2024年高考数学专项复习排列组合与概率统计（解析版）.pdf

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1、20242024届新高考卷概率与统计热门考题汇编届新高考卷概率与统计热门考题汇编第一部分：基本原理和重要概念第一部分：基本原理和重要概念一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整二、常见的一些排列问题及其解决方法常见的一些排列问题及其解决方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法

2、把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法三、分组分配问题分组分配问题(1)(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配四、二项式定理二项式定理(1

3、)(1)一般地，对于任意正整数，都有：(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+Crnan-rbr+Cnnbn(nN)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式式中的Crnan-rbr做二项展开式的通项，用 Tr+1表示，即通项为展开式的第 r+1项：Tr+1=Crnan-rbr，其中的系数Crn(r=0，1，2，n)叫做二项式系数，2.2.(2)两个常用的二项展开式：(a-b)n=C0nan+C1nan-1b+L+-1rCrnan-rbr+L+-1nCnnbn(nN)，1+xn=1+C1nx+C2nx2+L+Crnxr+L+xn(3)(3)二项式系数的性质(杨辉

4、三角形)每一行两端都是1，即C0n=Cnn；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cmn+1=Cm-1n+Cmn对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cmn=Cn-mn二项式系数和令a=b=1，则二项式系数的和为C0n+C1n+C2n+Crn+Cnn=2n，变形式C1n+C2n+Crn+Cnn=2n-1奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a=1，b=-1，则C0n-C1n+C2n-C3n+(-1)nCnn=(1-1)n=0，从而得到：C0n+C2n+C4n+C2rn+=C1n+C3n+C2r+1n+=122n=2n-1最大值：如果二项式的幂指数

5、n是偶数，则中间一项Tn2+1的二项式系数Cn2n最大；如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项Tn+12，Tn+12+1的二项式系数Cn-12n，Cn+12n相等且最大求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为 A1，A2，An+1，设第r+1项系数最大，应有Ar+1ArAr+1Ar+2，从而解出r来(4)(4)二项式系数和的计算与赋值五、二项分布二项分布1.1.n重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为n重伯努利试验2.2.n重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n

6、次；(2)各次试验的结果相互独立3.3.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为 p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X=k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)4.4.一般地，可以证明：如果XB(n,p)，那么EX=np,DX=np(1p).六、超几何分布超几何分布1.1.超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X

7、的分布列为 P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN，k=m，m+1，m+2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，m=max0，n-N+M，r=minn，M如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2.2.超几何分布的期望E(X)=np(p为N件产品的次品率)七、二项分布与超几何分布的区别二项分布与超几何分布的区别1.1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.2.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A或A，

8、一般考查二项分布.4.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.7.7.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为 p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X=k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X

9、服从二项分布，记作XB(n,p)8.8.一般地，可以证明：如果XB(n,p)，那么EX=np,DX=np(1p).八、二项分布的两类最值二项分布的两类最值(1)(1)当p给定时，可得到函数 f(k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，这个是数列的最值问题.pkpk1=Cnkpk(1p)nkCk1npk1(1p)nk+1=(nk+1)pk(1p)=k(1p)+(n+1)pkk(1p)=1+(n+1)pkk(1p).分析：当kpk1，pk随k值的增加而增加；当k(n+1)p时，pk pk1，pk随k值的增加而减少.如果(n+1)p为正整数，当k=(n+1)p时，pk=pk1，此时这两项概

10、率均为最大值.如果(n+1)p为非整数，而k取(n+1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.(2)(2)当k给定时，可得到函数 f(p)=Cknpk(1p)nk,p(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：f(p)=Cknkpk1(1p)nkpk(nk)(1p)nk1=Cknpk1(1p)nk1k(1p)(nk)p=Cknpk1(1p)nk1(knp).当k=1,2,n1时，由于当 p0，f(p)单调递增，当 pkn时，f(p)0，我们称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，

11、事件B发生的条件概率，简称条件概率可以看到，P(B|A)的计算，亦可理解为在样本空间 A中，计算AB的概率.于是就得到计算条件概率的第二种途，即P(B|A)=n(AB)n(A)=n ABn n An=P ABP A.特别地，当P(B|A)=P(B)时，即A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).2.2.条件概率的性质设P(A)0，全样本空间定义为，则(1)P|A=1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BC)|A)=P B|A+P C|A；(3)设事件A和B互为对立事件，则P(BA)=1-P(BA)十一、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式1.1.在全概率的实际问题中我们经常会

12、碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设 A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1 A2 An=，且 P Ai 0，i=1，2，n，则对任意的事件B，有P(B)=ni=1PAiP BAi.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一2.2.贝叶斯公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An=，且P Ai0，i=1，2，n，则对任意事件B，P B0，有 P AiB=P AiP BAiP(B)=P AiP BAink=1PAkP BAk，i=1,2,n.在贝叶斯公式中，P Ai和P Ai|

