数列中的构造问题--2024高考数学大题题型归纳（解析版）.pdf

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1、数列中的构造问题数列中的构造问题1 已知数列 an满足a1=1，a2=5，an+2=5an+1-6an(1)证明：an+1-2an是等比数列；(2)证明：存在两个等比数列 bn，cn，使得an=bn+cn成立2 已知数列 an的前n项和为Sn，a1=2，an0，anan+1=4Sn.(1)求an；(2)设bn=-1n 3n-1，数列 bn的前n项和为Tn，若kN*，都有T2k-1T2k成立，求实数的范围.3 已知数列 an满足a1=3，an+1=a2n-2an+2.(1)证明数列 ln an-1是等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)若bn=1an+1an-2，数列 bn的前n项和Sn，求

2、证：Sn2.1数列中的构造问题-2024高考数学大题题型归纳（解析版）4已知数列 an的前n项和为Sn，且满足2Sn+2n=3annN*(1)an的通项公式；(2)若bn=nan+n，求数列 bn的前n项和Tn5已知各项均为正数的数列an满足a1=1,an=2an-1+3(正整数n2)(1)求证：数列 an+3是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.6设各项均为正数的数列an满足Snan=pn+r(p,r为常数)，其中Sn为数列an的前n项和.(1)若p=1,r=0，求证：an是等差数列；(2)若p=13,a1=2，求数列an的通项公式.27已知数列 an，2an+1=anan+1+1，a

3、1=3(1)求证：数列1an-1 是等差数列(2)设bn=1-an1-an+1，求证：数列 bn的前n项和Sn-28已知数列 an的前n项和为Sn=nn+1nN+，数列 bn满足b1=1，且bn+1=bnbn+2nN+(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 bn的通项公式；(3)对于nN+，试比较bn+1与an的大小.9已知数列 an有递推关系an+1=9an-105an-6nN*,an65,a1=95,(1)记an=bn+k,若数列 bn的递推式形如bn+1=rbnpbn+qp,q,rR且 p,r0，也即分子中不再含有常数项，求实数k的值；(2)求 an的通项公式.310已知数列 an满

4、足a1+a3=2a2，an+1=3an,n为奇数an+2,n为偶数，数列 cn满足cn=a2n-1(1)求数列 cn和 an的通项公式；(2)求数列 an的前n项和Sn11已知Sn为数列 an的前n项和，a1=2，Sn+1=Sn+4an-3，记bn=log2an-1+3(1)求数列 bn的通项公式；(2)已知cn=-1n+1bn+1bnbn+1，记数列 cn的前n项和为Tn，求证：Tn22112已知数列 an满足an+1=2an-1,a1+a2=a3(1)求 an的通项公式；(2)若bn=2n-1，数列 cn满足c4n-3=b2n-1,c4n-2=a2n-1,c4n-1=a2n,c4n=b2n

5、，求 cn的前4n+1项和S4n+1413设数列 an的前n项和为Sn，且a1=2，2Sn+1an+1=2Snan+1.(1)求 an的通项公式；(2)若bn=1Sn，求数列 bn的前n项和Tn.14已知数列 an满足a1=1，an=3an-1+2 n2,nN*(1)求证：数列 an+1是等比数列；(2)若bn=2n+1an+1-an，Sn为数列 bn的前n项和，求Sn15设数列 an的前n项和为Sn,Sn=2an+2n-6 nN*.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列2n+1anan+1 的前m项和Tm=127258，求m的值.516已知数列 an满足a1=1，n-1an-nan-1=

6、0 n2(1)求数列 an的通项公式；(2)若bn=2nan，求数列 bn的前n项和Sn17记数列 an的前n项和为Sn，已知a1=-2，Sn+1+2Sn=-2n+1.(1)求 an的通项公式；(2)记数列an的前n项和为Tn，证明：SnTn3 Sn.18已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn=2an-n nN*.(1)求证；数列 an+1是等比数列；(2)求证：nk=12kakak+11.619已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1，nN*，数列bn满足b1=1，且nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)，nN*(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn=anbn，求数列cn

