时，求cosPOM；(2)求 PQ MN的最大值.19.(20232023 浙江浙江 校联考模拟预测校联考模拟预测)设双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的右焦点为 F 3,0，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点(其中A在第一象限)，交直线x=53于点M，(i)求|AF|BM|AM|BF|的值；(ii)过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：MP=PQ.20.(20232023 春春 浙江绍兴浙江绍兴 高三统考开学考试高三统考开学考试

12、)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x24+y2=1,B 1,0.(1)设P是椭圆C上的一个动点，求PO PB 的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M,N两点，试问：是否存在满足条件的直线l，使得MBN是以B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.21.(20232023 春春 浙江浙江 高三开学考试高三开学考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为12，且经过点 M(-2,0)，F1,F2为椭圆C的左右焦点，Q x0,y0为平面内一个动点，其中 y00，记直线QF1与椭圆C在x轴上方的交点为A x1,y1，

13、直线QF2与椭圆C在x轴上方的交点为B x2,y2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若AF2BF1，证明：1y1+1y2=1y0；若 QF1+QF2=3，探究y0,y1,y2之间关系22.(20232023 春春 浙江温州浙江温州 高三统考开学考试高三统考开学考试)如图，椭圆x24+y2=1 的左右焦点分别为 F1，F2，点P x0,y0是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，F1，F2的圆与y轴正半轴交于点A 0,y1，经过点B(3,0)且与x轴垂直的直线l与直线AP交于点Q(1)求证：y0y1=1(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线MP，MQ的斜率存在时，两斜率之积为定值？

14、若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由23.(20232023 春春 广东广东 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知双曲线 E:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右顶点为A 2,0，直线 l 过点 P 4,0，当直线 l 与双曲线 E 有且仅有一个公共点时，点 A 到直线 l 的距离为2 55.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若直线l与双曲线E交于M,N两点，且x轴上存在一点Q t,0，使得MQP=NQP恒成立，求t.24.(20232023 广东梅州广东梅州 统考一模统考一模)已知动圆M经过定点F1-3,0，且与圆F2：x-32+y2=16内切.(1)求动

15、圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B，点P为轨迹C上异于A,B的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线APAQ的斜率分别为kAPkAQ.(i)求证：kAPkAQ为定值；(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.25.(20232023 春春 湖北武汉湖北武汉 高三华中师大一附中校考阶段练习高三华中师大一附中校考阶段练习)已知双曲线 E：x24-y2=1 与直线 l：y=kx-3相交于A、B两点，M为线段AB的中点(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得

16、A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由26.(20232023 山东山东 日照一中校考模拟预测日照一中校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A,B两点，点M(4,-2 2)在双曲线C上，且 MF1 MF2=24.(1)求MF1F2的面积；(2)若OB+OB=0(O为坐标原点)，点N 3,1，记直线NA,NB的斜率分别为k1,k2，问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.27.(20232023秋秋 山东泰安山东泰安 高三统考期末高三统考期末)已知椭圆E：

17、x2a2+y2b2=1 ab0过A 1,62，B3,22两点(1)求椭圆E的方程；(2)已知Q 4,0，过P 1,0的直线l与E交于M，N两点，求证：MPNP=MQNQ28.(20232023 浙江浙江 模拟预测模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为10，且经过点M(8,3 3)A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线x=2上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D(不同于A，B)(1)求双曲线E的标准方程(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由29.(20232023 湖南湖南 模拟预测模拟预测)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=

18、1 ab0的上顶点为 B，O 为坐标原点，P-a2,0为椭圆C的长轴上的一点，若BPO=45，且OPB的面积为12(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且kAMkAN=-112，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出AMN面积的最大值30.(20232023春春 湖北湖北 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12.且经过点1,32，P，Q是椭圆C上的两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线OP与OQ的斜率之积为-34(O为坐

19、标原点)，点D为射线OP上一点，且OP=PD，若线段DQ与椭圆C交于点E，设QE=ED(0).(i)求值；(ii)求四边形OPEQ的面积.【20232023届新高考必刷】届新高考必刷】圆锥曲线大题综合 圆锥曲线大题综合 1.(20232023春春 江苏扬州江苏扬州 高三统考开学考试高三统考开学考试)已知AB为抛物线G:y2=2px(p0)的弦，点C在抛物线的准线l上.当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3.(1)求抛物线G的方程；(2)若ACB为直角，求证：直线AB过定点.【答案】(1)y2=4x(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线弦长公式，以及中点到y轴的距离公式，