13、B分别称为先验概率和后验概率十二、一维随机游走与马尔科夫链一维随机游走与马尔科夫链1.1.转移概率：对于有限状态集合S，定义：Pij=P Xn+1=jXn=i为从状态i到状态 j的转移概率.2.2.马尔可夫链：若 P Xn+1=iXn=i,Xn-1=in-1,X0=i0=P Xn+1=jXn=i=Pij，即未来状态 Xn+1只受当前状态Xn的影响，与之前的Xn-1，Xn-2，X0无关.3.3.一维随机游走模型.设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻 t=0时，位于点x=i iN+，下一个时刻，它将以概率 或者 0,1,+=1向左或者向右平移一个单位.若记状态 Xt=i表示：在时刻 t

14、该点位于位置x=i iN+，那么由全概率公式可得：P Xt+1=i=P Xt=i-1P Xt+1=iXt=i-1+P Xt=i+1P Xt+1=iXt=i+1另一方面，由于P Xt+1=iXt=i-1=，P Xt+1=iXt=i+1=，代入上式可得：Pi=Pi+1+Pi-1进一步，我们假设在x=0与x=m m0,mN+处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，P0=0，Pm=1随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为 a，原地不动，其概率为 b，向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：Pi=aPi+1+b

15、Pi+cPi-1有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.十三、统计统计1.1.线性回归方程与最小二乘法(1)回归直线方程过样本点的中心(x,y)，是回归直线方程最常用的一个特征(2)我们将y=bx+a称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 b,a叫做 b，a 的最小二乘估计(leastsquaresestimate)，其中b=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2=ni=1xiyi-nxyni=1x2i-nx2a=y-bx.(3)残差的概念对于响应变量

16、Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 y称为预测值，观测值减去预测值称为残差残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析(4)刻画回归效果的方式(i)残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好(ii)残差平方和法：残差平方和ni=1yi-yi2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差(iii)利用R2刻画回归效果：决定系数R2是度

17、量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力 R2=1ni=1yi-yi2ni=1yi-y2，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差第二部分第二部分.试题汇编试题汇编一、单选题单选题2.2.(福建省福州市普通高中福建省福州市普通高中 20232023 届高三毕业班质量检测届高三毕业班质量检测(二检二检)若二项式 3x2+1x2n展开式中存在常数项，则正整数n可以是()A.3B.5C.6D.73.3.(福建省福州市普通高中福建省福州市普通高中20232023届高三毕业班质量检测届高三毕业班质量检测(二检二检)为培养学生“爱读书 读好书 普读书”的良好习惯

18、，某校创建了人文社科类 文学类 自然科学类三个读书社团甲 乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为()A.13B.12C.23D.344.4.(福建省厦门市福建省厦门市20232023届高三下学期第二次质量检测届高三下学期第二次质量检测)ax+y5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a=()A.2B.2C.2 2D.2 25.5.(福建省厦门市福建省厦门市20232023届高三下学期第二次质量检测届高三下学期第二次质量检测)厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山

19、、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”市民甲计划从“八山三水”这 11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为()A.13B.49C.59D.1091656.6.(广东省广东省 20232023 届高考一模届高考一模)如图，在两行三列的网格中放入标有数字 1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有()A.96种B.64种C.32种D.16种7.7.(广东省佛山市广东省佛山市 20232023 届高三教学质量检测届高三教学质量检测(一一)已知事件 A，B，C的概率均不为 0，则P

20、 A=P B的充要条件是()A.P AB=P A+P BB.P AC=P BCC.P AB=P ABD.P AC=P BC8.8.(广东省广州市广东省广州市20232023届高三综合测试届高三综合测试(一一)“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有()A.100个B.125个C.225个D.250个9.9.(广东省深圳市广东省深圳市20232023届高三第一次调研届高三第一次调研)安排5名大学生到

21、三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为()A.15B.310C.325D.62510.10.(湖北省七市湖北省七市(州州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式 2x-1xn展开式的常数项为()A.-160B.60C.120D.24011.11.(江苏省八市江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)20232023届高三二模届高三二模)已知 x3+2x2n的展开式中各

22、项系数和为243，则展开式中常数项为()A.60B.80C.100D.12012.12.(江苏省南京市、盐城市江苏省南京市、盐城市20232023届高三下学期一模届高三下学期一模)某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N 4,20，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为()A.0.9B.0.7C.0.3D.0.113.13.(江苏省苏锡常镇四市江苏省苏锡常镇四市20232023届高三下学期届高三下学期3 3月教学情况调研月教学情况调研(一一)“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，

