二项式定理（5类必考点）--2024 年高二数学必刷题型归类（解析版）.pdf

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1、1二项式定理【考点1：二项展开式与通项】【考点2：二项式系数与项系数】【考点3：二项展开式中的系数和】【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】【考点5：二项式定理的应用】考点一：考点一：二项展开式与通项【知识点：二项展开式与通项】【知识点：二项展开式与通项】二项展开式公式(a+b)二项展开式公式(a+b)n n=C=C0n na an n+C+C1n na an-1n-1b+Cb+Cknkna an-kn-kb bk k+C+Cnnnnb bn n(nN(nN*)叫做二项式定理二项式的通项T)叫做二项式定理二项式的通项Tk+1k+1=C=Cknkna an-kn-kb bk k为展开式的第

2、k+1项为展开式的第k+1项方法技巧二项展开式问题的常见类型及解法方法技巧二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第k+1项，再由特定项的特点求出k值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k+1项，由特定项得出k值，最后求出其参数求解形如(a+b)求解形如(a+b)n n(c+d)(c+d)mm的展开式问题的思路的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m，然后展开分别求解(2)观察(a+b)(c+d)是否可以合并，如(1+x)5(

3、1-x)7=(1+x)(1-x)5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2；(3)分别得到(a+b)n，(c+d)m的通项公式，综合考虑求形如(a+b+c)求形如(a+b+c)n n展开式中特定项的步骤展开式中特定项的步骤二项式定理（二项式定理（5类必考点）类必考点）-2024 年高二数学必刷题型归类（解析版）年高二数学必刷题型归类（解析版）21(2007全国高考真题(文)二项式(2+33x)50的展开式中系数为有理数的项共有()A.6项B.7项C.8项D.9项2(2022江苏南京田家炳高级中学高二期中)化简 x+14-4 x+13+6 x+12-4 x+1+1的结果为()A.x4B.x-14

4、C.x+14D.x4-13(2007四川高考真题(文)(1-2x)10展开式中的x3的系数为(用数字作答)4(2007四川高考真题(文)x-1xn的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是5(2007安徽高考真题(理)若 x+1x-2n的展开式中常数项为-20，则自然数n=6(2022全国高三专题练习)展开式 x2+1x+y3+1y10中，常数项为7(2022全国高三专题练习)1-yx(x-y)8的展开式中,含x5y3项的系数为38(2022全国高三专题练习)5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为.9(2022全国高三专题练习)求展开式2x3-3x3x-1x

5、6中的常数项10(2022黑龙江大庆市东风中学高二期中)记 2x+1xn展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n=6，求展开式中的常数项；(3)若b3=2b4，求n.考点二：考点二：二项式系数与项的系数【知识点：二项式系数与项的系数知识点：二项式系数与项的系数】二项式二项式系数系数二项展开式中各项的系数二项展开式中各项的系数C Cr rn n(r r 0 0，1 1，n n)叫做第叫做第r r+1 1项的二项式系项的二项式系数数项的项的系数系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同

6、的概念如的概念如(a a+bxbx)n n的展开式中，第的展开式中，第r r+1 1项的系数是项的系数是C Cr rn na an n-r rb br r1(2022全国高三专题练习)若 2 x-1xn的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为()A.-160B.160C.-1120D.112042(2022浙江省杭州学军中学高三期中)已知1x+my2x-y5的展开式中x2y4的系数为40，则m的值为()A.-2B.-1C.1D.23(2007全国高考真题(理)ax+17的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a1，那么a=.4(2023全国高三专

7、题练习)x x+1x4n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第项5(2022全国高三专题练习)已知(x+m)(2x-1)6的展开式中x2的系数是20,则实数m=.6(2022云南昆明一中高三阶段练习)若 3x+xn的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中x3项的系数是.7(2022全国高三专题练习)x+y2x28的展开式中x2y2的系数为(用数字作答)考点三：考点三：二项展开式中的系数和【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】(1)(1)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，cR)