20、计算出p即可；(2)先设C-1,c,Ay214,y1,By224,y2，直线AB的方程：x=ty+n，联立方程组，由韦达定理可得y1+y2=4t,y1y2=-4n，又因为ACB为直角可得CA CB=0，化简求解可得n=1，所以得出直线过定点 1,0.【详解】(1)设A xA,yA,B xB,yB，则由题意得|AB|=xA+xB+p=8xA+xB2=3，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x(2)直线AB过定点 1,0，证明如下：设C-1,c,Ay214,y1,By224,y2，直线AB的方程：x=ty+n，将x=ty+n代入y2=4x得y2-4ty-4n=0，则0，得t2+n0，由韦达定理可

21、得y1+y2=4t,y1y2=-4n，所以CA=y214+1,y1-c,CB=y224+1,y2-c，因为ACB=90，所以CA CB=0，即y21y2216+y21+y224+1+y1y2-c y1+y2+c2=0，即n2+4t2+2n+1-4n-4tc+c2=0，即(n-1)2+(2t-c)2=0，所以n=1，所以直线AB过定点 1,0.2.(20232023 江苏泰州江苏泰州 统考一模统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当PQx轴时，PA=10，PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定

22、点.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据题意，可得 PF=b2a，b2a2+c-a2=102122b2a c-a=3c2=a2+b2，进而求解；(2)设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，联立直线和双曲线方程组，可得 3m2-1y2-12my+9=0，以PQ为直径的圆的方程为 x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，进而求解.【详解】(1)当PQx轴时，P,Q两点的横坐标均为-c，代入双曲线方程，可得yP=b2a，yQ=-b2a，即 PF=b2a，由题

23、意，可得b2a2+c-a2=102122b2a c-a=3c2=a2+b2，解得a=1，b=3，c=2，双曲线C的方程为：x2-y23=1；(2)方法一：设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，x=my-23x2-y2=33 m2y2-4my+4-y2=3 3m2-1y2-12my+9=0,以PQ为直径的圆的方程为 x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y=0，可得x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，而x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=

24、43m2-1，x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=-3m2-43m2-1，x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0 3m2-1x2-4x+5-3m2=03m2-1x+3m2-5x-1=0对mR R恒成立，x=1，以PQ为直径的圆经过定点 1,0；方法二：设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2，x=my-23x2-y2=3 3m2-1y2-12my+9=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.设以PQ为直径的圆过E t,0，EP EQ=0 x1-tx2-t+y1y2=0 x1x2-t x1+x2+t2+y1y2=0，

25、而x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=m293m2-1-2m12m3m2-1+4=-3m2-43m2-1，x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1-3m2-43m2-1-4t3m2-1+t2+93m2-1=0，3m2-1t2-4t+5-3m2=0，即3m2-1t+3m2-5t-1=0对mR R恒成立，t=1，即以PQ为直径的圆经过定点 1,0.3.(20232023 秋秋 浙江绍兴浙江绍兴 高三期末高三期末)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(-2,0),B(2,0)，直线PA与直线PB的斜率之积为-14，记动点P的轨迹为曲线C(

26、1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F两点，若EO=3OF，求证：直线l过定点【答案】(1)x24+y2=1(x2)(2)证明见解析【分析】(1)设P点坐标为(x,y)，由yx+2yx-2=-14可得结果；(2)设M x1,y1,N x2,y2，联立y=kx+mx24+y2=1，得x1+x2和x1x2，再求出E,F的坐标，根据EO=3OF 得k=m，从而可得结果.【详解】(1)设P点坐标为(x,y)，则yx+2yx-2=-14，即x24+y2=1(x2)，所以曲线C的方程为x24+y2=1(x2).(2)设M x1,y1,N

27、x2,y2，由y=kx+mx24+y2=1，消去y并整理得 4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0，由=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)0，得4k2+1m2,所以x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1MA:y=y1x1+2(x+2)E 0,2y1x1+2，NB:y=y2x2-2x-2F 0,-2y2x2-2，因为EO=3OF，所以-2y1x1+2=3-2y2x2-2，即y1(x2-2)=3y2(x1+2)，kx1+mx2-2=3 kx2+mx1+2，2kx1x2+(2k+3m)x1+x2+4(k-m)x2+8m=0，所以2k4m2-44k2+1+(2k+3

28、m)-8km4k2+1+4(k-m)x2+8m=0，所以(k-m)4km-2+4k2+1x2=0对任意x2都成立，k=m，故直线l过定点(-1,0)4.(20232023秋秋 浙江浙江 高三期末高三期末)已知点A4 63,2 33是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，AFB=2(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点P(-4,0)，与双曲线的右支交于点M，N，且直线MN经过F，求圆C的方程【答案】(1)x28-y24=1(2)x2+(y2 6)2=40【分析】(1)由已知条件列方程求出a,b,c，即可求出双曲线的方程；(2)讨论直线