7、的前n项和为Tn20已知数列 an满足a1=1，a2=4.有以下三个条件：an+1=4an-4an-1(n2，nN*)；nan+1=2 n+1an；a1+a22+a34+an2n-1=n2+n2(nN*)；从上述三个条件中任选一个条件，求数列 an的通项公式和前n项和Sn.21若数列 an满足a1=2,an+1-2an=3n-1(1)证明:an+1-3an是等比数列；(2)设 an的前n项和为Sn,求满足Sn2023的n的最大值722已知数列 an的首项a1=25，且满足an+1=2an2an+1.(1)求证：数列1an-2 为等比数列：(2)若1a1+1a2+1a3+1an101，求满足条件

8、的最大整数n.23已知数列 an满足a1=1,a2=6，且an+1=4an-4an-1,n2,nN*.(1)证明数列 an+1-2an是等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)求数列 an的前n项和Sn.24已知正项数列 an的前n项和为Sn，现在有以下三个条件：数列 a2n的前n项和为Tn=n(n+1)2；a1=1,an+1=n+1nan；a1=1,a2=2，当n3时，an+an-1Sn-2Sn-1+Sn-2=1从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足b1=1,bn=an-an-1(n2)，试问 bn中是否存在连续三项bk,bk+1,bk

9、+2，使得1bk,1bk+1,1bk+2构成等差数列？请说明理由825已知数列 an中，a1=5且an=2an-1+2n-1 n2,nN*，bn=an-1n+1(1)求证：数列 bn是等比数列；(2)从条件 n+bn，nbn中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答求数列的前n项和Tn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分26已知数列 an的前n项的和为Sn且满足Sn=2an-2n，数列 bn是两个等差数列1,4,7,10,与4,9,14,19,的公共项组成的新数列(1)求出数列 an，bn的通项公式；(2)求出数列 an+bn的前n项的和Tn27记Sn是公差不为0的等差数列 an的前n

10、项和，已知a3+3a4=S5,a1a5=S4，数列 bn满足bn=3bn-1+2n-1n2,nN*，且b1=a1-1.(1)求 an的通项公式；(2)证明数列bn2n+1 是等比数列，并求 bn的通项公式；(3)求证：对任意的nN*，ni=11bi32.928已知数列 an的前n项和为Sn，满足a1=1，且2Sn=nan+1.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列1Sn 的前n项和Tn.29设数列 an满足a1=2，an-2an-1=2-n nN*(1)求证：an-n为等比数列，并求 an的通项公式；(2)若bn=an-nn，求数列 bn的前n项和Tn30问题：已知nN*，数列 an的前n

11、项和为Sn，是否存在数列 an，满足S1=1,an+11+an，若存在求通项公式an若不存在，说明理由在an+1=2(Sn+1+Sn)an=Sn-1+n n2；an+1=2an+n-1这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分1031已知数列 an的前n项和为Sn.(1)从S1=1，2Sn+1=Sn+2，Sn+an=2a1这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求an的通项公式；(2)在第(1)问的前提下，若bn=an+1an，求数列 bn的前n项和Tn.注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.32在数列 an中，a1=5，且an

12、+1=2an-1 nN*.(1)证明：an-1为等比数列，并求 an的通项公式；(2)令bn=(-1)nan，求数列 bn的前n项和Sn.33已知数列 an满足a1=12,2 n-1an-nan-1=0,n2(1)求数列 an的通项公式；(2)当cn=an+1-an+n时，求数列 cn的前n项和为Tn1134设数列an的前n项和Sn=2an-n(1)求数列an的通项公式；(2)若bnn=log2an2+1-3，求bn的前n项和Tn取最小值时n的值；(3)证明：ni=11a2i49.35设数列 an的前n项和为Sn，a1=4，2Sn=an+1+2n-4(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=

13、4n+-1ntan，若数列 bn是递增数列，求t的取值范围36设数列 an的前n项和为Sn，且2Sn+1=3annN*.(1)求Sn；(2)证明：当n2时，2Sn+3an9.1237已知数列 an的前n项和为Sn，4an-2Sn-3n+1=0.(1)求数列 an-3n的通项公式；(2)记bn=an-3n+log2an-3n，求数列 b2n-1的前n项和Tn.38已知各项都为正数的数列an满足an+2=2an+1+3an.(1)证明：数列an+an+1为等比数列；(2)若a1=12，a2=32，求an的通项公式.39已知数列 an的前n项和为Sn，a1=1，且Sn=2Sn-1+n n2,nN*(