23、他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这 6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件 A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件 B 为“两位游客选择的景点不同”，则P BA=()A.79B.89C.911D.101114.14.(20232023 年湖北省八市高三年湖北省八市高三(3 3 月月)联考联考)甲乙丙丁戊 5 名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A,B,C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为()A.193243B.100243C.23D.5915.15.(山东省济南市

24、山东省济南市 20232023 届高三下学期届高三下学期 3 3 月一模月一模)从正六边形的 6 个顶点中任取 3 个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为()A.310B.12C.35D.91016.16.(山东省青岛市山东省青岛市 20232023 届高三下学期第一次适应性检测届高三下学期第一次适应性检测)某次考试共有4道单选题，某学生对其中 3道题有思路，1道题完全没有思路有思路的题目每道做对的概率为 0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为()A.0.34B.0.37C.0.42D.0.4317.17.

25、(浙江省温州市普通高中浙江省温州市普通高中 20232023 届高三下学期届高三下学期 3 3 月第二次适应性考试月第二次适应性考试)已知随机变量 X 服从正态分布N 2,2，且P(X3)=16，则P(X1)=()A.13B.23C.16D.5618.18.(浙江省温州市普通高中浙江省温州市普通高中 20232023届高三下学期届高三下学期3 3月第二次适应性考试月第二次适应性考试)(1+x)n展开式中二项式系数最大的是C5n，则n不可能是()A.8B.9C.10D.1119.19.(浙江省温州市普通高中浙江省温州市普通高中20232023届高三下学期届高三下学期3 3月第二次适应性考试月第二

26、次适应性考试)一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6现将此骰子任意抛掷 2 次，正面向上的点数分别为 X1,X2设 Y1=X1,X1X2X2,X1X2，记事件A=“Y1=5”，B=“Y2=3”，则P BA=()A.19B.29C.15D.211二、多选题多选题20.20.(福建省厦门市福建省厦门市 20232023 届高三下学期第二次质量检测届高三下学期第二次质量检测)李明每天 7：00 从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车他各记录了 50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差

27、为4假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则()A.P(X32)P(Y32)B.P(X36)=P(Y36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车21.21.(广东省佛山市广东省佛山市20232023届高三教学质量检测届高三教学质量检测(一一)中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中 2017年全国居民恩格尔系数为 29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家

28、恩斯特恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=食物支出金额总支出金额100%”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达 60%以上为贫困，50%60%为温饱，40%50%为小康，30%40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知()A.城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数22.22.(广东省广州市广东省广州市20

29、232023届高三综合测试届高三综合测试(一一)某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据(单位：kg)全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A.频率分布直方图中a的值为0.07B.这100名学生中体重低于60kg的人数为60C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.523.23.(湖北省七市湖北省七市(州州)20232023届高三下学期届高三下学期3 3月联合统一调研测试月联合统一调研测试)下列命题中正确的是()A.若样本数据x1，x2，x20的样本方差为3，则数据2x1+1，2x2+

30、1，2x20+1的方差为7B.经验回归方程为y=0.3-0.7x时，变量x和y负相关C.对于随机事件A与B，P A0，P B0，若P A B=P A，则事件A与B相互独立D.若XB 7,12，则P X=k取最大值时k=424.24.(湖北省武汉市湖北省武汉市20232023届高三下学期二月调研届高三下学期二月调研)在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有()A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都

31、分别高于甲校B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率25.25.(湖北省武汉市湖北省武汉市20232023届高三下学期二月调研届高三下学期二月调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B n,p，其中nN,0p1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有()A.a+b=1B.p=12时，a=bC.0p12时，a随着n的增大而增大D.12p100，求i的最小值.41.41.(广东省深圳市广东省深圳市20232023届高三第一次调研届高三第一次调研)某企业因技术升级，决定从2

32、023年起实现新的绩效方案方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式回答问卷，否则按方式回答问卷”方式：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“”，否则画“”；方式：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“”，否则画“”当所有员工完成问卷调查后，统计画，画的比例用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值其中满意度=企业所有对新绩效方案满意的员工人数企业所有员工人数100%(1

33、)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式回答问卷的人数，求X的数学期望；(2)若该企业的所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度42.42.(湖北省七市湖北省七市(州州)20232023 届高三下学期届高三下学期 3 3 月联合统一调研测试月联合统一调研测试)某市举行招聘考试，共有 4000 人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试为了解考生的考试情况，随机抽取了 100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N,2，其中为样本

34、平均数的估计值，13，试估计初试成绩不低于88分的人数；(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值附：若随机变量X服从正态分布N,2，则：P-X+=0.6827，P-2X+2=0.9545，P-3X+3=0.997343.43.(湖北省武汉市湖北省武汉市 20232023 届高三下学期二月调研届高三下学期二月调研)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其

35、中 4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X，求E(X)；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E(Y)并从实际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系.44.44.(江苏省南京市、盐城市江苏省南京市、盐城市20232023届高三下学期一模届高三下学期一模)人工