8、的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可(2)对形如(ax+by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可(3)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2，偶数项系数之和为a1+a3+a5+=f(1)-f(-1)2.5 易错提醒易错提醒(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值3(2021广西梧州市黄埔双语实验学校高三期

9、中(理)1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4=()A.1B.3C.0D.-34(2022全国高三专题练习)已知C3n=C6n，设 2x-3n=a0+a1x-1+a2x-12+anx-1n，则a1+a2+an=()A.-1B.0C.1D.25(2023全国高三专题练习)已知(2+x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则()A.a0的值为2B.a5的值为16C.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5D.a1+a3+a5的值为1206(2023全国高三专题练习)已知二项式 ax-1x6，则下列说法正确

10、的是()A.若a=1，则展开式中的常数项为15B.若a=2，则展开式中各项系数之和为1C.若展开式中的常数项为60，则a=2D.若展开式中各项系数之和为64，则a=27(2022广东佛山高三期中)设(2x-1)5=a0+a1x+a5x5，则下列说法正确的是()A.a0=1B.a1+a2+a3+a4+a5=1C.a0+a2+a4=-121D.a1+a3+a5=1228(2022江苏南京田家炳高级中学高二期中)若 2x-110=a0+a1x+a2x2+a10 x10，xR，则()A.a1+a2+a10=1B.a0+a1+a2+a10=310C.a2=160D.a12+a222+a323+a1021

11、0=-169(2023全国高三专题练习)设 x-12+x3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1=，2a2+3a3+4a4=.10(2022贵州贵阳一中高三阶段练习(理)已知 1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为11(2023江西景德镇模拟预测(理)已知 ax+15的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中x2项的系数为.12(2022上海市向明中学高一期末)已知对任意给定的实数x，都有(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a100(x+1)100.求值：(1)a0+a1+a2+a100；(2)a1+a3+a5+a

12、99.13(2022上海市嘉定区第一中学高二期末)已知 3-2x11=a0+a1x+a2x2+a11x11求：(1)a1+a2+a11；(2)a1+a2+a11；(3)a1+2a2+11a117考点四：考点四：二项式系数或展开式系数的最值问题【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a+b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正

13、整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组akak-1，akak+1 即可求得答案1(2022河南安阳高三阶段练习(理)已知x-2xn的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为()A.-448B.-1024C.-1792D.-53762(2022黑龙江哈尔滨七十三中高三阶段练习)已知x+2x2n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第()项.A.3B.4C.5D.6

14、3(2022全国高二课时练习)已知m为正整数，x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a，x+y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，且13a=7b，则m的值为()A.4B.5C.6D.74(2022全国高三专题练习)设(1+2x)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10，则下列说法正确的是()A.a0=1B.a1+a2+a10=310C.a2=9a1D.展开式中二项式系数最大的项是第5项5(2022上海市洋泾中学高三阶段练习)已知二项式 x3-26，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为86(2023全国高三专题练习)已知 x+akkN,aR的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且x3项

15、的系数为-160，则ak=7(2022江苏南通市通州区石港中学高二阶段练习)在 x+3x2n的二项展开式中，二项式系数之和为64.(1)求正整数n的值；(2)求 x+3x2n的二项展开式中二项式系数最大的项.8(2022全国高二课时练习)已知3x+123xn的展开式中，前三项的系数成等差数列(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项考点五：考点五：二项式定理的应用【知识点：二项式定理的应用】【知识点：二项式定理的应用】1(2022全国高二单元测试)0.997的计算结果精确到0.001的近似值是()A.0.930B.0.931C.0.932D.0.93392(2022全国高

16、二单元测试)关于x-12021及其二项展开式，下列说法正确的是()A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021B.该二项展开式中第8项为-C72021x1007C.当x=100时，x-12021除以100的余数是9D.该二项展开式中不含有理项3(2022全国高三专题练习)已知函数 f(x)=(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a6x6aiR,i=0,1,2,3,6的定义域为R()A.a0+a1+a2+a6=-1B.a1+a3+a5=-364C.a1+2a2+3a3+6a6=12D.f(5)被8整除余数为74(2022江苏省镇江中学高二期末)下列说法正确的是()A.若(2x-1)10