14、1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=2n-1an+1，求数列 bn的前n项和Tn1340已知数列 an，bn满足anb1+an-1b2+a1bn=2n-n2-1，其中an=2n(1)求b1,b2的值及数列 bn的通项公式；(2)令cn=4bn-1anbnbn+1，求数列 cn的前n项和14数列中的构造问题数列中的构造问题1已知数列 an满足a1=1，a2=5，an+2=5an+1-6an(1)证明：an+1-2an是等比数列；(2)证明：存在两个等比数列 bn，cn，使得an=bn+cn成立【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由an+2=5an+1-6an构造出an+2

15、-2an+1=q an+1-2an，用等比数列定义证明即可；(2)通过两次构造等比数列，求出 an的通项公式，根据通项公式得出结论即可.【详解】(1)由已知，an+2=5an+1-6an，an+2-2an+1=5an+1-6an-2an+1，an+2-2an+1=3an+1-6an=3 an+1-2an，显然an+1-2an=0与a1=1，a2=5矛盾，an+1-2an0，an+2-2an+1an+1-2an=3，数列 an+1-2an是首项为a2-2a1=5-2=3，公比为3的等比数列.(2)an+2=5an+1-6an，an+2-3an+1=5an+1-6an-3an+1，an+2-3an

16、+1=2an+1-6an=2 an+1-3an，显然an+1-3an=0与a1=1，a2=5矛盾，an+1-3an0，an+2-3an+1an+1-3an=2，数列 an+1-3an是首项为a2-3a1=5-3=2，公比为2的等比数列，an+1-3an=2n，又由第(1)问，an+1-2an=3n，-得，an=3n-2n，存在bn=3n，cn=-2n，两个等比数列 bn，cn，使得an=bn+cn成立2已知数列 an的前n项和为Sn，a1=2，an0，anan+1=4Sn.(1)求an；(2)设bn=-1n 3n-1，数列 bn的前n项和为Tn，若kN*，都有T2k-1T2k成立，求实数的范围

17、.【答案】(1)an=2n，nN*(2)-2,6【分析】(1)由anan+1=4Sn，可得an-1an=4Sn-1n2，两式相减并化简后可得an+1-an-1=4n2，后分奇偶情况可得an；(2)方法1，由题bn=-3n-1n，由等比数列前n项和公式可得T2k,T2k-1表达式；方法2，注意到b2k-1+b2k=232k-1，可得T2k,T2k-1表达式.后注意到T2k,T2k-1的单调性，利用T1T2可得答案.【详解】(1)anan+1=4Sn，an-1an=4Sn-1n2.anan+1-an-1=4ann2，an0，an+1-an-1=4n2.又a1=2，a1a2=4S1，a2=4，数列

18、an的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列.当n=2k-1时，a2k-1=4k-2=2 2k-1；当n=2k时，a2k=4k=22k.综上，an=2n，nN*(2)方法一：bn=-1n3n-1=-3n-1n=-3n+-1n+1，1 Tn=-31-3n1-3+1-1n1-1=3-3n-34+1-1n2=3-3n-2-1n-14.T2k=3 9k-14，T2k-1=141-9k.方法二：bn=-1n3n-1，b2k-1+b2k=-32k-1-1+32k-1=232k-1，T2k=231+233+235+232k-1=3 9k-14，T2k-1=T2k-b2k=3 9k-14-32

19、k-1=141-9k，n=2k,kN*时，Tn=T2k=3 9k-14为递增数列，n=2k-1,kN*时，Tn=T2k-1=141-9k为递减数列，若kN*，都有T2k-1 T2k-1max=T1，则-2且 T2kmin=T2，则6.-2,63已知数列 an满足a1=3，an+1=a2n-2an+2.(1)证明数列 ln an-1是等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)若bn=1an+1an-2，数列 bn的前n项和Sn，求证：Sn0，所以2-222n-22，所以Sn0,an+30，所以an+3an-1+3=2 n2，又a1+3=40，所以数列 an+3是以a1+3=4为首项、以2为公比的