36、智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率).(1)求首

37、次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.求选到的袋子为甲袋的概率，将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.45.45.(江苏省苏锡常镇四市江苏省苏锡常镇四市20232023届高三下学期届高三下学期3 3月教学情况调研月教学情况调研(一一)某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占 a%，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验

38、工作量，随机按 n人一组进行分组，将各组 n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若a=0.2，n=20，试估算该小区化验的总次数；(2)若a=0.9，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费n+9元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.(注：当p0.01时，1-pn1-np)46.46.(20232023年湖北省八市高三年湖北省八市高三(3 3月月)联考联考)3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某

39、中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三(7)班派出甲乙两个小组参赛，在初赛中，若甲乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34,35，通过第二轮比赛的概率分别是45,23，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若三(7)获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；(2)已知甲乙两个小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，

40、且甲乙两个小组抢到该题的可能性分别是13,23，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率.47.47.(山东省青岛市山东省青岛市20232023届高三下学期第一次适应性检测届高三下学期第一次适应性检测)今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试(满分 100 分)，随机抽取了 100 名学生的测试成绩，按照 60,70，70,80，80,90，90,100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样

41、本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用P X=k表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在 90,100上的概率，求P X=k取最大值时对应的k的值；(3)从测试成绩在 90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望20232023届新高考卷概率与统计热门考题汇编届新高考卷概率与统计热门考题汇编第一部分：基本原理和重要概念第一部分：基本原理和重要概念一、分类加法

42、计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整二、常见的一些排列问题及其解决方法常见的一些排列问题及其解决方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列

43、的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法三、分组分配问题分组分配问题(1)(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配四、二项式定理二项式定理(1)(1)一般地，对于任意正整数，都有：(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+Crnan-rbr+Cnnbn(nN)，这个公式所表示的定理叫做二

44、项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式式中的Crnan-rbr做二项展开式的通项，用 Tr+1表示，即通项为展开式的第 r+1项：Tr+1=Crnan-rbr，其中的系数Crn(r=0，1，2，n)叫做二项式系数，2.2.(2)两个常用的二项展开式：(a-b)n=C0nan+C1nan-1b+L+-1rCrnan-rbr+L+-1nCnnbn(nN)，1+xn=1+C1nx+C2nx2+L+Crnxr+L+xn(3)(3)二项式系数的性质(杨辉三角形)每一行两端都是1，即C0n=Cnn；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cmn+1=Cm-1n+Cmn对称性每一行中，与首末两端“等距离

45、”的两个二项式系数相等，即Cmn=Cn-mn二项式系数和令a=b=1，则二项式系数的和为C0n+C1n+C2n+Crn+Cnn=2n，变形式C1n+C2n+Crn+Cnn=2n-1奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a=1，b=-1，则C0n-C1n+C2n-C3n+(-1)nCnn=(1-1)n=0，从而得到：C0n+C2n+C4n+C2rn+=C1n+C3n+C2r+1n+=122n=2n-1最大值：如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项Tn2+1的二项式系数Cn2n最大；如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项Tn+12，Tn+12+1的二项式系数Cn-12n，C

46、n+12n相等且最大求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为 A1，A2，An+1，设第r+1项系数最大，应有Ar+1ArAr+1Ar+2，从而解出r来(4)(4)二项式系数和的计算与赋值五、二项分布二项分布1.1.n重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为n重伯努利试验2.2.n重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立3.3.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为 p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，

47、则X的分布列为：P(X=k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)4.4.一般地，可以证明：如果XB(n,p)，那么EX=np,DX=np(1p).六、超几何分布超几何分布1.1.超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN，k=m，m+1，m+2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，m=max0，n-N+M，r=mi

48、nn，M如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2.2.超几何分布的期望E(X)=np(p为N件产品的次品率)七、二项分布与超几何分布的区别二项分布与超几何分布的区别1.1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.2.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A或A，一般考查二项分布.4.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.5.看每一次抽样试验中，事件是否独

49、立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.7.7.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为 p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X=k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)8.8.一般地，可以证明：如果XB(n,p)，那么EX=np,DX=np(1p).八、二项分布的两类最值二项分布的两

50、类最值(1)(1)当p给定时，可得到函数 f(k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，这个是数列的最值问题.pkpk1=Cnkpk(1p)nkCk1npk1(1p)nk+1=(nk+1)pk(1p)=k(1p)+(n+1)pkk(1p)=1+(n+1)pkk(1p).分析：当kpk1，pk随k值的增加而增加；当k(n+1)p时，pk pk1，pk随k值的增加而减少.如果(n+1)p为正整数，当k=(n+1)p时，pk=pk1，此时这两项概率均为最大值.如果(n+1)p为非整数，而k取(n+1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期