29、MN的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线MN的方程为y=kx+m，联立双曲线的方程，由韦达定理求出MN的中点Q的坐标以及C的坐标，根据勾股定理有CN2=CP2=CQ2+12MN2，代入解方程即可得出答案.【详解】(1)由已知条件得：4 63+c,2 334 63-c,2 33=0323a2-43b2=1a2+b2=c2a2=8b2=4c=2 3 双曲线方程为：x28-y24=1(2)若直线MN的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立设直线MN的方程为y=kx+m，由y=k(x-2 3)x28-y24=1 消元得：2k2-1x2-8 3k2x+24k2+8=02k2-10=32

30、k2+10 x1+x2=8 3k22k2-1,y1+y2=k x1+x2-4 3k=8 3k32k2-1-4 3k=4 3k2k2-1MN的中点Q的坐标为4 3k22k2-1,2 3k2k2-1设C(0,m)，直线CQ:y=-1kx+m，得C 0,6 3k2k2-1，又|MN|=k2+1 8 2-8k2+4+12k28k2-4=4 2 k2+12k2-1，根据勾股定理有CN2=CP2=CQ2+12MN26 3k2k2-12+42=4 3k22k2-12+2 3k2k2-1-6 3k2k2-12 +2 2 k2+12k2-12化简得2k4-5k2+2=0解得k2=2或k2=12(舍)C(0,2

31、6)，圆C的方程为x2+(y2 6)2=405.(20232023春春 广东揭阳广东揭阳 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px p0的焦点为F，点F关于直线y=12x+34的对称点恰好在y轴上(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线l:y=k x-2k6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D 6,0，求ABCD的最大值【答案】(1)y2=4x(2)2 915【分析】(1)由题意得Fp2,0，设F关于直线y=12x+34的对称点为F0,m，根据题意列出方程组，解之即可求解；(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB的

32、垂直平分线方程为y-2k=-1kx-2k2+2k2，进而得到ABCD=22+49t+36t-12，利用函数的单调性即可求解.【详解】(1)由题意得Fp2,0，设F关于直线y=12x+34的对称点为F0,m，则m-p2=-2m2=18p+34，解得m=p=2，抛物线E的标准方程为y2=4x(2)由y=k x-2y2=4x 可得k2x2-4k2+4x+4k2=0，设A x1,y1，B x2,y2，则x1+x2=4k2+4k2，x1x2=4，AB=1+k2 x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k24k2+4k22-16=4 2k4+3k2+1k2，y1+y2=k x1+x2-4k=4k

33、，线段AB的中点坐标为2k2+2k2,2k，则线段AB的垂直平分线方程为y-2k=-1kx-2k2+2k2，令y=0，得x=4+2k2，故C 4+2k2,0，又D 6,0，得 CD=4+2k2-6=2-2k2ABCD=2 2k4+3k2+1k2-1=22+7k2-1k4-2k2+1，令t=7k2-1 k6，则k2=17t+1，t41，ABCD=22+t149t+12-27t+1+1=22+49t+36t-12，易知函数 f t=t+36t在 41,+上单调递增，当t=41时，f t取得最小值，此时k=6，故ABCD的最大值为22+4136-12+1=2 9156.(20232023 湖南邵阳湖

34、南邵阳 统考二模统考二模)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 0a 10,b0的右顶点为 A，左焦点F-c,0到其渐近线 bx+ay=0 的距离为 2，斜率为13的直线 l1交双曲线 C 于 A，B 两点，且 AB=8 103(1)求双曲线C的方程；(2)过点T 6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由【答案】(1)x29-y24=1(2)以线段MN为直径的圆过定点 6-2 3,0和 6+2 3,0【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解b=2，进而联

35、立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解a=3，(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】(1)双曲线C的左焦点F-c,0到双曲线C的一条渐近线bx+ay=0的距离为d=bca2+b2=b，而d=2，b=2双曲线C的方程为x2a2-y24=1 0a0，点A，B的横坐标分别为xA,xB，则xAxB=a2a2+36a2-36xA=a，xB=a a2+36a2-36 AB=1+132xA-xB=103xA-xB=8 103，xA-xB=8即 a-a a2+36a2-36=8，解得a=3或a=12(舍去)，且a=3