20、等比数列.3(2)由(1)an+3=42n-1=2n+1，则an=2n+1-3 nN*，所以Sn=a1+a2+an=22-3+23-3+2n+1-3=22+23+2n+1-3n=4 1-2n1-2-3n=2n+2-3n-4.6设各项均为正数的数列an满足Snan=pn+r(p,r为常数)，其中Sn为数列an的前n项和.(1)若p=1,r=0，求证：an是等差数列；(2)若p=13,a1=2，求数列an的通项公式.【答案】(1)证明见解析；(2)an=n2+n.【分析】(1)把p=1,r=0代入，结合“n2,Sn-Sn-1=an”计算推理作答.(2)把p=13代入，结合“n2,Sn-Sn-1=a

21、n”求出an相邻两项间关系，再构造常数列作答.【详解】(1)当p=1,r=0时，Sn=nan，当n2时，Sn-1=n-1an-1，两式相减，得an=nan-(n-1)an-1，整理得an-an-1=0，所以an是等差数列.(2)当p=13时，Sn=13n+ran，令n=1，而a1=2，得13+r=1，解得r=23，于是Sn=13n+23an，当n2时，Sn-1=13n+13an-1，两式相减，得an=13n+23an-13n+13an-1，整理得(n-1)an=(n+1)an-1，即ann+1=an-1n-1，因此an(n+1)n=an-1n(n-1)，数列an(n+1)n 是常数列，从而an

22、(n+1)n=a121=1，an=n2+n，显然a1=2满足上式，所以数列an的通项公式是an=n2+n.7已知数列 an，2an+1=anan+1+1，a1=3(1)求证：数列1an-1 是等差数列(2)设bn=1-an1-an+1，求证：数列 bn的前n项和Sn0，Sn-28已知数列 an的前n项和为Sn=nn+1nN+，数列 bn满足b1=1，且bn+1=bnbn+2nN+(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 bn的通项公式；(3)对于nN+，试比较bn+1与an的大小.【答案】(1)an=1n2+n(2)bn=12n-1(3)bn+1n2+n成立，利用数学归纳法、二项式定理或函数

23、的知识证明即可.【详解】(1)当n=1时，a1=S1=12；当n2时，an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n n+1=1n2+n，经检验，n=1时，a1=12也符合上式，所以数列 an的通项公式为an=1n2+n；(2)易知bn0，两边取倒数得1bn+1=bn+2bn，整理得1bn+1+1=21bn+1，51bn+1 是以首项为1b1+1=2，公比为2的等比数列，1bn+1=22n-1,bn=12n-1；(3)由(1)(2)问可知，欲比较bn+1=12n+1-1与an=1n2+n的大小，即比较2n+1-1与n2+n的大小.当n=1时，21+1-1=3,12+1=2，有32；当n=2时，

24、22+1-1=7,22+2=6，有76；当n=3时，23+1-1=15,32+3=12，有1512，猜想2n+1-1n2+n，下面证明:方法一：当n4时，2n+1-1=(1+1)n+1-1=C0n+1+C1n+1+C2n+1+Cn-1n+1+Cnn+1+Cn+1n+1-12C0n+1+2C1n+1+2C2n+1-1=2+2 n+1+n+1n-1n2+n，所以对于任意的nN+都成立，所以bn+10,g x即 fx在x 4,+单调递增，fx f4=2x+1ln2-2x-12512-24-1=70,f x在x 4,+单调递增，所以 f x f 424+1-1-42-4=110，所以2x+1-1-x2

25、-x0，即2x+1-1x2+x，所以对于任意的nN+都成立，所以bn+1k2+k成立，那么当n=k+1时，2k+2-1=22k+1-1=2 2k+1-1+12 k2+k+1=2k2+2k+1，因为 2k2+2k+1-(k+1)2+k+1=k2-k-1，对任意的k2且kN+上式都大于0，所以有2k+2-1(k+1)2+k+1，综上所述，2n+1-1n2+n对于任意的nN+都成立，所以bn+116221当n为偶数时，Tn=1213-12n+3，Tn是递增数列，TnT2=1213-17=221综上得：Tn22112已知数列 an满足an+1=2an-1,a1+a2=a3(1)求 an的通项公式；(2