17、=a0+a1x+a2x2+a10 x10，则 a1+a2+an=310-1B.1.0510精确到0.1的近似值为1.6C.5555被8除的余数为1D.若1+2C1n+22C2n+2nCnn=2187，则C1n+C2n+Cnn=1275(2007全国高考真题)9192除以100的余数是6(2022全国高二课时练习)若512020+a能被13整除，则实数a的值可以为(填序号)0；11；12；257(2007湖南高考真题)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第14与第15个数的比为2:3第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14644第5行15101051108(20

18、22全国高三专题练习)如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13x=7y，则n的值为9(2022全国高二课时练习)已知 f(x)=(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9(1)求a1+a2+a3+a9的值；(2)求 f(20)-20被6整除的余数1二项式定理【考点1：二项展开式与通项】【考点2：二项式系数与项系数】【考点3：二项展开式中的系数和】【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】【考点5：二项式定理的应用】考点

19、一：考点一：二项展开式与通项【知识点：二项展开式与通项知识点：二项展开式与通项】二项二项展开式展开式公式公式(a a+b b)n n=C C0n na an n+C C1n na an n-1 1b b+C Ck kn na an n-k kb bk k+C Cn nn nb bn n(n n N N*)叫叫做二项式定理做二项式定理二项式二项式的通项的通项T Tk k+1 1=C Ck kn na an n-k kb bk k为展开式的第为展开式的第k k+1 1项项 方法技巧方法技巧 二项展开式问题的常见类型及解法二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第

20、k+1项，再由特定项的特点求出k值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k+1项，由特定项得出k值，最后求出其参数求解形如求解形如(a a+b b)n n(c c+d d)mm的展开式问题的思路的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m，然后展开分别求解(2)观察(a+b)(c+d)是否可以合并，如(1+x)5(1-x)7=(1+x)(1-x)5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2；(3)分别得到(a+b)n，(c+d)m的通项公式，综合考虑求形如求形如(a a

21、+b b+c c)n n展开式中特定项的步骤展开式中特定项的步骤24(2007全国高考真题(文)二项式(2+33x)50的展开式中系数为有理数的项共有()A.6项B.7项C.8项D.9项【答案】D【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.【详解】二项式的通项Tr+1=Cr50(2)50-r(33x)r=225-r23r3Cr50 xr，若要系数为有理数，则25-r2Z，r3Z，0r50，且rZ，即r2Z，r3Z，易知满足条件的r0,6,12,18,24,30,36,42,48，故系数为有理数的项共有9项.故选：D5(2022江苏南京田家炳高级中学高二期中)化简 x+14-4 x+13

22、+6 x+12-4 x+1+1的结果为()A.x4B.x-14C.x+14D.x4-1【答案】A【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.【详解】x+14-4 x+13+6 x+12-4 x+1+1=x+14+C14x+13-1+C24x+12-12+C34x+1-13+-14=x+1-14=x4故选：A.6(2007四川高考真题(文)(1-2x)10展开式中的x3的系数为(用数字作答)【答案】-960【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3求出展开式中x3的系数即可.【详解】解:设求的项为Tr+1=Cr10(-2x)r，令r=3，T4=-C31023x3=-960 x3，(

23、1-2x)10展开式中的x3的系数为-960.故答案为：-96037(2007四川高考真题(文)x-1xn的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是【答案】8【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为T4+1=(-1)4C4nxn-8，结合题意即可求解.【详解】由题意知，x-1xn展开式的通项公式为Tr+1=Crnxn-r-1xr=(-1)rCrnxn-2r，所以第5项为T4+1=(-1)4C4nxn-8，由第5项为常数项，得n-8=0，解得n=8.故答案为：8.8(2007安徽高考真题(理)若 x+1x-2n的展开式中常数项为-20，则自然数n=【答案】3【分析】先凑二项式，再利用二