36、时，0，双曲线C的方程为x29-y24=1(2)依题意直线l2的斜率不等于0，设直线l2的方程为x=my+6由x=my+6,x29-y24=1,消去x整理得：4m2-9y2+48my+108=0，4m2-90，10设P x1,y1，Q x2,y2，则y1+y2=-48m4m2-9，y1y2=1084m2-9直线AP的方程为y=y1x1-3x-3，令x=6得：y=3y1x1-3，M 6,3y1x1-3同理可得N 6,3y2x2-3由对称性可知，若以线段MN为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，设该定点为R t,0，则RM=6-t,3y1x1-3，RN=6-t,3y2x2-3，故RM RN=6-

37、t2+9y1y2x1-3x2-3=6-t2+9y1y2my1+3my2+3=6-t2+9y1y2m2y1y2+3m y1+y2+9=6-t2+91084m2-9m21084m2-9-3m48m4m2-9+9=6-t2-12=0解得t=6-2 3 或t=6+2 3故以线段MN为直径的圆过定点 6-2 3,0和 6+2 3,0【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.7.(20232023春春 湖南长沙湖南长沙 高三雅礼中学校考阶段练习高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当0且1时，我们把方程x2a2+y2b2

38、=(ab0)表示的椭圆C称为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的相似椭圆.(1)如图，已知F1-3,0,F23,0,M为O:x2+y2=4上的动点，延长F1M至点N，使得 MN=MF1,F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆C是椭圆C的相似椭圆，M1,N1是椭圆C的左 右顶点.点Q是C上异于四个顶点的任意一点，当=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM1与椭圆C交于点A,B，直线QN1与椭圆C交于点D,E，求 AB+DE的值.【答案】(1)x24+y2=1(2)5【分析】(1)由图可知OM是F1NF2的中位线，由此可得F2N长为

39、定值，因为点P在F1N的垂直平分线上，所以 PF1+PF2=PF2+PN，根据椭圆定义求解析式即可；(2)假设出点Q坐标，表示直线QM1与直线QN1的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出 AB+DE的值.【详解】(1)连接OM，易知OM12F2N且 OM=12F2N，F2N=4，又点P在F1N的垂直平分线上，PF1=PN，PF1+PF2=PF2+PN=NF2=42 3，满足椭圆定义，a=2,c=3,b=1，曲线C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知椭圆C方程为x24+y2=1，则离心率e=32=34，楄圆C的标准方程为x23+4y

40、23=1，设Q x0,y0为椭圆C异于四个顶点的任意一点，直线QM1,QN1斜率kQM1,kQN1，则kQM1kQN1=y0 x0+3y0 x0-3=y20 x20-3，又x203+4y203=1y20=143-x20，kQM1kQN1=-14kQM112.设直线QM1的斜率为k，则直线QN1的斜率为-14k.直线QM1为y=k x+3，由y=k x+3,x24+y2=1,得 1+4k2x2+8 3k2x+12k2-4=0，设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=-8 3k21+4k2,x1x2=12k2-41+4k2，AB=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=4 1

41、+k21+4k2，同理可得 DE=1+16k21+4k2，AB+DE=4 1+k21+4k2+1+16k21+4k2=5.8.(20232023 湖北武汉湖北武汉 统考模拟预测统考模拟预测)过坐标原点 O 作圆 C:(x+2)2+y2=3 的两条切线，设切点为 P,Q，直线PQ恰为抛物E:y2=2px,(p0)的准线.(1)求抛物线E的标准方程；(2)设点T是圆C上的动点，抛物线E上四点A,B,M,N满足：TA=2TM,TB=2TN，设AB中点为D.(i)求直线TD的斜率；(ii)设TAB面积为S，求S的最大值.【答案】(1)y2=2x(2)(i)0；(ii)48【分析】(1)设直线PQ与x轴

42、交于P0-p2,0，由几何性质易得：CP2=CP0 CO，即可解决；(2)设T x0,y0,A x1,y1,B x2,y2，(i)中，由于TA中点M在抛物线E上，得y0+y122=2x0+x12，将A x1,y1,B x2,y2，代入联立得D点纵坐标为y1+y22=y0，即可解决；()由(i)得点D3y20-4x02,y0，S=12TD y1-y2=3 22y20-2x03，又点T在圆C上，得y20=-x20-4x0-1，可得：S=3 22-x0+32+83即可解决.【详解】(1)设直线PQ与x轴交于P0-p2,0.由几何性质易得：CPP0与OCP相似，所以CPCP0=COCP，CP2=CP0