26、)若bn=2n-1，数列 cn满足c4n-3=b2n-1,c4n-2=a2n-1,c4n-1=a2n,c4n=b2n，求 cn的前4n+1项和S4n+1【答案】(1)an=2n-1+1(2)S4n+1=4n2+6n+4n【分析】(1)根据递推关系解方程得a1=2，进而证明数列 an-1是等比数列，公比为2，首项为1，再根据等比数列通项公式求解即可；(2)由题知c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n=8n-2+34n-1，进而令dn=c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n，记数列 dn的前n项和为Tn，则S4n+1为Tn与c4n+1的和，再根据等差数列与等比数列求和公式求解即可.8【详解

27、】(1)解：数列 an满足an+1=2an-1,a1+a2=a3所以，a2=2a1-1a3=2a2-1a1+a2=a3，解得a1=2,a2=3,a3=5，由an+1=2an-1得an+1-1=2 an-1，即an+1-1an-1=2，所以，数列 an-1是等比数列，公比为2，首项为1，所以an-1=2n-1，即an=2n-1+1所以，an的通项公式为an=2n-1+1(2)解：因为bn=2n-1，an=2n-1+1，所以c4n-3=b2n-1=2 2n-1-1=4n-3，c4n-2=a2n-1=22n-2+1，c4n-1=a2n=22n-1+1，c4n=b2n=4n-1，所以，c4n-3+c4

28、n-2+c4n-1+c4n=8n-2+322n-2=8n-2+34n-1，令dn=c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n=8n-2+34n-1，设数列 dn的前n项和为Tn，因为数列 8n-2为等差数列，34n-1为等比数列，所以，Tn=n 6+8n-22+31-4n1-4=4n2+2n+4n-1因为数列 cn的前4n+1项和为Tn与c4n+1的和，c4n+1=c4 n+1-3=4 n+1-3=4n+1，所以，S4n+1=Tn+c4n+1=4n+1+4n2+2n+4n-1=4n2+6n+4n.13设数列 an的前n项和为Sn，且a1=2，2Sn+1an+1=2Snan+1.(1)求 an的

29、通项公式；(2)若bn=1Sn，求数列 bn的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n(2)Tn=nn+1【分析】(1)先根据2Sn+1an+1=2Snan+1，可得数列Snan 是以12为公差的等差数列，从而可得数列Snan 的通项，再根据an与Sn的关系结合构造法即可得解；(2)先求出数列 bn的通项，再利用裂项相消法即可得解.【详解】(1)因为2Sn+1an+1=2Snan+1，所以Sn+1an+1-Snan=12，所以数列Snan 是以S1a1=1为首项，12为公差的等差数列，所以Snan=n+12，则Sn=n+12an，当n2时，Sn-1=n2an-1，两式相减得an=n+12an-n

30、2an-1，即ann=an-1n-1，所以数列ann 为常数列，且ann=a11=2，所以an=2n；9(2)由(1)得Sn=n+12an=n n+1，所以bn=1Sn=1n n+1=1n-1n+1，所以Tn=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.14已知数列 an满足a1=1，an=3an-1+2 n2,nN*(1)求证：数列 an+1是等比数列；(2)若bn=2n+1an+1-an，Sn为数列 bn的前n项和，求Sn【答案】(1)证明见解析(2)Sn=4n3n，nN*【分析】(1)根据递推公式证明an+1an-1+1为定值即可；(2)先由(1)求得数列

31、an的通项，从而可得数列 bn的的通项，再利用错位相减法求解即可.【详解】(1)因为an=3an-1+2 n2,nN*，所以an+1=3 an-1+1，又a1+1=2，所以 an+1是以2为首项，以3为公比的等比数列；(2)由(1)知an+1=23n-1，故an=23n-1-1，所以bn=2n+123n-1-23n-1+1=432n+13n，故Sn=4333+532+733+2n+13n，则3Sn=43332+533+2n-13n+2n+13n+1，两式相减得-2Sn=4333+232+233+23n-2n+13n+1=433+6 1-3n1-3-2n+13n+1=-8n3n，所以Sn=4n3