24、项式展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数是0得常数项，列出方程即可求解.【详解】由题意得 x+1x-2n=x-1x2n,x-1x2n的展开式为Tr+1=Cr2nx2n-r-1xr=-1rCr2nxn-r，令n-r=0得到n=r展开式中的常数项为-1nCn2n，-1nCn2n=-20,解得n=3故答案为：39(2022全国高三专题练习)展开式 x2+1x+y3+1y10中，常数项为【答案】12600【分析】要使展开式中出现常数项，则二项展开式中Tr+1=Cr10 x2+1x10-ry3+1yr中 x2+1x10-r与y3+1ym的二项展开式均为常数，结合二项展开式理解运算.【详解】x2+1

25、x+y3+1y10=x2+1x+y3+1y 10的二项展开式Tr+1=Cr10 x2+1x10-ry3+1yr,r=0,1,.,10，x2+1x10-r的二项展开式为Tk+1=Ck10-rx210-r-k1xk=Ck10-rx20-2r-3k,k=0,1,.,10-r，y3+1ym的二项展开式为Tm+1=Cmry3r-m1ym=Cmry3r-4m,m=0,1,.,r，若展开式中的常数项满足，则可得20-2r-3k=03r-4m=0r,k,mN，解得r=4m=3k=4，故常数项为：C410C46C34=12600故答案为：12600.410(2022全国高三专题练习)1-yx(x-y)8的展开式

26、中,含x5y3项的系数为【答案】-84【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成x5y3的形式,计算出结果.【详解】解：由题知 1-yx(x-y)8=(x-y)8-yx(x-y)8,将含x5y3项记为M,则M=C38x5(-y)3-yxC28x6(-y)2=-56x5y3-28x5y3=-84x5y3,故含x5y3项的系数为-84.故答案为：-8411(2022全国高三专题练习)5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为.【答案】15625【分析】根据题意，令y的指数为0，得 5-3xn，再令x=1，得 5-3x+2yn的展开式中不含y的项的系数和为

27、5-3n，解得n，再求展开式中的常数项.【详解】5-3x+2yn展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即 5-3xn的展开式，再令x=1，得 5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为 5-3n=64，n=6，求 5-3x+2y6展开式中的常数项，由 5-3x+2y6=5-3x-2y6，所以展开式中的常数项为C0656=15625.故答案为：1562512(2022全国高三专题练习)求展开式2x3-3x3x-1x6中的常数项【答案】-15【分析】原式可化为2x-32x-1x6-3x-3x-1x6，然后写出x-1x6的通项，结合常数项指数为零，求出结果【详解】由题知：原式=2x-32x-

28、1x6-3x-3x-1x6，x-1x6的通项为 Tk+1=Ck6(x)6-k-1xk=(-1)kCk6x3-3k2，k=0,1,6令3-3k2=32，得k=1；令3-3k2=3，得k=0.即原式展开式中的常数项为：-2C16-3C06=-1513(2022黑龙江大庆市东风中学高二期中)记 2x+1xn展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n=6，求展开式中的常数项；(3)若b3=2b4，求n.5【答案】(1)bm=2n-m+1Cm-1n(2)160(3)5【分析】(1)利用二项式定理写出 2x+1xn展开式的第m项即可求解；(2)结合二项式定理，写出2x+1xn展开式中的通

29、项，然后令自变量的幂数为0即可求解；(3)结合(1)中结论，利用组合数性质即可求解.(1)由题意，2x+1xn=(2x+x-1)n展开式中第m项为Cm-1n(2x)n-(m-1)(x-1)m-1=2n-m+1Cm-1nxn-2m+2，故bm=2n-m+1Cm-1n.(2)当n=6时，2x+1x6=(2x+x-1)6展开式通项为Cr6(2x)6-r(x-1)r=26-rCr6x6-2r，令6-2r=0，即r=3，此时展开式中的常数项26-3C36=160，即展开式中的常数项为160.(3)因为b3=2b4，由(1)中知，2n-2C2n=22n-3C3n，即C2n=C3n，由组合数性质可知，n=5