43、 CO，即：3=-p2+22，解得：p=1.所以抛物线E的标准方程为：y2=2x.(2)设T x0,y0,A x1,y1,B x2,y2(i)由题意，TA中点M在抛物线E上，即y0+y122=2x0+x12，又y21=2x1，将x1=y212代入，得：y21-2y0y1+4x0-y20=0，同理：y22-2y0y2+4x0-y20=0，有y1+y2=2y0y1y2=4x0-y20，此时D点纵坐标为y1+y22=y0，所以直线TD的斜率为0.()因为x1+x22=y21+y224=y1+y22-2y1y24=3y20-4x02，所以点D3y20-4x02,y0，此时S=12TD y1-y2，TD

44、=3y20-4x02-x0=32y20-2x0，y1-y2=y1+y22-4y1y2=8 y20-2x0，所以S=3 22y20-2x03，又因为点T在圆C上，有 x0+22+y20=3，即y20=-x20-4x0-1，代入上式可得：S=3 22-x20-6x0-13=3 22-x0+32+83，由-2-3 x0-2+3，所以x0=-3时，S取到最大价3 2283=48.所以S的最大值为48.9.(20232023 山东山东 潍坊一中校联考模拟预测潍坊一中校联考模拟预测)已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,OFM的面积为1(

45、1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y2=4x(2)存在，-1,0或-1,-4【分析】(1)设点M的坐标为-p2,a，根据直线MF的斜率为-1，得到a=p，再根据OFM的面积为1求出p，即可得解；(2)假设存在点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方设直线l的方程为x=my+1，A x1,y1，B x2,y2，N-1,t，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又kNF=-t2，kNA+kNB=y1-tx1+1+y2-t

46、x2+1，化简kNA+kNB，即可得到方程，求出t的值，即可得解.【详解】(1)解：由题意知Fp2,0，设点M的坐标为-p2,a，则直线MF的斜率为a-0-p2-p2=-ap因为直线MF的斜率为-1，所以-ap=-1，即a=p，所以OFM的面积S=12OFa=p24=1，解得p=2或p=-2(舍去)，故抛物线C的方程为y2=4x(2)解：假设存在点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方由(1)得F 1,0，抛物线C的准线l的方程为x=-1设直线l的方程为x=my+1，A x1,y1，B x2,y2，N-1,t，联立x=my+1y2=4x 得y2-4my-4=0，所以=16m2+

47、160，y1+y2=4m，y1y2=-4因为kNF=0-t1+1=-t2，kNA+kNB=y1-tx1+1+y2-tx2+1=2my1y2+2-tmy1+y2-4tm2y1y2+2m y1+y2+4=2m-4+4m 2-tm-4t-4m2+2m4m+4=-4t m2+14 m2+1=-t，所以-t=-t22，解得t=0或t=-4故存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方，其坐标为-1,0或-1,-410.(20232023 山东菏泽山东菏泽 统考一模统考一模)如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点分别为 F1-3,0,F23,0,A为椭圆C上一点，F1

48、AF2的面积最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)若BD分别为椭圆C的上下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于PQ(P在上方，Q在下方，且均不与B,D点重合)两点，直线PB,QD的斜率分别为k1,k2，且k2=-3k1，求PBQ面积的最大值.【答案】(1)x24+y2=1(2)12【分析】(1)根据条件，得到关于a,b,c的方程，即可得到结果；(2)根据题意设直线PQ的方程为y=kx+m，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由k2=-3k1列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)SF1AF2=122 3 b=3，b=1，a=b2+3=2，故椭圆的方程为x24+y2=1；(2)依题意设

49、直线PQ的方程为y=kx+m，P x1,y1,Q x2,y2，联立方程组y=kx+mx24+y2=1，消元得：1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0，x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2，=64k2m2-4 1+4k24m2-4=16 1+4k2-m20，由k2=-3k1得：y2+1x2=-3y1-1x1，两边同除x1，y2+1x1x2=-3y1-1x21=-3y1-14 1-y21=34 1+y1，即3x1x2-4 1+y11+y2=0；将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式得：3x1x2-4 1+y11+y2=3x1x2-4 kx1+m+1kx2+m+1=

50、3-4k2x1x2-4k m+1x1+x2-4 m+12=3-4k24m2-41+4k2-4k m+1-8km1+4k2-4 m+12=0,整理得：m2-m-2=0所以m=2或m=-1(舍)，SPQB=121 x1-x2=12x1+x22-4x1x2=12-8km1+4k22-44m2-41+4k2=2 4k2-31+4k2=24k2-3+44k2-312,当k=72时等号成立，满足条件，所以PQB面积的最大值为12.11.(20232023 福建泉州福建泉州 统考三模统考三模)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B直线l与C相切，且与圆O:x2+y2=4交于M，N两点，M在N