32、n.15设数列 an的前n项和为Sn,Sn=2an+2n-6 nN*.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列2n+1anan+1 的前m项和Tm=127258，求m的值.【答案】(1)an=2n(2)7【分析】(1)当n2时，构造Sn-1=2an-1+2n-8，与条件中的式子，两式相减，得an=2an-1-2，转化为构造等比数列求通项公式；(2)由(1)可知bn=2n+1anan+1=2n+12n+22n+1+2，利用裂项相消求和法求解.【详解】(1)因为Sn=2an+2n-6，所以当n=1时，S1=2a1-4，解得a1=4当n2时，Sn-1=2an-1+2n-8，则Sn-Sn-1=2an

33、-2an-1+2，整理得an=2an-1-2，即an-2=2 an-1-2所以数列 an-2是首项为2，公比为2的等比数列，10所以an-2=22n-1=2n所以an=2n+2.(2)令bn=2n+1anan+1=2n+12n+22n+1+2=212n+2-12n+1+2，数列 bn的前m项和Tm=214-16+16-110+110-114+12m+2-12m+1+2，=214-12m+1+2=12-22m+1+2，则12-22m+1+2=127258，则22m+1+2=2258，则2m+1=256m=7.m的值为7.16已知数列 an满足a1=1，n-1an-nan-1=0 n2(1)求数列

34、 an的通项公式；(2)若bn=2nan，求数列 bn的前n项和Sn【答案】(1)an=n(2)Sn=n-12n+1+2【分析】(1)由题意得数列ann 为常数列，可数列 an的通项公式；(2)利用错位相减法求数列前n项和.【详解】(1)由 n-1an-nan-1=0 n2，得ann=an-1n-1n2，所以数列ann 为常数列，有ann=a11=1，an=n(2)bn=2nan=n2n，Sn=21+222+323+n-12n-1+n2n，2Sn=22+223+324+n-12n+n2n+1，两式相减，-Sn=21+22+23+2n-n2n+1=2 1-2n1-2-n2n+1=1-n2n+1-

35、2，所以Sn=n-12n+1+217记数列 an的前n项和为Sn，已知a1=-2，Sn+1+2Sn=-2n+1.(1)求 an的通项公式；(2)记数列an的前n项和为Tn，证明：SnTn3 Sn.【答案】(1)an=-2n-1-3n+1(2)见解析【分析】(1)根据辅助数法，整理等式，可得数列Sn-2n 的通项，在根据an与Sn的关系，可得答案；(2)整理数列an的通项公式，利用错位相减法，求得Tn，根据作差法以及数列的单调性，可得答案.【详解】(1)由Sn+1=-2Sn+-2n+1，两边同时除以-2n+1可得：Sn+1-2n+1=Sn-2n+1，故数列Sn-2n 为以1为公差的等差数列，则S

36、n-2n=S1-21+n-11=a1-2+n-1=n，即Sn=n-2n，当n2时，an=Sn-Sn-1=n-2n-n-1-2n-1=-2n-1-3n+1，将n=1代入上式，可得a1=-21-1-3+1=-2，则a1满足上式，故数列 an的通项公式an=-2n-1-3n+1.11(2)由nN*，则-3n+10，则数列 bn为递增数列，b1=4+21 2-4=0，则bn0，即Tn Sn；Tn-3 Sn=4+2n3n-4-3n2n=4-2n+2，令cn=4-2n+2，易知数列 cn为递减数列，c1=4-21+2=-40，则cnTn.综上，不等式 SnTn3 Sn恒成立.18已知数列 an的前n项和为

37、Sn，且Sn=2an-n nN*.(1)求证；数列 an+1是等比数列；(2)求证：nk=12kakak+11.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)Sn+1=2an+1-n+1，Sn=2an-n，作差得an+1=2an+1，则an+1+1=2 an+1，即可证明数列an+1为等比数列；(2)首先求出an=2n-1，而2kakak+1=12k-1-12k+1-1，最后通过裂项求出得到nk=12kakak+1=1-12n+1-11.【详解】(1)由已知得Sn+1=2an+1-n+1，又an+1=Sn+1-Sn，Sn=2an-n所以作差得an+1=2an+1-2an-1，故an+1