30、.考点二：考点二：二项式系数与项的系数【知识点：二项式系数与项的系数知识点：二项式系数与项的系数】二项式二项式系数系数二项展开式中各项的系数二项展开式中各项的系数C Cr rn n(r r 0 0，1 1，n n)叫做第叫做第r r+1 1项的二项式系项的二项式系数数项的项的系数系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念如的概念如(a a+bxbx)n n的展开式中，第的展开式中，第r r+1 1项的系数是项的系数是C Cr rn na an n-r rb br r1(2022全国高三专题练习)

31、若 2 x-1xn的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为()A.-160B.160C.-1120D.1120【答案】A【分析】根据第2项和第6项的二项式系数相等可构造方程求得n，由此可得展开式通项，令r=3即可求得常数项【详解】因为 2 x-1xn展开式中的第2项和第6项的二项式系数相等，6C1n=C5n，解得：n=6，2 x-1x6展开式通项公式为：Tr+1=Cr62 x6-r-1xr=Cr6-1r26-rx3-r，令3-r=0，解得：r=3，该展开式中的常数项为C36-1323=-160,故选：A2(2022浙江省杭州学军中学高三期中)已知1x+my2x-y5的展

32、开式中x2y4的系数为40，则m的值为()A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【分析】首先变形得1x+my2x-y5=1x2x-y5+my 2x-y5，然后利用二项式展开式的通项公式Tr+1=Crnan-rbr求出x2y4的系数即可.【详解】由题意可得1x+my2x-y5=1x2x-y5+my 2x-y5，在1x2x-y5的展开式中，由x-1Cr52x5-r-yr=-1r25-rCr5x4-ryr，令4-r=2r=4 无解，即1x2x-y5的展开式没有x2y4项；在my 2x-y5的展开式中，由myCr52x5-r-yr=-1r25-rmCr5x5-ryr+1，令5-r=2r+1=4 解得r

33、=3，即my 2x-y5的展开式中x2y4的项的系数为-1325-3mC35=-40m，又x2y4的系数为40，所以-40m=40，解得m=-1.故选：B3(2007全国高考真题(理)ax+17的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a1，那么a=.【答案】1+105【分析】利用二项展开式通项公式求得所需系数，再利用等差中项公式得到关于a的方程，求解即可得到a的值.【详解】因为 ax+17=1+ax7的二项展开式通项公式为Tk+1=Ck711-kaxk=akCk7xk，故x3的系数为a3C37=35a3，x2的系数为a2C27=21a2，x4的系数为a4C47=35a4

34、，所以由题意可得21a2+35a4=235a3，整理得a25a2-10a+3=0，解得a=0或a=1105，因为a1，所以a=1+105.故答案为：1+105.74(2023全国高三专题练习)x x+1x4n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第项【答案】4【分析】根据题中条件求出n的值，写出二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数值，即可得解.【详解】由题意可得C2n-C1n=n n-12-n=n2-3n2=44，即n2-3n-88=0，nN，解得n=11，x x+1x411的展开式通项为Tk+1=Ck11 x3211-kx-4k=Ck11x33-1

35、1k2，由33-11k2=0，可得k=3，因此，展开式中的常数项是第4项.故答案为：4.5(2022全国高三专题练习)已知(x+m)(2x-1)6的展开式中x2的系数是20,则实数m=.【答案】815【分析】根据多项式中前一项进行展开,然后用二项式定理将两个项中关于x2的找出相加等于20即可求出m.【详解】解:由题知,(x+m)(2x-1)6=x(2x-1)6+m(2x-1)6,所以展开式中x2系数是C562(-1)5+C4622(-1)4m=20,解得：m=815.故答案为：8156(2022云南昆明一中高三阶段练习)若 3x+xn的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式

36、中x3项的系数是.【答案】15【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出n，再根据二项式定理计算展开式中x3项的系数.【详解】令x=1,得所有项的系数和为4n,二项式系数和为2n,所以4n2n=2n=32,即n=5,(3x+x)5的第r+1项为Cr5(3x)5-r x12r=Cr535-rx5-r2令5-r2=3,得r=4所以x3项的系数是C453=15故答案为：157(2022全国高三专题练习)x+y2x28的展开式中x2y2的系数为(用数字作答)【答案】78【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式 x+y2x28的通项公式为：Tr+1=Cr8x8-ry2x2r=Cr8x8-