38、=2an+1所以an+1+1=2 an+1又当n=1时，S1=2a1-1，又S1=a1，故a1=1故数列 an+1是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)可知：an+1=2n，故an=2n-1所以2kakak+1=2k+1-1-2k-12k-12k+1-1=12k-1-12k+1-1nk=12kakak+1=2a1a2+22a2a3+23a3a4+2kakak+1+2nanan+1=1-122-1+122-1-123-1+12k-1-12k+1-1+12n-1-12n+1-112=1-12n+1-11综上可知：nk=12kakak+1119已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1

39、，nN*，数列bn满足b1=1，且nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)，nN*(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn=anbn，求数列cn的前n项和为Tn【答案】(1)an=2n-1，bn=n2(2)Tn=(n-1)2n+1【分析】(1)an根据前n项和为Sn与a的关系可求出；bn根据递推公式先构造数列，再根据构造数列的通项公式求出bn的通项；(2)写出cn通项公式，用错位相减法求出Tn.【详解】(1)Sn=2an-1，nN*，Sn+1=2an+1-1，两式相减得：an+1=2an+1-2a，an+1=2a，又S1=a1=2a1-1，a1=1，an是以首项为1，公比为2的一个等比数

40、列，an=12n-1=2n-1；由nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)得：bn+1n+1-bnn=1,又b11=1bnn 是以首项为1，公差为1的一个等差数列，bnn=1+(n-1)1=n，bn=n2；(2)由(1)知cn=n2n-1，Tn=120+221+n2n-1，2Tn=0+121+(n-1)2n-1+n2n，两式相减得：-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=(1-n)2n-1，Tn=(n-1)2n+1.20已知数列 an满足a1=1，a2=4.有以下三个条件：an+1=4an-4an-1(n2，nN*)；nan+1=2 n+1an；a1+a22+a34+a

41、n2n-1=n2+n2(nN*)；从上述三个条件中任选一个条件，求数列 an的通项公式和前n项和Sn.【答案】an=n2n-1，Sn=n-12n+1【分析】选根据递推关系式构造等比数列，再构造等差数列即可求得an；选根据递推关系式，结合累乘法求得an；选利用前n项和与通项的关系，相减求得an；求前前n项和采用错位相减法即可.【详解】解：选由an+1=4an-4an-1(n2，nN*)得an+1-2an=2 an-2an-1，故 an+1-2an是公比为2的等比数列，则an+1-2an=a2-2a12n-1=2n即an+12n+1-an2n=12，故an2n 是公差为12的等差数列，则an2n=

42、12+n-112=12n，即an=n2n-1.选由nan+1=2 n+1an得an+1an=2 n+1n，故anan-1an-1an-2a2a1=2nn-12 n-1n-222113化简得ana1=n2n-1，即an=n2n-1,n=1也满足选由a1+a22+a34+an2n-1=n2+n2(1)得当n2时，a1+a22+a34+an-12n-2=n-12+n-12(2)由(1)-(2)得an2n-1=n，故an=n2n-1,n=1也满足，因此，Sn=120+221+322+n2n-12Sn=121+222+323+n2n两式相减得-Sn=20+21+22+2n-1-n2n化简得Sn=-1-2

43、n1-2+n2n=n-12n+121若数列 an满足a1=2,an+1-2an=3n-1(1)证明:an+1-3an是等比数列；(2)设 an的前n项和为Sn,求满足Sn2023的n的最大值【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】(1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可,(2)由(1)求出 an+1-3an的通项公式,与题中等式联立,求出 an通项公式,进而求出前n项和为Sn,代数使得Sn2023即可求出n的最大值.【详解】(1)证明：因为an+1-2an=3n-1,所以an+2-2an+1=3n,an=12an+1-123n-1,故an+2-3an+1an+1-3an=2an+1+

44、3n-3an+1an+1-312an+1-123n-1=3n-an+1123n-12an+1=2,又a1=2,则a2=5,a2-3a1=-1,故 an+1-3an是以-1为首项,2为公比的等比数列(2)由(1)得an+1-3an=-2n-1,又an+1-2an=3n-1,-得,an=2n-1+3n-1,故Sn=a1+a2+an=20+21+2n-1+30+31+3n-1=2n-1+123n-1=2n+3n2-32,易得 Sn为递增数列,又S7=12202023,Sn2023,故n的最大值为7.22已知数列 an的首项a1=25，且满足an+1=2an2an+1.(1)求证：数列1an-2 为等