37、3ryr12r，令r=2，所以x2y2的系数为C28122=7，故答案为：7考点三：考点三：二项展开式中的系数和【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】(1)(1)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可(2)对形如(ax+by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可(3)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2，偶数项系数之和为a1+a3+a5+

38、=f(1)-f(-1)2.易错提醒易错提醒(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值3(2021广西梧州市黄埔双语实验学校高三期中(理)1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4=()A.1B.3C.0D.-3【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取x=-1即得.【详解】因为 1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a4=1-14=0.故选：C.4(2022全国高三专题练习

39、)已知C3n=C6n，设 2x-3n=a0+a1x-1+a2x-12+anx-1n，则a1+a2+an=()A.-1B.0C.1D.2【答案】D【分析】利用组合数的性质可求得n的值，再利用赋值法可求得a0和a0+a1+a2+an的值，作差可得出所求代数式的值.【详解】因为C3n=C6n，所以由组合数的性质得n=3+6=9，9所以 2x-39=a0+a1x-1+a2x-12+a9x-19，令x=2，得 22-39=a0+a1+a2+a9，即a0+a1+a2+a9=1.令x=1，得 21-39=a0=-1，所以a1+a2+a9=a0+a1+a2+a9-a0=1-1=2，故选：D.5(2023全国高

40、三专题练习)已知(2+x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则()A.a0的值为2B.a5的值为16C.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5D.a1+a3+a5的值为120【答案】ABC【分析】对于A，利用赋值法，令x=0即可求解；对于B，利用二项式展开式的通项进行求解；对于C，利用赋值法，令x=1得到a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，再减去a0即可；对于D，利用赋值法，分别令x=1与x=-1，得到两个式子联立即可求解.【详解】对于A，令x=0，得a0=21=2，故A正确；对于B，(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=Cr5-2x

41、r=Cr5-2rxr，所以a5=2-25C55+1-24C45=-64+80=16，故B正确；对于C，令x=1，得(2+1)(1-21)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，即a1+a2+a3+a4+a5+a6=-3-a0=-3-2=-5，故C正确；对于D，令x=-1，得(2-1)1-2(-1)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6，由解得a1+a3+a5=-123，故D不正确.故选：ABC6(2023全国高三专题练习)已知二项式 ax-1x6，则下列说法正确的是()A.若a=1，则展开式中的常数项为15B.若a=2，则展开式中各项系数之和为1C.若展开式中的常数项为60，则a=

42、2D.若展开式中各项系数之和为64，则a=2【答案】AB【分析】根据二项式定理的展开式通项，代入或求解验证，即可得到答案.【详解】二项式 ax-1x6，对于A，若a=1，则 x-1x6展开式的通项Tr+1=Cr6-1rx6-32r，令6-32r=0，得r=4，故所求常数项为C46=15，故A正确；对于B，若a=2，令x=1，则 2x-1x6展开式中各项系数之和为 2-16，故B正确；10对于C，由通项Tr+1=Cr6 ax6-r-1xr=Cr6-1ra6-rx6-32r，令6-32r=0，得r=4，故所求常数项为C46a2=15a2=60，解得a=2，故C错误；对于D，令x=1，则展开式中各项

43、系数之和为 a-16，由已知得，a-16=64，解得a=-1或a=3，故D错误.故选：AB7(2022广东佛山高三期中)设(2x-1)5=a0+a1x+a5x5，则下列说法正确的是()A.a0=1B.a1+a2+a3+a4+a5=1C.a0+a2+a4=-121D.a1+a3+a5=122【答案】CD【分析】赋值令x=0,x=1,x=-1，代入整理运算，逐项判断.【详解】令x=0，则(-1)5=a0，即a0=-1，A错误；令x=1，则15=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，则a1+a2+a3+a4+a5=2，B错误；令x=-1，则-35=a0-a1+

44、a2-a3+a4-a5，即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243，由可得：a0+a2+a4=-121，a1+a3+a5=122，C、D正确；故选：CD.8(2022江苏南京田家炳高级中学高二期中)若 2x-110=a0+a1x+a2x2+a10 x10，xR，则()A.a1+a2+a10=1B.a0+a1+a2+a10=310C.a2=160D.a12+a222+a323+a10210=-1【答案】BD【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，2x-110=a0+a1x+a2x2+a10 x10，令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a10=

45、1，所以a1+a2+a10=0，故A错误.对选B，因为 2x-110=a0+a1x+a2x2+a10 x10，所以 a0+a1+a2+a10表示 2x+110的各项系数之和，令x=1，则 a0+a1+a2+a10=310，故B正确.对选项C，a2x2=C2102x2-18=180 x2，所以a2=180，故C错误.对选项D，因为 2x-110=a0+a1x+a2x2+a10 x10，a0=1，令x=12，则 212-110=1+a12+a222+a323+a10210=0，则a12+a222+a323+a10210=-1，故D正确.11故选：BD9(2023全国高三专题练习)设 x-12+x3

46、=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1=，2a2+3a3+4a4=.【答案】-4 31【分析】a1即为 x-12+x3中x系数，又 x-12+x3=x 2+x3-2+x3，分别求x 2+x3与 2+x3一次项即可.注意到x-12+x3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3=x+224x-1，令x=1，结合a1可得答案.【详解】因 x-12+x3=x 2+x3-2+x3，则a1=C3323-C2322=-4.注意到x-12+x3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3=x+224x-1，令x=

47、1，得a1+2a2+3a3+4a4=27，又a1=-4，得2a2+3a3+4a4=31.故答案为：-4；31.10(2022贵州贵阳一中高三阶段练习(理)已知 1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为【答案】80【分析】先运用赋值法求出a的值，然后运用二项式定理的展开式求一次项系数.【详解】令x=1，可得 1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，a=11+ax2x-1x5=1+1x2x-1x5=1+1x32x5-80 x3+80 x-401x+101x3-1x5，故该展开式中一次项为80 x，故答案为80故答案为：80.11(20

48、23江西景德镇模拟预测(理)已知 ax+15的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中x2项的系数为.【答案】40【分析】根据题意，令x=1，求出a，再利用公式求出x2项的系数.【详解】令x=1，则(a+1)5=243，得a=2，对于(2x+1)5，其展开式中x2项的系数为：4C25=40.故答案为：4012(2022上海市向明中学高一期末)已知对任意给定的实数x，都有(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a100(x+1)100.求值：(1)a0+a1+a2+a100；12(2)a1+a3+a5+a99.【答案】(1)1(2)1-51002【分析】(1)利用赋值

49、法求解，令x=0可得结果；(2)利用赋值法求解，令x=-2可得结果；【详解】(1)因为(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a100(x+1)100，令x=0，则a0+a1+a2+a100=1；(2)令x=-2，则a0-a1+a2-+a100=5100，由(1)知a0+a1+a2+a100=1，两式相减可得a1+a3+a5+a99=1-51002.13(2022上海市嘉定区第一中学高二期末)已知 3-2x11=a0+a1x+a2x2+a11x11求：(1)a1+a2+a11；(2)a1+a2+a11；(3)a1+2a2+11a11【答案】(1)1-311(2)511-31

50、1(3)-22【分析】(1)利用赋值法即可得解；(2)先由二项式定理判断系数的正负情况，再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差，从而得解；(3)利用导数及赋值法即可得解.【详解】(1)因为 3-2x11=a0+a1x+a2x2+a11x11，所以令x=0，得 3-2011=a0+a10+a202+a11011，即a0=311，令x=1，得a0+a1+a2+a11=3-2111=1，所以a1+a2+a11=1-311.(2)因为 3-2x11的二项式展开通项为Tk+1=Ck113k-2x11-k=-211-k3kCk11x11-k，所以a0,a2,a100，a1,a3,a110，故 a1+a2+a