45、比数列：14(2)若1a1+1a2+1a3+1an101，求满足条件的最大整数n.【答案】(1)证明见解析(2)50【分析】(1)两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.【详解】(1)证明：由an+1=2an2an+1，可得1an+1=2an+12an=1+12an，1an+1-2=12an-1=121an-2,又1a1-2=120,故数列1an-2 为等比数列.(2)由(1)可知1an-2=1212n-1=12n，故1an=12n+2.1a1+1a2+1a3+1an=12+2+122+2+123+2+12n+2=121

46、-12n1-12+2n=1-12n+2n.令 f n=1-12n+2n，易知 f n随n的增大而增大，f 50101，故满足 f n101的最大整数为50.23已知数列 an满足a1=1,a2=6，且an+1=4an-4an-1,n2,nN*.(1)证明数列 an+1-2an是等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)求数列 an的前n项和Sn.【答案】(1)证明见详解，an=(2n-1)2n-1(2)Tn=(2n-3)2n+3【分析】(1)根据递推公式构造可证，然后借助 an+1-2an为等比数列可得通项，再构造数列an2n 可证为等差数列，根据等差数列通项公式可解；(2)由错位相减法可得.

47、【详解】(1)因为an+1=4an-4an-1,n2,nN*所以an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1)又因为a2-2a1=4所以 an+1-2an是以4为首项，2为公比的等比数列.所以an+1-2an=42n-1=2n+1变形得an+12n+1-an2n=1所以an2n 是以a12=12为首项，1为公差的等差数列所以an2n=12+n-1=n-12，所以an=(2n-1)2n-1(2)因为Tn=120+321+522+(2n-1)2n-1所以2Tn=121+322+523+(2n-1)2n-得：-Tn=1+22+23+2n-1-(2n-1)2n=1+22(1-2n-1)1

48、-2-(2n-1)2n所以Tn=(2n-1)2n-2n+1+3=(2n-3)2n+31524已知正项数列 an的前n项和为Sn，现在有以下三个条件：数列 a2n的前n项和为Tn=n(n+1)2；a1=1,an+1=n+1nan；a1=1,a2=2，当n3时，an+an-1Sn-2Sn-1+Sn-2=1从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足b1=1,bn=an-an-1(n2)，试问 bn中是否存在连续三项bk,bk+1,bk+2，使得1bk,1bk+1,1bk+2构成等差数列？请说明理由【答案】(1)任选一条件，都有an=n(2)不存在，理

49、由见解析.【分析】(1)选，结合a2n=Tn-Tn-1求得an；选，通过构造常数列的方法求得an；选，结合an=Sn-Sn-1以及等差数列的知识来求得an.(2)先假设存在符合题意的bk,bk+1,bk+2，结合等差中项的知识推出矛盾，从而作出判断.【详解】(1)选：因为数列 a2n的前n项和为Tn=n(n+1)2，所以当n=1时，a21=1；当n2时，a2n=Tn-Tn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n经检验n=1时，a21=1符合上式，所以a2n=n,nN*，故正项数列 an的通项公式为an=n，选：因为a1=1,an+1=n+1nan，所以an+1n+1=ann，所以ann 为常数

50、列，即ann=a1=1，所以正项数列 an的通项公式an=n选：由 an+an-1Sn-2Sn-1+Sn-2=an+an-1an-an-1=a2n-a2n-1=1(n3)，所以数列 a2n从第2项起成等差数列，且a2n=n(n2)，经检验n=1时，a1=1符合上式，所以正项数列 an的通项公式an=n(2)数列 bk中不存在连续三项bk,bk+1,bk+2，使得1bk,1bk+1,1bk+2构成等差数列理由如下：由(1)知当n2时，bn=an-an-1=n-n-1，所以1bn=1n-n-1=n+n-1假设数列 bn中存在连续三项bk,bk+1,bk+2，使得1bk,1bk+1,1bk+2构成等